数量关系公式

数量关系公式

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数量关系常用公式总结：

1.行程问题

基础公式：路程=速度*时间

一、相遇追及型

追及问题：追及距离=（大速度-小速度）×追及时间

相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间

背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间

二、环形运动型

反向运动：第N次相遇路程和为N个周长，

环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间

同向运动：第N次相遇路程差为N个周长，

环形周长=（大速度-小速度）×相遇时间

三、流水行船型

顺流路程=（船速+水速）×顺流时间

逆流路程=（船速-水速）×逆流时间

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2

四、扶梯上下型

扶梯总长=人走的阶数×[1±（V梯÷V人）]，顺行用加法，逆行用

减法

，根据公式带入级，速度为v解析:设扶梯为sv=11)解得×S=30

×1(1+v÷

S=20×2×(1+v÷2)s=60，所以选择B。

五、队伍行进型

队头→队尾：队伍长度=（人速+队伍速度）×时间

队尾→队头：队伍长度=（人速-队伍速度）×时间

解析：假设通讯员和队伍的速度分别为v和u，所求时间为t,则：

600=（v-u）×3解得v=250

600=v×(2+24÷60）u=50

600=（v+u）×tt=2,所以选择D

六、往返相遇型

左右点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）

第N次追上相遇，路程差=全程×（2N-1）

同一点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程×2N

第N次追上相遇，路程差=全程×2N

解析：a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇，实际上是两辆车第

3次迎面相遇，根据公式，路程和为5个全程，即5×210=1050（公

里），使用的时间为1050÷（90+120）=5（小时），所以b汽车共行

驶了120×5=600（公里），选择B

七、典型行程模型

等距离平均速度=（2速度1×速度2）÷（速度1+速度2）（调和平

均数公式）（速度1和速度2分别代表往﹑返的速度）

解析：代入公式v=2×60×120÷（60+120）=80

等发车前后过车：发车间隔T=(2t1×t2)÷(t1+t2);

V车/V人=(t2+t1)÷(t2-t1)

例：某人沿电车线路匀速行走，每分钟有一辆电车从后面追上，每4

分钟有一辆电车迎面开来，假设两个起点站的发车间隔相同，则这个

发车间隔为多少？

解析：依据公式，发车间隔T=(2t1×t2)÷(t1+t2)=2×12×4÷（12+4）

=6（分钟）。

推导原型：设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔t2

超过该人，有方程组：分钟就有辆公共汽车从后面．

V车+V人）×t1→V车S==(S/t1+S/t2)（÷2→

S=（V车-V人）×t2V人=(S/t1-S/t2)÷2

T=S/V车=2t1t2/(t1+t2)

N=V车/V人=（t2+t1）/（t2-t1）

（S表示发车间距，T为发车间隔时间，V车为车速，V人为人速，N

为车速与人速的比）

不间歇多次相遇：

单岸型：S=（3S1+S2）/2（S表示两岸的距离）

推导原型：设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离A

地S2，则V甲/V乙=S1/(S-S1)=(2S-S2)/（S+S2）→

S=（3S1+S2）/2（注：单岸指的是S1、S2都是距离同一出发地的距

离）

解析：假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了80、(S-80),

根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=80/(S-80),第二

次相遇时，甲、乙各走了(2S-60)、(S+60),同理可得，V甲/V乙

=(2S-60)

/(S+60)，综上80/(S-80)=(2S-60)/(S+60)，解得S=150。选择B

注：直接代入单岸型公式S=（3×80+60）/2=150。

两岸型：S=3S1-S2

推导原型：设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离B

地S2，则V甲/V乙=S1/(S-S1)=(S+S2)/（2S-S2）→

S=3S1-S2

解析：假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了6、(S-6),

根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=6/(S-6),第二次

相遇时，甲、乙各走了(S+3)、(2S-3),同理可得，V甲/V乙=(S+3)

/(2S-3)，综上6/(S-6)=(S+3)/(2S-3)，解得S=15。选择D

注：直接代入两岸型公式S=3×6-3=15。

无动力顺水漂流：漂流所需时间=2T逆T顺÷（T逆-T顺）（其中T

逆T顺分别代表船逆流和顺流所需的时间）

解析：根据公式：漂流所需时间=2T逆T顺÷（T逆-T顺）=2×7×

5÷（7-5）=35（天），选择B

2.排列组合问题

排列：与顺序有关，用A

C

组合：与顺序无关，用．

排列公式：Anm=n﹗/(n-m)﹗=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)(简

单记忆就是从n开始，连续乘以m个数)

