耦合器图片
机械常识-市场调查问卷
2023年3月17日发(作者：月历模板)7
BIYESHEJI
（20届）
PT对称耦合非线性波导中的孤子和怪波
所在学院
专业班级物理学
学生姓名
指导教师
完成日期
7
PT对称耦合非线性波导中的孤子和怪波
内容摘要：基于PT对称线性耦合的非线性薛定谔方程，研究连续波背景的调制不稳定性，以
及确定性怪波的产生和演化。这样的系统可以用来描述克尔非线性光耦合器，其中吸收和损耗保持
PT平衡。除这个线性耦合，我们也考虑交叉相位调制项的耦合。由Peregrine孤子构造的怪波是不
稳定的，然而我们证明聚焦交叉相位调制的相互作用会导致其部分稳定。关于PT对称和反对称高
亮孤子，我们得到其解析形式以及稳定区域，并通过直接模拟验证了这一理论结果。
关键词：时间宇称对称不稳定性怪波非线性薛定谔方程
SolitonsandroguewavesinPT-couplednonlinearwaveguides
Abstract:Weconsideredthemodulationalinstabilityofcontinuous-wavebackgrounds,andthe
relatedgenerationandevolutionofdeterministicroguewavesintherecentlyintroducedparity–time
(PT)-symmetricsystemoflinearlycouplednonlinearSchr¨odingerequations,whichdescribesa
Kerr-nsthelinear
coupling,theovherogue
waves,builtaccordingtothepatternofthePeregrinesoliton,are(quitenaturally)unstable,wedemonstrate
thatthefocusingcros-symmetric
andantisymmetricbrightsolitons,thestabilityregionisfoundtoo,inanexactanalyticalform,andverified
bymeansofdirectsimulations.
Keywords:parity–timesymmetry,instabilities,roguewave,nonlinearSchr¨odingerequatio
7
目录
1.引言..................................................................................................................................................3
2.模型..................................................................................................................................................4
3.调制不稳定性..................................................................................................................................4
对称系统中的Peregrine孤子..................................................................................................8
5.亮孤子............................................................................................................................................11
