间接效用函数

间接效用函数

-

2023年3月18日发(作者：纳土纳群岛主权归属)

1

第一部分：消费者理论

一、形式化表述分析消费者偏好的性质

（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）

二、效用函数存在性证明请参考教材

三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。

考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为1p（2，4）时，其

需求为

1x

（1，2）。当价格为2p（6，3）时，其需求为

2x

（2，1），该消

费者是否满足显示性偏好弱公理。

如果2x（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

解答：81*42*2xp102*41*2xp2111消费束1偏好于消费束2

151*32*6xp122*31*6xp2212消费束2偏好于消费束1

违反了显示性偏好弱公理。

如果2x（1.4，1）时：

8.61*44.1*2xp102*41*2xp2111消费束1偏好于消费束2

2122px6*13*212px6*1.43*111.4消费束1在价格2的情况下

买不起。符合显示性偏好弱公理。

四、效用函数

121

),(xxxu，求瓦尔拉斯需求函数

解答：wxpxptsxxxu

2211121

..),(max从效用函数

121

),(xxxu可知商

品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，

对商品2的需求为0，0

2

x，

1

1p

w

x

或者由wxpxptsxxxu

2211121

..),(max,可得到

)(0max),(max

1

12

11

22

21

源于消费束的非负限制，，此时

p

w

xx

p

w

p

xpw

xxu





实际上，这是一个边角解，

2

五、效用函数



1

2121

)(),(xxxxu

，对其求

1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；

2、希克斯需求函数，支出函数。

答案：

1、

1

2

1

1

1

1

1

1



















pp

wp

x，

1

2

1

1

1

1

2

2



















pp

wp

x，













1

1

2

1

1

21

)(

),,(







pp

w

wppv

2、













1

1

2

1

1

1

1

1

1

)(







pp

up

h

，













1

1

2

1

1

1

1

2

2

)(







pp

up

h

，



















1

1

2

1

1

)(

),(

pp

u

upe

（形式可能不一样）

六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化

描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。请参考教材

七、证明对偶原理中的1.)],(,[),(wpvphwpx2.)],(,[),(upepxuph请参考教材

八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集}{

,

wxpXxBX

wp

：：。

假定}0,{wp。证明：如果X是一个凸集，则

wp

B

,

也是凸集。请参考教材

九、效用函数

2121

),(xxxxu，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应

和总效应。请参考教材

十、效用函数



1

2121

)(),(xxxxu

，求其货币度量的直接和间接效用函数。

答案：















1

1

2

1

1

1

21

)()(),(



ppxxxpw

1

x

2

x

3

wqqppwqp

































1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

)()(),(；

十一、效用函数

2121

),(xxxxu，当40,3,20

2

0

1

wpp，5,41

2

1

1

pp，

求其等价变化和补偿变化。

答案：w

qq

pp

wqp

21

21),(；，

)1

10

3

(40EV

，

)

3

10

1(40CV

十二、分析福利分析在税收方面的应用。请参考教材

十三、

2121

),(xxxxu

，假定25.0

1

p，1

2

p，

2w

，对商品1开征消费税0.25

元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。

解答：max

2121

),(xxxxu



2211

1．求瓦尔拉斯需求函数

（1）建立拉格朗日函数

)--(

221121

xpxpwxxL

（2）求极值一阶条件

0

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1







pxx

x

L

(a)

0

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2







pxx

x

L

(b)

0

2211







xpxpw

L



(c)

由(a)和(b)整理得：

()

()2

1

1

2

2

1

2

1

21

2

1

12=⇒=

p

p

x

x

p

p

xx

xx

（3）瓦尔拉斯需求函数

分别将

2

1

12

=

p

p

xx，

2

1

21

=

p

p

xx

代入预算约束(c)，有

4

1

12

=

p

w

x

2

22

=

p

w

x

2．求间接效用函数

将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数

2121

=),(xxxxu

，有

21

2

21

1

21

2

21

1

212

)

2

()