组合公式：Cnm=n﹗/(n-m)﹗m﹗=n×(n-1)×(n-2)×…×

(n-m+1)/m×(m-1)×(m-2)×(m-3)×…×1

一、相邻问题-捆绑法

6人排成一队，ab要排在一起：A22*A55（先排ab，再捆在一起与

剩下的4人一起排队）

二、不相邻-插空法

6人排队，ab不排在一起：A44*A52（先排除了ab之外的4人，4

人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）

三、围成一圈

6人围成一圈：A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺

序排队）

四、几对夫妻排队

4对夫妻排队：A88（相当于8人排队）

五、夫妻要排一起

4对夫妻排队，并且夫妻要排在一起：（A22*A22*A22*A22）*A44(先

把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队)

六、夫妻坐在一起圆桌吃饭

4对夫妻坐在圆桌上吃饭，并且每队夫妻要坐在一起：

（（A22*A22*A22*A22）*A33）

错位排列型七、．

N个封信和N个信封，每一封信都不装在自己的信封里，可能的种数

为Dn，则D1=0，D2=1，D3=2,D4=9,D5=44。

八、分配插板

○将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少一个，共有多少种分法？

答：C72。（8个苹果排成一排，除两头外共有7个空档，选择2个空

档插入）

○将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少2个，共有多少种分法？

答：C42。（8个苹果先给每个小朋友分1个，剩下5个苹果排队，除

去两头外共有4个空档，选择2个空档插入）

3.牛吃草问题

核心公式：y=(N-x)*Ty代表草量，N代表牛的数量,x代表草长的

速度，T代表吃完草需要的时间

表格法解牛吃草问题

例：一片草地（草匀速生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃

10天，则这片草可供190只羊吃多少天？

N3N3-xT31219050

2N1N1-xT1N1*T1

24010061440N2N2-xT2N2*T2

T1-T2N1*T1-N2*T2右两项之商1404560

x=T2）（）（*T3N3-xy=（）=N1-x*T1=N2-x*

注：题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有．

区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的

牛数。

4.钟表问题

基本常识：时针每分钟走0.5°，分钟每分钟走6°；

24h内，时针和分钟重合22次，垂直44次；

钟表上每两格之间为30°

钟表问题追及公式：T=To+（1/11）To,其中T为追及时间，To为静

态时间，及假设时针不动，分针和时针达到条件要求时的虚拟时间。

例：时针和分针在7点多少分重合？

假设时针不动，分钟需要走35分钟才能与时针重合（7点时分钟和

时间间间隔35分钟的空格），所以To为35分钟，带入公式，

T=35+35/11

5.余数同于问题

核心口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。

（1）余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，

表示为60n+1。（60为4,5,6的最小公倍数，可取60的任意整倍数）

，7，则取1余6，除以2余5，除以3余4）和同：一个数除以2

（．

。表示为60n+7

3，6余3，则取余）差同：一个数除以4余1，除以52，除以（360n-3。

表示为0。注：n的取值范围为整数，可为负值，也可以取

容斥原理6.两集合标准型核心公式：=两者都满足的个数

II的个数-满足条件满足条件I的个数+两者都不满足的个数总

个数-

三集合标准型核心公式：-

C︱-︱A∩︱︱C-︱A∩B︱︱︱︱∪︱AB∪C=︱A+︱B+︱B∩

CC︱+︱A∩∩︱B

B三集合整体重复型核心公式：W=x+y+z

A+B+C=x×1+y×2+z×3AC

其中满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个

条件之一的元素总量为W，满足一个条件的元素数量为x，满足

两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为y。

人参加35个学生，暑假参加特长培训班，55例：一个班级共有．

人参加舞蹈，其中以上三种培训班都人参加美术，31书法，28人，

则有多少人只参加一种培训班？22参加的有6，代入公式，B=28，

C=31A=35解答：W=55，z=6，55=x+y+6

解得x=22

35+28+31=x×1+y×2+6×3y=27

7.几何问题模块

周长计算公式：

正方形周长=4a；长方形周长=2(a+b)；圆周长=2πR；扇形

周长=2πR×（n/360°）

面积计算公式：

正方形面积=a2；菱形面积=对角线乘积的一半；长方形面积

=ab；圆面积=πR2；扇形面积=πR2×（n/360°）；三角形

面积=1/2ah=1/2absinC；平行四边形=ah；梯形面积=1/2（a+b）

h；正方体表面积=6a2；长方体表面积=2ab+2ac+2bc；