6.总结................................................................................................................................................13
参考文献.............................................................................................................................................13
7
1.引言
众所周知，连续波背景的不稳定性是规则的或随机的怪波出现的先决条件，与基本物理无关[1]。
该不稳定性一方面是由色散和非线性的相互作用来确定；而另一方面，如果我们考虑一个开放系统，
它也由吸收和损耗的竞争来决定。在后一种情况下，我们可以谈及耗散怪波[2]，它被认为是提高产
生高增幅脉冲的可能性。
除了上面提到的一类情况，还存在一种特殊的耗散系统，它服从所谓的PT对称，具有空间上
的分离和吸收与损耗间的精确确平衡。这些系统通过非厄米共轭的哈密顿量来描述，其可能有纯实
数的本征值谱，前提是这个哈密顿量的反厄米共轭部分的强度不超过某临界值[3,4]。
光学为多种波动现象描绘了一个统一的框架。特别是PT对称已在耦合光波导的实验中得以实
现[5]。此外，在等离子体波导管[6]和共振原子的混合气体[7]中的实现原理最近被提出的。另一方
面，光学怪波在一些实验环境中已被观察到[8,9]，同时在其他情况下也被预测，例如周期排列的波
导[10]。事实上，PT对称的概念首先被用于量子力学，它要求复势服从条件VxVx[4]。在
光学中实现PT对称系统最简单的模型是非线性双核耦合波导，其中一个核带有增益而另一个是损
耗，并且保持精确的平衡。这个双核耦合系统可以用耦合的非线性薛定谔方程组来描述，其中一个
带有增益而另一个是损耗。该模型以及它的推广可以存在亮孤子、暗孤子、漩涡和呼吸子，并且可
以用来描述双核波导间间的孤子开关。
就光学怪波来说，主要涉及两个研究方向。一是怪波事件与光纤中超连续光谱产生的过程相关。
孤子动力学在初期影响着超连续光谱的产生过程，也就是高阶孤子的分裂[24,20,25]，随后遵循着孤
子和色散波的多重相互作用[22,26,27]。特别地，强的拉曼位移孤子[28]被认为是怪波[8]，孤子碰撞
的波峰也被认为是怪波[29,30]。最近，报道了长时间加速的方形光学怪波，该怪波类似于海洋怪波
的形状[31,32]。另一种方法[33-35]是基于Akhmediev呼吸子解[36]，特别是被称作为Peregrine孤子
或Peregrine怪波的单峰解，在实验中[9]已被观察到，它们是由非线性薛定谔方程所描述的确定性
怪波[38]。这些研究工作显示由调制不稳定性所产生的波在其动力学演化中随之消失，这与著名的
海洋杀手的行为是一致的[39]。
本文我们主要研究基于双核耦合器的PT对称光学模型中的Peregrine孤子。特别感兴趣的是增
益和损耗的平衡，比如PT对称，是如何影响背景的调制不稳定性以及如何影响在空间和时间上都
局域的怪波的形成。具体地，在第二节引入模型。第三节分析连续波的调值不稳定性。第四节给出
模型的Peregrine孤子解。第五节研究该模型的PT对称和反对称孤子解的稳定性，并做相关的数值
模拟验证。第六节总结全文。
7
2.模型
我们考虑场变量为
1
和
2
的线性耦合非线性薛定谔方程组
2
22
11
112112
2
ii
zx
(1)
2
22
22
112221
2
ii
zx
（2）
该方程组可以用来描述光场在一组平行的平面波导中的动力学演化，其中z和
x
是无量纲的传播距
离和横向坐标，同时也可以意描述一个双核光纤耦合器，其中
x
表示时间[11,12,18,13]。方程（1）
和（2）含交叉相位调制的部分是非线性耦合，而最后一项是线性耦合，其中线性耦合常数归一
化为1。常数0描述方程（1）中的增益和方程（2）的损耗达到PT平衡。在光学中可以通过对
其中一个波导掺杂增益原子，而使两个有损耗的平行耦合波导实现这一设定。