2

(),,(

pp

w

p

w

p

w

wppv

3．求支出函数

由间接效用函数，求反函数w得：

),,(2=

21

21

2

21

1

wppvppw

uppupe21

2

21

1

2=),(

4．求希克斯需求函数

法一：将支出函数

代入瓦尔拉斯需求函数

i

ip

w

x

2

=

，得到

upp21

2

21

11

h—upp21

2

21

12

h—

法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函

数。

5．求货币度量的效用函数

（1）货币度量的直接效用函数

由

uppupe21

2

21

1

2=),(

，有

),(2=),(

21

21

2

21

1

xxuppxpw

21

21

2

21

1

2=xxpp

（2）货币度量的间接效用函数

wqqppwqqvppwqp21

2

21

1

21

2

21

121

21

2

21

1

),,(2),;(

6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。

25.0=0

1

p

，

1=0

2

p

，

25.0+25.0=1

1

p

，

1=1

2

p

5

2===

01

www

等价变化分析：

2

)1()25.0(2

2

)()(2

),,(u

2121

21

0

2

21

0

1

0

2

0

1

0

pp

w

wppv

2

)1()5.0(2

2

)()(2

),,(u

2121

21

1

2

21

1

1

1

2

1

1

1

pp

w

wppv

按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

),(),(1110upeupeEv

wupe-),(=10

wwpp-),;(=10μ

wwpppp2

1

2

1

2

1

2

1_

1

2

_

1

1

0

2

0

1

5858.02215.0125.02

1

2

1

2

1

2

1__

商品税与收入税对消费者的福利之差为:

),;(),(),;()(101110wppEvupthwppEvT

0.08585858.02)1()5.0(25.05858.0)()(25.02121121

1

2

21

1

1

——upp

表明商品税对消费者的福利影响更差。

补偿变化分析：

按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

),(),(0100upeupeCv),(-=01upew

),;(-=01wppwμ

wppppw2

1

2

1

2

1

2

1_

0

2

_

0

1

1

2

1

1



8284.02125.015.022

1

2

1

2

1

2

1__

商品税与收入税对消费者的福利之差为:

),;(),(),;(-010101wppCvupthwppCvT

8284.00.70748284.02)1()5.0(25.08284.0)()(25.02121021

1

2

21

1

1

——upp

=0.1213

6

表明商品税对消费者的福利影响更差。

2.D.3B设xB

wp,

,x'B

wp,

,[0,1].

令x''=x+(1-)x',因为x是一个凸集，所以x''X.

故p∙x''=(p∙x)+(1-)(p∙x')≤w+(1-)w=w

因此，x''B

wp,

.

2.E.5B因为x(p,w)对w是一次齐次的，所以对任意



>0有

x(p,



w)=



x(p,w).

因此，x

l

(p,w)=x

l

(p,1)w.

因为当k≠l时，

l

x(p,1)/

k

p=

l

(p)/

k

p=0

所以x

l

(p,1)只是关于p

l

的函数，即可记为x

l

(p,w)=x

l

(p

l

).

又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以x

l

(p

l

)必定是p

l

的-1次方。

因此，存在

l



〉0时，使x

l

(p

l

)=

l



/p

l

.

7

根据瓦尔拉斯定律,∑

l

p

l

（

l



/p

l

）w=w∑

ll



=w.

因此有∑

ll



=1是个常数.

2.F.3B

(a)若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y

即,y∈[75,80]时,他的行为与弱公理矛盾.

(b)若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>100∙120+80y

即,y<75时,消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束.

(c)若100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤

100∙120+80y

8

即,y>80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.

(注:b,c假定弱公理成立)

(d)无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c中有一个成立

(e)当y<75时,商品1是劣等品.

100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>100∙120+80y

因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格

上升.但是,因为y<75<100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是

负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.

(f)当80

100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y

因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2

的相对价格下降.但是,因为y<100,商品2的需求量下降,这意味着

商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.

3.D.6B(a)令u

~

(x)=u(x))/(1=(x

1

-b

1

)'(x

2

-b

2

)'(x

3

-b

3

)',

其中)/(',)/(',)/('

因为函数u→u)/(1是单调变换,

9

因此,1'''

,

u

~

(•)与u(•)代表相同的效用水平.

因而我们可以不失一般性的假定

1.

(b)对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换：

lnu(x)=



ln(x

1

-b

1

)+ln(x

2

-b

2

)+ln(x

3

-b

3

).

