反比例函数的概念

反比例函数的概念

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状元廊学校数学思维方法讲义之三年级：九年级

§第3讲反比例函数（1）

【精彩知识】

1．反比例函数的定义

一般地，如果两个变量

x

，y之间的关系可以表示为

x

k

y（或1kxy）（k为常数，且

0__k）的形式，那么称y是

x

的函数。自变量

x

与的取值范围是。

y是

x

的反比例函数

x

k

y1kxy

kxy

y与

x

成反比例函数。

2.反比例函数的图象和性质

反比例函数

x

k

y（0k）的图象是由两支曲线组成的，称为，它们关于原点成

对称，关于直线xy成对称，与两坐标轴交点。

①当k＞0时，图象（双曲线）的两个分支分别在第象限，且在每个象限内，y随

x

的增大而；

②当k＜0时，图象（双曲线）的两个分支分别在第象限，且在每个象限内，y随

x

的增大而。

3.

反比例函数

x

k

y

（0k）中的比例系数k的几何意义

过双曲线上任一点作

x

轴、

y

轴的垂线

PM

、

PN

所得的矩形

PMON

的面积

||||____SPMPNxy

；若连接

PO

，则

______

PONPOM

SS

。

【典例解析】

考点1:反比例函数的概念

【例1】已知122)2(mmxmmy

（1）如果y是

x

正比例函数，求

m

的值；

（2）如果y是

x

反比例函数，求

m

的值。

【例2】已知

12

yyy，其中

1

y

与

x

成反比例，

2

y

与2x成正比例，且

12

,yy

所表示的函

数图象相交于点P（1，5）。求当5x时y的值。

变式训练1：

1.已知函数

mmx

m

y

312

3





是反比例函数，则m的值为；

2.若y与

x

1

成反比例函数，

x

与

z

1

成正比例函数，则y是z的（）

A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数

考点2:反比例函数的图象和性质

【例3】若M















1

,

2

1

y、N















2

,

4

1

y

、P













3

,

2

1

y三点都在函数

x

k

y

12



的图象上，则

321

yyy、、

的大小关系为（）

A、

2

y＞

3

y

＞

1

yB、

2

y＞

1

y＞

3

y

C、

3

y

＞

1

y＞

2

yD、

3

y

＞

2

y＞

1

y

【例4】如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B

两点，与反比例函数

x

y

4



的图象相交于C，D两点，分别过C，

D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有

下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△

FOE；③△DCE≌△CDF；④ACBD．其中正确的结论

是。

变式训练2：

1.如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=－x+6

于A、B两点，若反比例函数

k

y

x

（x＞0）的图像与△ABC有公共点，

则k的取值范围是（）

A．2≤k≤9B.2≤k≤8C.2≤k≤5D.5≤k≤8

y

x

A

B

E

F

C

D

O

y

x

A

B

C

O

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G

2.如图，P是函数

x

y

2

1



(x>0)的图象上的一点，直线

1xy

分

别交x轴、y轴于点A、B，过点P分别作PM⊥x轴于点M，交AB于点

E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F，则AF·BE的值为。

考点3:反比例函数

x

k

y（0k）中的比例系数k的几何意义与面积法的综合运用

【例5】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数

(00)

k

ykx

x

，的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于

点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，

从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记

剩余部分的面积为S．则当S=m(m为常数，且0

坐标是。(用含m的代数式表示)

变式训练3：

1.如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分

别交函数

x

k

1y（x＞0）和

x

k

2y（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、

OQ,则下列结论正确的是（）

A.∠POQ不可能等于900B.

2

1

K

K

QM

PM



C.这两个函数的图象一定关于x轴对称D.△POQ的面积是）（|k||k|

2

1

21



2.如图，点A（x

1

，y

1

）、B（x

2

，y

2

）都在双曲线(0)

k

yx

x



上，且

21

4xx

，

12

2yy

；分别过点A、B向x轴、y

轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，

四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么

双曲线的解析式为．

考点4:函数综合题（待定系数法+数形结合、函数与方程思想、分类讨论思想）

【例6】已知反比例函数

x

k

y

2



与一次函数

12xy

，其中一次函数的图象经过（a,b）、

（a+1,b+k）两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；

（3）利用（2）的结果，在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请把所有

符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

变式训练4：

如图，一次函数ykxb的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数

m

y

x

的图

象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1，

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据两函数图象直接写出不等式0

m

kxb

x

的解集。

y

x

C

A

B

O

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【例7】如图，已知双曲线

k

y

x

，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过

C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

变式训练5：

如图,直线4ykx与函数

m

y

x

（x＞0，m＞0）的图像交于A，B两点，且与,xy轴分别

交于C，D两点．

（1）若直线y=kx+4与直线y=-x-2平行，且△AOD面积为2，求

m

的值；

（2）若△COD的面积是△AOB的面积的2倍，过A作AEx轴于E，过B作BFy轴

于F，AE与BF交于H点．

①求:AHOD的值；②求k与

m

之间的函数关系式．

（3）若点P坐标为（2，0），在（2）的条件下，是否存在,km，使得△APB为直角三角形，

且090APB．若存在，求出,km的值，若不存在，请说明理由．

【例8】如图，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B

两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，

线段PE最长？此时PE等于多少？

（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，

那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存

在，请说明理由．

【课后测试】

1．在同一坐标系内,表示函数bkxy与0,0bk

x

kb

y的图像是下图中的（）

y

x

B

A

D

O

C

y

x

D

C

H

E

F

B

A

O

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（A）（B）（C）（D）

2．如图，直线6yx交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数

4

(0)yx

x

图象上位于直

线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足

为点N，交AB于点F。则AFBE()