虽然第一个波导载有增益，但是它与载有损耗波导的线性耦合致使系统的零态稳定，因而允许
线性波的传输。当增益或损耗相较于线性耦合足够小时，我们可以自然地假定1[42]。在这种情
况下，系统中的模式可以通过输入光束激发但不会自发产生。不失一般性，我们引入
sin,0
按照文献[11]提供的方法，我们求方程（1）和（2）的PT对称（+）和反对称（-）的解如下
21
,,ixzexz（4）
其中函数
1
服从方程
2
2
11
1111
2
cosi
zx
（5）
从方程（4）的形式可以明显的看到增益和损耗打破了耦合器的传统对称性。这个对称可以用下面的
简化替代：如果
12
,,,xzxz是方程（1）和（2）的解，那么21
,,,xzxz也是解。
这个约化相当于让。下面我们考虑变化的值的范围为0,，值和相当在相同
的增益和损耗下的两个不同的解。也就是说，0/2和/2对应PT对称和PT反对
称孤子。
3.调制不稳定性
容易得到，方程（1）和（2）的连续波解为
7
exp1/2j
cw
j
ikxibzi
（6）
其中k表示背景流，并且22
1
cosbk[16]，也就是两个核的振幅在这个域上是相同
的，它是维持增益和损耗平衡的必须条件。为了研究CW的调值不稳定性，我们假设
1/2
jizx
iizx
ikxibz
jjj
eevee
1,2j，1
jj
v。这样我们可以得到，稳定的特征值的色散关系有两个分支
1,2
k，分
别为
22
11
22kx（7）
222
21
22cos2cos2kx
（8）
我们的目的是确定背景是调职不稳定的参数范围。因为方程（1）和（2）的伽利略不变性，所
以不稳定性不受k的影响。从方程（7）和（8）观察到调值不稳定性有三种不同的来源。第一个不
稳定的发生在
1
0（9）
这是由长波长激发导致的‘标准’不稳定性，起源于方程（7），并且这个参数区域不受增益/损耗的影
响。
另一个不稳定域
2
1
cosmax0,（10）
由方程（8）产生，并且非线性薛定谔方程间的线性耦合导致这个不稳定域的出现。然而与前面的例
子不同，增益/损耗的存在0,使得状况大大不同于保守系0or[43]。当
2
1
2cos（11）
时，最大的不稳定性增长率，maxImv
，为
2
1
22
1
Im
2cos
m
m
v
而当
2
1
22
11
2cos0and
0<2cos2
（12）
7
时，最大的不稳定性增长率为
22
1
coscos0
m
v
。
注意到域（12）当SPM和XPM项相等时，即
1
，是不出现的（也就是在Manakov系统的PT
对称版本[44]）。
图的域：在两个面板的阴影区和在面板（b）曲线下面的域与不同的吸收/损耗系数对应在
对于不同的在
1
,面板中，并且有固定的XPM系数，1(a)或者1(b)。大写字母标出
了后面图片演变的参数。
对于方程（10）第一个重要的结论是对于/2（反对称解）其背景是不稳定的，和其
他参数的值无关。对称孤子0/2的MI域被详细地展示在图（1）里，情况聚焦1和
散焦1XPM被分开考虑。前面的情况（图（1））是最简单的。情况（9）的实现（用图片1(a)）
表示。在
1
，情况（10）导致cos0（反对称），没有引进新的MI域。散焦XPM（图片
1（b））是更难懂的，连同
1
（阴影区）内这存在被方程（10）产生的其他的MI域。结果，
CWs有高振幅，2cos/2，是不稳定的对于2
1
cos/。同时，当/2，
这个不稳定域接近域
1
。
不同的MI的起源导致不同的发展情况，我们通过直接数字模拟研究方程（1）和（2）。这个
模拟执行符合周期性边界条件和CW方程（6）的初始励磁通过加随机噪声，振幅是背景的1%。
以微小的吸收和损耗开始，被对称解/2决定，在图2里我们展示聚焦XPM模拟的经
典的结果（见图2（a），和在图1（a）中A点的参数一致），对于散焦XPM（见图2（b）—(d),
与图1（b）B—D点的参数相同）。在（a）中我们观察到MI发展的‘标准’情况。这个现象貌似在
预料中，然而揭示了PT对称系统值得注意的一点，和它对应的哈密顿函数相似（至少，在初始的
7
产生）。特别，我们注意到在两个波导管之间能量是分散式的。
