隐函数求偏导
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2023年3月17日发(作者：网络广播系统)求偏导数的方法小结
（应化2，闻庚辰，学号：130911225）
一，一般函数：
计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大．在求某一点的
偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏导函数，再代人这一点的值而得
到这一点的偏导数．我们发现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元
的数量，再计算偏导数，可以减少运算量。
求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是：
1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.
2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)
和f’y(a,b).
3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.
复合具体函数的导数求解:
基本法则：
x
z
∂
∂
=
u
z
∂
∂
x
u
∂
∂
+
v
z
∂
∂
x
v
∂
∂
y
z
∂
∂
=
u
z
∂
∂
y
u
∂
∂
+
v
z
∂
∂
y
v
∂
∂
其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量
而已。
例1：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’
x
（1，1），f’
y
（1，0）；
法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是
x,y的函数.
则：
x
z
∂
∂
=
u
z
∂
∂
x
u
∂
∂
+
v
z
∂
∂
x
v
∂
∂
=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)
=y(x+y)xy[
)(yx
x
+ln(x+y)]
f’
x
(x,y)=y(x+y)xy[
)(yx
x
+ln(x+y)]
所以：f’
x
(1,1)=1+2ln2
由于f(x,y)的表达式中的x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达
式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称
性的函数，只要在f’
x
的表达式中将x,y调换即得到f’
y
。即：f’
y
（x,y）=
y(x+y)xy[
)(yx
x
+ln(x+y)]
所以f’
y
（1，0）=0
法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某
一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如：
Lnz=xyln(x+y)
上式两边求导得：
z
1
x
z
∂
∂
=y[ln(x+y)+
)(yx
x
]
从而：
x
z
∂
∂
=zy[ln(x+y)+
)(yx
x
]
所以：f’
x
(1,1)=1+2ln2
有函数的对称轮换性得：f’
y
（1，0）=0
例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。
设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求
x
z
∂
∂
+
y
z
∂
∂
在（1，1）处的值。
dz=d(eusin(v))=eusin(v)du+eucos(v)dv
du=d(xy)=ydx+xdy
dv=d(x+y)=dx+dy
代入后合并同类项得：
dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+eucos(v))dy将点（1，1）
代入得：
x
z
∂
∂
+
y
z
∂
∂
=2e(sin2+cos2).
二，隐函数的求偏导。
求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：
1)公式法
2)对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求
导法则来求。
例一：方程组
ozyx
azyx
2222
{
（注：x2为x的平方）
法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利
用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法：
法二：对方程组两边对求z导得：
01
022
{
dz
dy
dz
dx
dz
dy
dz
dxzyzx
求得此解得：
dz
dx
=
yx
zy
，
dz
dy
=
yx
xz