根据UMP的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数:

x(p,w)=(b

1

,b

2

,b

3

)+(w-p∙b)(



/p

1

,

2

/p,

3

/p

)

其中p∙b=

332211

bpbpbp

将此需求函数代入u(•),得到间接效用函数:v(p,w)=(w-p∙b)

1

/p

（本题（a）中验证3.E.2和3.E.3不用作。）

3.G.3B(a)假设

1.对于效用函数:

lnu(x)=



ln(x

1

-b

1

)+ln(x

2

-b

2

)+ln(x

3

-b

3

).

根据EMP一阶条件得:

h(p,u)=(b

1

,b

2

,b

3

)+u/

1

p)/(

2

p/

3

p

321

/,/,/ppp

将此函数代入p∙h(p,u),得到支出函数:

10

e(p,u)=p∙b+u/

1

p)/(

2

p/

3

p.其中,p∙b=

332211

bpbpbp.

(b)对(a)中求出的支出函数求导

l

pupe/),(，通过与h(p,u)比较,可得到支出函

数的导数即为（a）中所求出的希克斯需求函数。

(c)根据(b)可得，D

P

h(p,u)=D2

P

e(p,u).

将a中的支出函数对p求二阶导数，得到

upeD

P

,2=///

321

pppu































2

33231

32

2

221

3121

2

1

/1//

//1/

///1

ppppp

ppppp

ppppp







在3.D.6中，我们得到x(p,w)=(b

1

,b

2

,

b

3

)+(w-p∙b)(



/p

1

,

2

/p,

3

/p

)

于是，D

W

x(p,w)=(



/p

1

,

2

/p,

3

/p

)

D

P

x(p,w)=-(w-p∙b)











































3

2

1

2

3

2

2

2

1

/

/

/

/00

0/0

00/

p

p

p

p

p

p













(b

1

,b

2

,b

3

)

根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立.

(d)根据D

P

h(p,u)=D2

P

e(p,u)以及D2

P

e(p,u)即得。

（e）根据upS,=D

P

h(p,u)=D2

P

e(p,u),

我们可得出D2

P

e(p,u)是半负定的，并且秩为2。

11

3.G.6(a)根据瓦尔拉斯定律，可得到：x

3

=(w-

11

px-

22

px)/

3

p

(b)是齐次的。对于任意

0，有：

100-5

31

/pp

+

32

/pp

+

3

/pw

=100-5

31

/pp+

32

/pp

+

3

/pw

，

33231

///pwpppp=

33231

///pwpppp.

(c)因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有：



3323133

/////pwpppppp

=

3323133

///5100//pwpppppp

因此，代入

3

p=1，整理得：

wpp2

21

=wpp2

21

5100

12

因为该方程对于所有

21

,pp和w都成立,则有，



=100

，=-5，

得，

5,5,100

21

xx=

33231

//5/5100pwpppp

由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的，则得到：

=0代入

3

p=1，对角线上的第一个元素为：-5+wpp2

21

55100

若≠0，则2〉0，就可找到一组wpp

21

,值使得上式〉0.

故得：=0所以，

21

xx=

3231

/5/5100pppp.

（d）因为对于任意价格，

1

x=

2

x，所以消费者的无差异曲线呈L型，拐

点在坐标轴的对角线上，如下图。

(e)根据d的结论，对于固定的

3

x，商品1和2的偏好可由

21

,minxx表示，

商品1和2的需求也无收入效应。因此得到：



321

,,xxxu=

21

,minxx+

3

x或是该形式的单调变换。

X1

OX2

13

3.I.7(a)根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性，可得到三种商品的需求函

数的定义域都是0:,3PRRwp。于是我们可以从需求函数中得到

一个33的斯拉茨基矩阵。将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉，

可得到一个22的子矩阵，为













ge

cb

p)/1(

3

.

根据瓦尔拉斯定律和齐次性，当且仅当22的子矩阵对称时，33

的斯拉茨基矩阵也对称。

同样，可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时，33的斯拉茨

基矩阵也是半负定矩阵。

因此，效用最大化所蕴含的参数限制为：c=e,b≤0,g≤0,且bg-c2≥

14

0.

