鸟头模型

鸟头模型

千色店-调查笔录模板

2023年3月17日发(作者：艾青代表作)

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page1of11

例题精讲

板块一三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一

1

3

样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时

也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图

12

::SSab

s

2

s

1

b

a

D

C

B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；

ACDBCD

SS

△△

反之，如果，则可知直线平行于．

ACDBCD

SS

△△

AB

CD

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

板块二鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在中，分别是上的点如图⑴(或在的延长线上，在上)，ABC△

,DE,ABAC

DBAEAC

则:():()

ABCADE

SSABACADAE

△△

4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page2of11

E

D

CB

A

D

E

C

B

A

图⑴图⑵

【例1】如图在中，分别是上的点，且，，平ABC△

,DE,ABAC

:2:5ADAB:4:7AEAC16

ADE

S

△

方厘米，求的面积．ABC△

E

D

C

B

A

E

D

CB

A

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

2

星【题型】解答

【解析】连接，，BE::2:5(24):(54)

ADEABE

SSADAB

△△

，所以，设份，::4:7(45):(75)

ABEABC

SSAEAC

△△

:(24):(75)

ADEABC

SS

△△

8

ADE

S

△

则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的35

ABC

S

△

16

ADE

S

△

123570ABC△

面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相70

等角或互补角)两夹边的乘积之比．

【答案】70

【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那ABCABADACAEADE

么三角形的面积是多少？ABC

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

2

星【题型】解答

【解析】连接．BE

∵3ECAE

∴3

ABCABE

SS



又∵5ABAD

∴，∴．515

ADEABEABC

SSS



1515

ABCADE

SS



【答案】15

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面4BDDC3BE6AE

积是甲部分面积的几倍？

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page3of11

乙

乙

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

乙

乙

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

2

星【题型】解答

【解析】连接．AD

∵，3BE6AE

∴，3ABBE3

ABDBDE

SS



又∵，4BDDC

∴，∴，．2

ABCABD

SS



6

ABCBDE

SS



5SS

乙

甲

【答案】5

【例2】如图在中，在的延长线上，在上，且，ABC△DBAEAC:5:2ABAD

，平方厘米，求的面积．:3:2AEEC12

ADE

S

△

ABC△

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

3

星【题型】解答

【解析】连接，BE::2:5(23):(53)

ADEABE

SSADAB

△△

，::3:(32)(35):(32)5

ABEABC

SSAEAC

△△

所以，设份，则份，平方厘:(32):5(32)6:25

ADEABC

SS

△△

6

ADE

S

△

25

ABC

S

△

12

ADE

S

△

米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到122550ABC△50

一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【答案】50

【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的2AFCF

面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

2

星【题型】解答

【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2

倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积

的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍．因此，平行四边形的面积为326（）

(平方厘米)．8648

【答案】48

【例4】已知的面积为平方厘米，，求的面积．DEF△7

,2,3BECEADBDCFAF

ABC△

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page4of11

F

E

D

C

B

A

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

3

星【题型】解答

【解析】，:():()(11):(23)1:6

BDEABC

SSBDBEBABC

△△

:():()(13):(24)3:8

CEFABC

SSCECFCBCA

△△

:():()(21):(34)1:6

ADFABC

SSADAFABAC

△△

设份，则份，份，份，份，恰好是24

ABC

S

△

4

BDE

S

△

4

ADF

S

△

9

CEF

S

△

244497

DEF

S

△

7

平方厘米，所以平方厘米24

ABC

S

△

【答案】24

【例5】如图16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?

1

5

1

4

1

6

DEF

ABC

三角形的面积

三角形的面积

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

3

星【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题

【解析】如下图，连接AD，BE，CF.

有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有=，所以=×=ABE

ABC

S

S





AE

ACABE

S

AE

ACABC

S

1

5ABC

S

同理有=,即==×=.