球表面积=4πR2=πD2

体积计算公式：

正方体体积=a2；长方体体积=ab；球体积=3/4πR2；棱柱体

积=sh；圆柱体积=sh=πR2h；棱锥体积=1/3sh；圆锥体积

=1/3sh=1/3πR2h

勾股定理：a2+b2=c2

几何特性：

①等比放缩

一个几何图形，其尺寸变为原来的m倍，则：

1.所有对应角度不发生改变

2.所有对应长度变为原来的m倍

3.所有对应面积变为原来的m2倍

4.所有对应体积变为原来的m3倍

②几何最值

1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。

2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。

3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。

4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。

③三角形三边关系

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

几何边端：

①植树型

1.单边线型植树公式：棵数=总长÷间隔+1；

总长=（棵数-1）×间隔

2.单边环形植树公式：棵数=总长÷间隔；

总长=棵数×间隔

3.单边楼间植树公式：棵数=总长÷间隔-1；

总长=（棵数+1）×间隔

倍2响应单边植树问题所需棵数的双边植树问题公式：4.

②方阵型（N为每边人数）

三角形方阵：总人数=3N-3四边形方阵：总人数=4N-4

五边形方阵：总人数=5N-5六边形方阵：总人数=6N-6

M排N列实心方阵：总人数=M×N，外围人数=2M+2N-4

N排N列实心方阵：总人数=N×N，外围人数=4N-4

规律总结：1.无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满

足：外圈比内圈多8人。

2.在方阵中，总人数=N2=（外圈人数÷4+1）2

8.其他一些常用公式：

1.前n个奇数之和为n2；

2.等差数列公式：和=（首项+末项）×项数÷2=平均数

（中位数）×项数；项数=（末项-首项）÷公差+1

n-1

n-1/q-1)

×(qq=a；s=a3.等比数列公式：a×11nn4.三位数的页码公式：

页码=（数字+111）÷3-1=数字÷3+36（数字代表用了多少

个数字，如115，用了2个1和1个5，共3个数字）

5.四位数页码公式：页码=（数字+1111）÷4-1

6.如果所有的年不是闰年，那么N年之后星期几相当于N

天之后星期几

N个空瓶换(M-N)瓶酒转化为N个空瓶换M讲空瓶换酒型，7.

个（无瓶）酒个个空汽水瓶可换一瓶汽水，小李有11例：

超市规定每3空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？汽水，2

空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得=1解析：3空瓶瓶汽水。

2=5.5，所以最多可换511÷

李委明老师懒人专供部分：相对效率问题ABCAC-1.

例：小王和小刘一起手工制作一种工艺品，每个工艺品由甲

个甲部件，或者制150部件和乙部件组成，小王每天可制作

24个甲部件，或者制作75作个乙部件，小刘每天可制作60

天时间最多可制造多现两人一起制作工艺品，10个乙部件。

少件工艺品？.700D.900660B.675CA．解析：先列表

乙甲75A150C小王

24

B60小刘

24×150将表中的数字十字相乘并比较大小即：，显××

3075=15060然6，A，

将相乘最大的两个数，把大数设为24×150＞75×0．

小数设为B，A所在同一行（左边或右边）所在的数设为C，

则得公式A(B+C)/(A+C)，代入可得75×210÷225=70，再乘

以天数10，得出700，即为答案。

2.九宫格

以下九宫格每行、每列以及两条对角线的和相同，为w

abc

fde？i

h

g

关于九宫格的结论：×w

①正中间那个数为和的1/3，即e=1/3

由此可知b,e,h,成等差数列，即2e=d+f=b+h,②d,e,f成等差数列，

两对腰之和相等i=(d+b)/2顶点处数字为远处两腰的平均数，即③

3.分数求最大公约数和最小公倍数分母的最大公约数/=分数的最

小公倍数分子的最小公倍数分子的最大公约数/分母的最小公倍数=

分数的最大公约数．4对角面切长方体，大边则大，小边则小。（大

小包括周长和面积）蚂蚁走路，一点走到另一对点，切割长的棱则路

线短，切割短的（这个较抽象，可取观看李委明老师的讲课视频理

解）棱则长。．容斥原理扩展5．

二多型：参与两种的至多有多少

例：一个班级有30（M）名学生，12（A）个人会跳拉丁舞，8（B）

个人会跳肚皮舞，10（C）会跳芭蕾舞，问至多有多少人会跳两种舞

蹈？

①．若ABC可以构成三角形，则答案为（A+B+C）/2

②．若ABC无法构成三角形，B+C

③．若（A+B+C）>2M,则答案为3M-（A+B+C）

三少型：参加三种的至少有多少

例：一小偷藏匿于某商场，三名保安甲乙丙分别行动搜查商场的100

家商铺。已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则

三人都检查过的商铺至少有多少家？

公式：（A+B+C）-2M

同理四少型：（A+B+C+D）-3M

（以上公式，有不足及错误之处，敬请大家指出，谢谢）