(b)首先，证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关，

仅是前两种商品价格的函数，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。

uph

l

,=upepx

l

,,,uph

l



,=upepx

l



,,l=1,2

因为

l

x与收入无关，upepx

l

,,=upepx

l



,,

因此uph

l

,=uph

l



,。

故，uph

l

,与效用水平无关，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。

若价格变化是遵循路径：1,1→1,2→2,2，则等价变化为：

1112

1

,1,dpuph+2222

1

,,2dpuph=1112

1

,1,dpwpx+2222

1

,,2dpwpx

=cba2/3+ged2/32

若价格变化是遵循路径：1,1→2,1→2,2，则等价变化为：

1112

1

,2,dpuph+2222

1

,,1dpuph=1112

1

,2,dpwpx+2222

1

,,1dpwpx

=cba22/3+ged2/3

当且仅当c=e时，以上两种等价变化相等。

(c)由以上可知：

1

EV=1112

1

,1,dpwpx=a+(3/2)b+c

2

EV=2222

1

,,1dpwpx=d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g

EV=(a+(3/2)b+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+

15

d+(3/2)g

因此,EV-(

1

EV+

2

EV)=c

1

EV与

2

EV之和不包括由于第二种商品的价格上升到2引起的图

中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应（同样也可指不包括第

一种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等

价变化的效应）。从图中看出，当c=e〉0，

EV

包括ABCD区域，但

1

EV+

2

EV不包括。

(d)因为wx,1,2

1

=a+2b+c,第一种商品的税收收入与它相等，

因此，

1

DW=(a+(3/2)b+c)-（a+2b+c）=-b/2

因为wx,2,1

2

=d+e+2g,第二种商品的税收收入与它相等，

因此，

2

DW=(d+e+(3/2)g)-（d+e+2g）=-g/2

因为wx,2,2

1

=a+2b+2c,wx,2,2

2

=d+2e+2g,两种商品的税收收

入为：

（a+2b+2c）+（d+2e+2g）=a+2b+4c+d+2g

因此，DW=(a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=-b/2-c-g/2

d+ed+2e

2

0

1

DC

BA

X

2

X

1

16

故，DW-（

1

DW+

2

DW）=-c

（e）问题可以转化为：





21,

,

21

ttDWMin

tt

s.t.

lll

tutth,1,1

21

2

1



≥R

其中，

21

,ttDW=

21

,ttEV-

21

,ttTR

=utte,1,1

21

-ue,1,1-

lll

tutth,1,1

21

2

1



建立拉格朗日函数：,,

21

ttL=

21

,ttDW+（R-

21

,ttTR）

对

l

t求一阶导数：

l

tttDW/,

21

-

l

tttTR/,

21



=0

但是，由于

utte,1,1

21

/

l

t=utth

l

,1,1

21





l

tttTR/,

21

=utth

l

,1,1

21

+

klkk

ttutth)/,1,1(

21

2

1



所以

l

tttDW/,

21

=

utte,1,1

21

/

l

t-utth

l

,1,1

21



-

klkk

ttutth)/,1,1(

21

2

1



=-

klkk

ttutth)/,1,1(

21

2

1



因此一阶条件可以写为：



klkk

ttutth)/,1,1(

21

2

1



1+utth

l

,1,1

21



=0l=1,2

又因为R=

lll

tutth,1,1

21

2

1



,

则-=



21

21

2121tctba

ctbt





=



21

21

2121tgtca

gtct





17

(a+b

1

1t+c

2

1t)

1

t+(d+c

1

1t+g

2

1t)

2

t=R

第二部分：厂商理论

一、产商的生产函数31

2

31

111

),(xxxxf

，求其要素需求函数和条件要

素需求函数

解答：（1）),(..max

112211

xxfytsxwxwpy

2211

31

2

31

1

maxxwxwxpx

0

3

1

1

3

1

2

3

2

1

1







wxpx

x



0

3

1

2

3

1

1

3

2

2

2







wxpx

x



2

2

1

3

127ww

p

x

1

2

2

3

227ww

p

x

（2）)min(

2211

xwxwyxxts3

1

2

3

1

1

..