AEF

S

AF

ABABE

S

AEF

S

1

5

5

6ABC

S

1

6ABC

S

类似的还可以得到=×=，=×=．

CDE

S

1

4

4

5ABC

S

1

5ABC

S

BDF

S

1

6

1

3ABC

S

1

8ABC

S

所以有=-(++)=(1---)=．

DEF

S

ABC

S

AEF

S

CDE

S

BDF

S

1

6

1

5

1

8ABC

S

61

120ABC

S

即为．

DEF

ABC

三角形的面积

三角形的面积

61

120

【答案】

61

120

【例6】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面ABC:2:5ABBE:3:2BCCDBDE

积是多少？

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page5of11

A

B

E

C

D

D

C

E

B

A

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

2

星【题型】解答

【解析】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份，180ABCDBE2AB3BC5BE

份，由共角定理，设325BD:():()(23):(55)6:25

ABCBDE

SSABBCBEBD

△△

份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角6

ABC

S

△

310.525250.512.5

形的面积是平方厘米BDE12.5

【答案】12.5

【例7】如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______ABCD

1

3

AEAC

1

3

CFBCDEF

平方厘米．

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

3

星【题型】解答

【关键词】走美杯，五年级，初赛

【解析】由题意知、，可得．根据”共角定理”可得，

1

3

AEAC

1

3

CFBC

2

3

CEAC

；而；所以；:():()12:(33)2:9

CEFABC

SSCFCECBAC

△△

66218

ABC

S

△

4

CEF

S

△

同理得，;，，:2:3

CDEACD

SS

△△

183212

CDE

S

△

6

CDF

S

△

故(平方厘米)．412610

DEFCEFDECDFC

SSSS

△△△△

【答案】10

【例8】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延ABC1ABDBDABBCE2CEBC

长至，使，求三角形的面积．CAF3AFACDEF

F

E

D

C

B

AA

B

C

D

E

F

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

3

星【题型】解答

【解析】(法)本题是性质的反复使用．1

连接、．AECD

∵，，

1

1

ABC

DBC

S

S







1

ABC

S



∴．S1

DBC





同理可得其它，最后三角形的面积．DEF18

(法)用共角定理∵在和中，与互补，2ABCCFEACBFCE

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page6of11

∴．

111

428

ABC

FCE

S

ACBC

SFCCE











又，所以．1

ABC

S



8

FCE

S



同理可得，．6

ADF

S



3

BDE

S



所以．186318

DEFABCFCEADFBDE

SSSSS



【答案】18

【例9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方

厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

4

星【题型】解答

【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，

有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有．2

EADABDABD

EA

SSS

AB





同理．36

EAHEADEADABD

AH

SSSS

AD





类似的，还可得，有=30平方厘米．6

FCGBCD

SS



66

EAHFCGABDBCDABCD

SSSSS



连接AC，AF，HC，还可得，，6

EFBABC

SS



6

DHGACD

SS



有=30平方厘米.66

EFBDHGABCACDABCD

SSSSS



有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)

方法二：连接BD，有EAH、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°

又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，=2×3=6，所以=6．

EAAH

ABAD



EAH

S

ABD

S

类似的，还可得=6，有+=6（+)=6=30平方厘米．

FCG

S

BCD

S

EAH

S

FCG

S

ABD

S

BCD

S

ABCD

S

连接AC，还可得=6，=6，

EFB

S

ABC

S

DHG

S

ACD

S

有+=6（+）=6=30平方厘米．

EFB

S

DHG

S

ABC

S

ACD

S

ABCD

S

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page7of11

有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，

即为30+30+5=65平方厘米．

【答案】65

【例10】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的ABCDBEAB2CFCB3GDDC4HAADABCD

面积是，求平行四边形与四边形的面积比．2ABCDEFGH

H

G

A

B

C

D

E

F

H

G

A

B

C

D

E

F

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

4

星【题型】解答

【解析】连接、．根据共角定理ACBD

∵在和中，与互补，ABC△BFE△ABCFBE

∴．

111

133

ABC

FBE

S

ABBC

SBEBF







△

△

又，所以．1

ABC

S

△

3

FBE

S

△

同理可得，，．8

GCF

S

△

15

DHG

S

△

8

AEH

S

△

所以．8815+3+236

EFGHAEHCFGDHGBEFABCD

SSSSSS

△△△△

所以．

21

3618

ABCD

EFGH

S

S



【答案】

1

18

【例11】如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形EFGH66EAABCBBFDCCGHDDA