A．8B．6C．4D．62

第2题图第3题图第4题图

3．如上图中，正比例函数xy3的图象与反比例函数)0(k

x

k

y的图象交于点B，若k取1，

2，3，…，20，对应的Rt△AOB的面积分别为

1

S，

2

S，…，

20

S

，则

1

S＋

2

S＋…＋

20

S

=；

4．两个反比例函数

k

y

x

和

1

y

x

在第一象限内的图象如图所示，点P在

k

y

x

的图象上，PC⊥x

轴于点C，交

1

y

x

的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交

1

y

x

的图象于点B，当点P在

k

y

x

的

图象上运动时，以下结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；

③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是。

5.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，

n）在边AB上，反比例函数

k

y

x

（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=

2

1

．

（1）求反比例函数的解析式和n的值；

（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分

别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

6.如图，在直角坐标平面内，函数

m

y

x

（0x，m是常数）的图象经过(14)A，，()Bab，，

其中1a．过点A作

x

轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．

（1）若ABD△的面积为4，求点B的坐标；

（2）求证：DCAB∥；

（3）当ADBC时，求直线AB的函数解析式．

【例4】根据题意可求得D（1，4），C（－4，－1），则F（1，0），∴△DEF的面积是：

1

412

2

，

△CEF的面积是：

1

412

2

，∴△CEF的面积=△DEF的面积，故①正确；②即△CEF和

△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EF∥CD，△AOB∽△FOE，故②正确；DF=CE，

四边形CEFD是等腰梯形，所以△DCE≌△CDF，③正确；⑤∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE

是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，故④正确；正确的有4个．

x

CO

D

B

A

y

学生对本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○不怎么样

家长意见或建议：

家长签字：

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【例7】解：（1）∵双曲线

k

y

x

经过点D（6，1），∴

k

1

6

，解得k=6。

（2）设点C到BD的距离为h，

∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD

=

1

2

×6•h=12，解得h=4。

∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1

－4=－3。

∴

6

3

x

，解得x=－2。∴点C的坐标为（－2，－3）。

设直线CD的解析式为y=kx＋b，

则

2kb3

6kb1











，解得

1

k

2

b2















。

∴直线CD的解析式为

1

yx2

2

。

（3）AB∥CD。理由如下：

∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），

∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。

设直线AB的解析式为y=mx+n，

则

2mn0

n1











，解得

1

m

2

n1















。

∴直线AB的解析式为

1

yx1

2

。

∵AB、CD的解析式k都等于

1

2

相等。

∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。

【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。

（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距

离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求

一次函数解析式解答。

（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知

与直线

CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。

7解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。

∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，

∴

164bc0

c4











，解得

b3

c4











。

∴抛物线解析式为y=－x2－3x＋4。

令y=0，得－x2－3x＋4=0，解得x

1

=－4，x

2

=1，

∴C（1，0）。

（2）如图1，设D（t，0）。

∵OA=OB，∴∠BAO=45°。

∴E（t，t＋4），P（t，－t2－3t＋4）。

PE=y

P

－y

E

=－t2－3t＋4－t－4=－t2－4t=－（t+2）2+4。

∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。

（3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。

设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。

∴NH=AH=4－m，∴y

Q

=4－m。

又M为OA中点，∴MH=2－m。

当△MON为等腰三角形时：

①若MN=ON，则H为底边OM的中点，

∴m=1，∴y

Q

=4－m=3。

由－x

Q

2－3x

Q

＋4=3，解得

Q

313

x

2



。

∴点Q坐标为（

3+13

2



，3）或（

313

2



，3）。

②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，

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根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（4－m）2＋（2－m）2，

化简得m2－6m＋8=0，解得：m

1

=2，m

2

=4（不合题意，舍去）。

∴y

Q

=2，由－x

Q

2－3x

Q

＋4=2，解得

Q

317

x

2



。

∴点Q坐标为（

3+17

2



，2）或（

317

2



，2）。

③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，

根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（4－m）2＋m2，

化简得m2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，

∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。

综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为

（

3+13

2



，3）或（

313

2



，3）或（

3+17

2



，2）或（

317

2



，2）。

【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的判

定和性质，勾股定理，解一元二次方程。

【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与

x轴另一交点C的坐标。

（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次

函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。

（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问

题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。“△MON是等腰

三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。