,2

3

2

1

2

2

1

11

ywwx,2

3

2

1

1

2

1

22

ywwx

二、产商的生产函数31

2

31

111

),(xxxxf

，求其成本函数和利润函数

解答：将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数，将条件要素需求函

数带入成本函数表达式就得到成本函数

18

答案：

21

3

2

3

2

1

2

2

1

12127

),(,2),,(

ww

p

ypywwywwc

三、产商的生产函数31

2

31

111

),(xxxxf

，（1）用三种方法求其供给函数（2）假

定生产要素2固定为k，再重新求其供给函数。

解答：（1）方法一：由利润函数求解供给函数

方法二：由生产函数求解供给函数

方法三：由成本函数求解供给函数（注意：

MCp

是利润最大化条件）

21

2

9ww

p

y

（2）同样的三种办法2

1

1

)

3

(

w

kp

y

四、厂商利润最大化条件的意义及应用边界；厂商成本最小化条件的意义及应用

边界（新加）

参考书

五、分析生产集的性质

参考书

六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。

参考书

七、证明利润函数是价格的凸函数。

参考书

八、给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述，

并解释经济意义。说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。

参考书

19

第三部分不确定性选择

一、一决策者的效用函数为xxu)(，初始财富160000，5%损失70000，5%损失

120000，问其愿意支付的最大保险金额多大？如果保险公司不承担损失中的

7620，其愿意支付的最大保险金额又多大？

解答：用确定性等值，（1）

R16%90%57%5

11775R

（2）

RRR



160000%9%57620160000%5

160000%90%57%5

11004R

二、给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述，

并解释经济意义。

二*、期望效用函数的存在性证明

参考书

三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。

参考书

四、简要分析保险需求理论的基本框架。

参考书

五、简要分析资产组合理论的基本框架

参考书

六、假定个人具有效用函数xxu)(，（1）计算当财富水平

5w

时的绝对和相

对风险规避系数。（2）计算彩票

)21,21;4,16(

的确定性等价和风险溢价（3）计

算彩票

)21,21;16,36(

的确定性等价和风险溢价。将这一结果与（2）比较，并

20

解释。

对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。

解答：（1）

10

1

2

1

2

1

)