的面积．ABCD

H

G

F

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

F

G

H

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

4

星【题型】解答

【解析】连接．由共角定理得，即BD:():()1:2

BCDCGF

SSCDCBCGCF

△△

2

CGFCDB

SS

△△

同理，即:1:2

ABDAHE

SS

△△

2

AHEABD

SS

△△

所以2()2

AHECGFCBDADB

ABCD

SSSSS

△△△△

四边形

连接，同理可以得到AC2

DHGBEF

ABCD

SSS

△△

四边形

5

AHECGFHDGBEF

EFGHABCDABCD

SSSSSSS

△△△△

四边形四边形四边形

所以平方米66513.2

ABCD

S

四边形

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page8of11

【答案】13.2

【例12】如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四ABCDABCBCDADEFGH

边形的面积为5，则四边形的面积是．ABCDEFGH

AB

C

D

E

F

G

H

AB

C

D

E

F

G

H

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

4

星【题型】解答

【解析】连接、．ACBD

由于，，于是，同理．2BEAB2BFBC4

BEFABC

SS



4

HDGADC

SS





于是．444

BEFHDGABCADCABCD

SSSSS





再由于，，于是，同理．3AEAB3AHAD9

AEHABD

SS



9

CFGCBD

SS





于是．999

AEHCFGABDCBDABCD

SSSSS





那么．491260

EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCD

SSSSSSSSSS





【答案】60

【例13】如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，ABC△ABDBDABBCE

1

2

CEBCFAC

若的面积是，则的面积是多少？ABC△2DEF△

A

B

C

D

E

F

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

3

星【题型】解答

【解析】∵在和中，与互补，ABC△CFE△ACBFCE

∴．

224

111

ABC

FCE

S

ACBC

SFCCE







△

△

又，所以．2

ABC

S



0.5

FCE

S



同理可得，．2

ADF

S

△

3

BDE

S

△

所以20.5323.5

DEFABCCEFDEBADF

SSSSS

△△△△△

【答案】3.5

【例14】如图，，，，，．求．1

ABC

S

△

5BCBD4ACECDGGSSEAFFG

FGS

S



4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page9of11

S

G

F

E

D

C

B

A

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

3

星【题型】解答

【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一

个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以

看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况．3

最后求得的面积为．

FGS

S

△

432111

5432210FGS

S

△

【答案】

1

10

【例15】如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三ABCD8EADFCEGBF

角形的面积是多少平方厘米？ABG

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C

D

E

F

G

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

4

星【题型】解答

【解析】连接、．AFEG

因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积2

1

816

4BCFCDE

SS

△△

比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，再根据”当两个三角形有一个角相等或8

AEF

S



8

EFG

S



互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，，16

BFC

S



32

ABFE

S

，所以平方厘米．24

ABF

S



12

ABG

S



【答案】12

【例16】四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．1

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

4

星【题型】解答

【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形．DEFAGFCEH

假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为aAGFCEH4aDEF

，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角4217

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page10of11

形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为．

1

6

DEF

49

6

由于，，所以与三角形的面积之比为．4FAa3FBaAFBDEF

4312

7749



同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积BDCAECDEF

12

49

ABCDEF

的，所以的面积的面积为．

1213

13

4949

ABC

491313

6496



【答案】

13

6

【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是．ABCDE

B

D

C

E

A

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

4

星【题型】解答

【解析】从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六ABCD

边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正BCDE

六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边AE

形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是．

1

6

11

1323

63



12

1036

33



【答案】

2

6

3

【例17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。

【考点】三角形的鸟头模型【难度】

5

星【题型】解答

【关键词】学而思杯，

6

年级，第

10

题

【解析】连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在一条直线上，

所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA

比ED，故最少测量1次就可解决问题。

4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page11of11

【答案】1次