当考虑散焦XPM时这个改变状况值得注意，尽管方程（9）是被满足的，就是MI有相同的性
质在保守系中。确实在图2（b）我们观察到相当快的能量传输从损耗波导管到吸收波导管，连同快
的成长峰。明显，这个峰可以被一个NLS（非线性系统）方程（1）描述伴随条件
2
0。这个现
象是由于聚焦SPM，
1
，因此不是一个值得注意的改变，即使从参数（9）（图片2（b））的域转
变为方程（10）规定的域（图片2（c））。一个显著变化（就是MI演变的第三种情况）发生当SPM
是散焦的（图片2（d））。情况就是这样，MI出现由于吸收和损耗的不平衡，导致场几乎均匀的
增长（损耗）关于在各自的波导管中。
调制不稳定性和有非零波失k的CW解的稳定性展示在图3。这里，我们限制一些考虑因素关于
聚焦SPM的MI，
1
0，但是当
1
0（图1（b）点C）。因此MI的演变在这种情况发生
依据相同的情况0k，见图2（c）和3（a）。同时，MI峰向
x
轴正方向移动，符合电流的方向。
同时，CW域预测是稳定的（图1（b）绿线以上—例如点C’），稳定性由数值模拟确定，见图3（b）。
图2.场分量2
1
,xz和2
2
,xz的演变（分别对应左右两栏）的平面波解，参数
7
1
1
1
1
0,/4,1.604,0.5,1(a),
0.76,1.5,1(b),
0.79,0.5,1(c),
0.98,0.25,1(d),
k
（a）（b）（c）（d）的参数和图一里的A，B，C，D一一对应。
图3.场分量2
1
,xz和2
2
,xz的演变（分别对应左右两栏）的平面波解，参数
1
0.2,/4,0.5,1,0.79(a),k或者0.4(b)。面板（a）和（b）的参数分别对应
图1（b）点C和C’
ine孤子在PT对称系统；在
1
0的情况下
在这种情况下，转向研究Peregrine孤子（怪波）传播与不稳定的背景中。很容易写出Peregrine
孤子在方程（1）和（2）1,2j的形式下[40,45]
2
1/2
1
22
242
11
12
,14
1224
j
iikxibz
j
iz
xze
xkzz
（13）
注意到，当z或x，解（13）融进方程（6）给出的背景。下面，我们讨论两种情况：
Peregrine孤子基于没有电流的背景0k，Peregrine孤子基于有电流的背景0k。
基于背景的Peregrine孤子（不伴随电流，0k）符合图1里的A点和B点，在图4里描述。
2,
j
xz的空间演化通过方程（1）和（2）的数值模拟求得，初始条件符合Peregrine孤子（13）
在4zzi（图4（a）和（b）），或2zzi（图4（c）和（d））。在散焦SPM和聚焦
7
XPM（图4（a）和（b））情况下中央峰符合Peregrine孤子出现子在MI峰之前，在0xz点。
同时，在聚焦SPM和散焦XPM情况（图4（c）和（d）），Peregrine孤子在0xz处的形状进
一步增长在第一（吸收泵浦）组件，减少在第二（损耗）核心。注意到怪波的结构的演化在这种情
况下类似于MI演化的情况在相同的参数下，通过比较图片2（b）和图片4（c）比较提出。
图ine孤子在PT界限
1
0.1604,0.5,1,/4(a)，或3/4(b)；
1
0.76,1.5,1,/4(c)，或者3/4(d)。（a）和（b）符合点A，（c）和（d）
符合点B。
在背景带电流的情况下(0)k，Peregrine孤子的中央峰沿着
x
轴正方向以群速2k移动，由方
程（13）看出被图片5（a）和（b）展示。对于聚焦XPM0的情况，PT对称/2怪波
是更‘稳定的’（就是MI波出现在主要怪波峰更长距离的传播后），见图5（a），与PT反对称/2
波对比，见图5（b）。
7
图5.（a），（b）有电流基础的Peregrine孤子在PT对称系统参数
1
0.6,1.0,0.5,1k
并且/4(a)，或者3/4(b)。图（c）（d）是S对振幅对于不同吸收/损耗系数（表
现在面板里）。并且
1
0.5,1和聚焦XPM在图（c），或者
1
1.5,1和散焦XPM在
图（d）。
为了从数学上描述怪波的‘稳定性’，我们将用一个Peregrine孤子的主要性质，由方程（13）产
生，也就是
3
,,
jj
xzxz