2

1

(

2

1

1

2

1

2

3

















x

x

x

u

u

r

，

2

1







x

u

u



（2）)()())((

2211

xuxuwcu，9)(,4

2

1

16

2

1

)(wcwc

104

2

1

16

2

1

)(

2211

xxwE，

1)()()(wcwEwR

（3）

25)(wc

，

26)(wE

，

1)()()(wcwEwR

。

对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。

第四部分：局部、一般均衡和福利经济学

1．有一个卖方垄断者，其需求和成本函数分别为

qp602200

和

qqqc27405.195.023，请确定其在完全价格歧视和没有p价格歧视情况下

的最大利润和对应的边际价格与数量。（题目有错，请对应书的例题）

解答：（1）完全价格歧视

MCp2740183q-1.5q60q22002,

3.77q

,（

7.4q

舍去）

94793)77.3(c60q)dq-(2200c(q)pdq77.3

0

q

0



（2）无价格歧视

MCMR2740183q-1.5q120q2200230q,（12q舍去）

-135030c3030p)()(

2．一个卖方垄断者为两个空间上分离的市场服务，在这两个市场上，可以采取

两种价格，不必担心市场之间的竞争和返销。卖方垄断者的需求和生产成本函数

21

为：

2

21212211

)()(8031202100qqqqcqpqp，请确定

2121

q,q,p,p的值。

解答：由于两个市场分离，因此两个市场的价格、需求量独立

Maxcqpqp

2211

，0q,0q

21

，可得到

30q,40q,30p,20p

2121

3．考虑一种两个人、两种商品、纯交换的竞争经济。消费者的效用函数为

121112111

312qqqqU，

222122212

98qqqqU。消费者1的初始拥有量为8

单位

1

Q和30单位

2

Q；消费者2每种商品各拥有10单位。决定这两个消费者的

超额需求函数和这种经济的均衡价格比率。

答案：2

p

p

2

1，10-5,EE10,E,5E

22211211



4．考虑一种两个人、两种商品、有纸币纯交换的竞争经济。消费者的效用函数

为5.0

12111

qqU，5.0

22212

qqU。消费者1的初始拥有量初始拥有量为30单位

1

Q、

5单位

2

Q和43单位货币；消费者2初始拥有量分别为20、10和2。每个消费者

都想持有等于起初始商品拥有量价值的五分之一的货币存量。决定

1

Q和

2

Q的

均衡货币价格。表明如果消费者1、2的货币存量分别增加到129和6，则均衡

价格应为原先的三倍。

解答：首先不考虑货币存量，按第三题的做法求出

5

3

p

p

2

1

，接着再从货币市场

均衡求出均衡货币价格，5p,3p

21

。证明“如果消费者1、2的货币存量分

别增加到129和6，则均衡价格应为原先的三倍”，再从货币市场均衡求出均衡

货币价格或从货币均衡方程表达式直接证明即可。

5．考虑具有下列结构的行业。50个以竞争方式行动的厂商，具有相同的成本函

数

22

2yc(y)2，一个具有零边际成本的垄断者。产品的需求曲线由下式给出

50p1000pD)(。（1）什么是垄断者的利润最大化产量？（2）什么是

垄断者的利润最大化价格？（3）在此价格下，该竞争部门供给多少？（答案修

改了）

解答：竞争厂商的供给：yycMCp



)(，

竞争厂商的总供给：50p50yy

c



由市场均衡：

)p(S)p(D

，

mc

yy50p1000

垄断者的产量：100p1000y

m



垄断者的利润为：FC100p-1000pFC-pycpy2

mm



利润最大化一阶条件：

0200p-100

，

5p

500100p1000y

m

，25050py

c



6．设某垄断厂商的成本函数为20q50qc)(，市场的需求函数为

4q100qp)(，求其进行完全价格歧视和没有进行完全价格歧视两种情

况下的利润、产量和价格。

解答见书。

7．货币均衡分析的基本框架。

见书。

8、一般均衡的基本分析框架。

9、利用艾奇沃斯盒式图，说明两种商品如何在两个消费者之间进行配置的。

——————————后面为福利经济学

8．有一种经济，除了有一个生产者，其在产出市场上是个卖方垄断者，在其产

23

出的唯一投入市场上是个买方垄断者。此外满足帕雷托最优的全部条件。其生产

函数是

xq5.0

，对其产出的需求函数是

qp4100

，对其投入的供给函数是

xr22

。求其最大化生产者利润的值。求如果满足对应的帕雷托条件，这些

变量应该达到的值。

解答：（1）

)4q2(2q4q100q)2x2(x4q)q100(xrpqcpq2

利润最大化得

84p,8x192,,4q

（2）满足对应的帕雷托条件：

MCp

得到：

8.80p,9.6x32,.184,4.8q

9．考虑一个经济，有两家企业，两个消费者。企业1有消费者1完全所有。他

通过生产函数

xg2

，用石油生产枪支。企业2有消费者2完全所有，他通过

生产函数

xb3

，用石油生产黄油。每个消费者拥有10单位石油。消费者1的

效用函数是6.04.0),(bgbgu，消费者2的效用函数是

bgbguln5.0ln5.010),(。（1）找到枪支、黄油和石油的市场出清价格。（2）

每个消费者消费枪支和黄油各多少？（3）每个企业各使用多少石油？

解答：做法与第三题类似，只是还要区分生产和消费两部门，区分要素投入和产

品

3:2:6p:p:p

gbx

，消费者1使用9单位石油，8单位枪支，18单位黄油

消费者2使用11单位石油，10单位枪支，15单位黄

油

为了区分起见对每个消费者加上脚标，

对消费者1：

Max60

1

40

1111

..bg)b,g(us.t.

x1b1g

10pbpgp

对消费者2：

Max

22222

.)b,g(us.t.

x2b2g

10pbpgp

24

对两个消费者加上生产约束：

20xxx3b(bx2g(g

bgb21g21

/)/)

按上述求解可得。

10．假定生产相同商品的两个产商的成本函数为

211

2

11

2202qqqqC，

2

2

22

603qqC，根据每个厂商都使其个体的MC与固定市场价格240相等的

假定，确定厂商的产出水平。根据每个厂商使他的社会

MC

等于市场价格的假定，

确定他们的产出水平。确定将致使厂商实现帕雷托最优配置，但是他们的利润不

变的税收和补贴。配置上的这种改变所保证的社会受益的规模是什么？

解答：（1）个体的

MC

与固定市场价格相等

由

1

MCp

2

MCp解得2700,980030,q,70q

2121



（2）社会

MC

等于市场价格

2121

CC)qq(p，然后由最大化的一阶条件求得，

348,1411258,q,84q

2121



（3）税收和补贴

tMCp

1

sp

2

MC使其产量为社会最优58q,84q

21

，

则168s,0t

总值税：4312*tq*L

1111

，7392*sq*L

2222



社会受益：1960LL*sq*tq

2121