。如果不考虑孤子的相位，这个性质变为
22,,
jj
xzxz。因此，我们引进差
2
22
22
1212
,,(,)(,)Sxzixzixzixzidx
为了消除相位影响。在理想状态下，怪波的形状符合Peregrine孤子（13），差异为零即0S。因
此，
S
用来估量数值上得到的解与Peregrine孤子的差别，换句话说，混乱的MI对Peregrine孤子的
影响程度。结果描绘在图5（c）和（d）里。对于聚焦XPM（图5（c））当/2差异迅速增长
在1。同时，在的方面这个差几乎不依靠（/4,9/20,11/20的线在图5（c）里区
分不了）。对于/2情况是相反的：差随着增长（比较11/20和3/4的线）。对于散焦
XPM（图5（d）），差S随着增长在区域0里，然而突然增长在0.4。结果，对于聚
7
焦XPM，PT对称怪波在/2比反对称更稳定，对于散焦XPM情况是相反地。
5.亮孤子
明显方程（5）的任意振幅的亮孤子解是有效的，对于
1
0，
2
1
1
exp1cos
22
cosh/2
j
j
iz
x
（14）
1,2j，同上区间0/2和/2分别对应PT对称和反对称孤子。对于对称和反对
称孤子的准确的稳定性边界可以预计为下面的解析形式[11,47]：
1
2
1111
16cos
2573257cr
（15）
孤子在22
cr
时是稳定的。
这个结果使方程（15）产生正解有意义，否则PT对称破裂分叉不存在，并且不稳定性或许只
能从数学上研究（除了方程（15）描绘的不稳定性，其他的不稳定性也可以）。特别的，条件（15）
不能同时满足PT对称和反对称孤子。深一层的，任一类型的孤子存在需要符合
1
0，条件
20
cr
适用于PT对称孤子在
1
，对于PT反对称孤子在相反地情况，在
1
。
我们对以方程（1）和（2）为框架的扰动孤子做了直接的模拟，为了确定PT对称和反对称孤
子的稳定边界，尤其为了核实分析预测（15）。扰动通过增加一个部分振幅的2%被引进，另一个
减去2%。图片6（a）和（b）分别展示和
1
异号和同号情况下的稳定边界条件。我们证明了折
现边界是的函数，不是的[11,12]。
图6.（a）PT对称和反对称孤子的稳定性边界被展示在吸收—损耗系数sin和孤子振幅
面板中，在SPM和XPM系数反号的情况下。PT对称（S1）和反对称（A1）孤子分别用蓝色和
红色的实线表示，其系数分别为1和
1
1.5。标为S1（an）的黑色点线和S1边界配对，被
7
方程（15）推出。反对称孤子的稳定性的稳定性边界用绿色的虚线（A2）表示，符合1和
1
0.5。
（b）在SPM和XPM同号的情况下的稳定性边界，1和
1
3。（S3）和（A3）的对称和
反对称孤子分别用蓝色的实线（S）和红色的虚线（A）表示。标为S3（an）的黑色点线和后者的
分析配对。
数值发现稳定性边界接近他们的分析。他们之间的差异被解释为一些孤子（在没有微扰时是稳
定的）会因为一定振幅的刺激失去平衡。
反对称孤子的不稳定和稳定演化的经典例子，出现在稳定边界的两边，被展示在图7里，有
1和
1
0.5。在同样情况下对称孤子的快速稳定被展示在图8里，伴随大的振幅3。事
实上，在这种情况下对于任何PT对称孤子都是稳定的，稳定性边界和反对称的有关。
值得注意的，在Manakov限制，即
1
[44]，稳定性边界由方程（15）得出。直接模拟证明
在这种情况下所有的孤子都是稳定的。
图7.反对称孤子的所有部分的稳定和不稳定的演化在条件
1
1,0.5和arcsin0.2。
面板（a）和（b）符合振幅0.6的孤子的不稳定动力学，面板（c）和（d）展示振幅0.3的
稳定孤子。
7
图8.对称孤子的迅速的稳定化在大振幅，
1
3,1,0.5和0.2。
v
部分的动力学和展示
的
u
部分类似。
6.总结
本文我们研究MI在CW背景和在线性耦合PT对称耦合NLSEs系统中怪波的产生和演化。我
们展示了聚焦XPM非线性交互延伸Peregrine类型的怪波的稳定区域。这个系统也支持无损耗的怪
波。通过准确的数值分析和直接模拟核实PT对称和反对称孤子的稳定区域。
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