路程公式

路程公式

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2023年3月17日发(作者：rosh报告)

行程问题公式

基本概念

行程问题是研究物体运动的，它研究

的是物体速度、时间、行程三者之间的关

系。

基本公式

路程＝速度×时间；

路程÷时间=速度；

路程÷速度=时间

关键问题

确定行程过程中的位置路程相遇路

程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇

时间=速度和

相遇问题（直线）

甲的路程+乙的路程=总路程

相遇问题（环形）

甲的路程+乙的路程=环形周长

追及问题

追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

路程差＝追及时间×速度差

追及问题（直线）

距离差=追者路程-被追者路程=速度

差X追及时间

追及问题（环形）

快的路程-慢的路程=曲线的周长

流水问题

顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时

间

逆水行程＝（船速－水速）×逆水时

间

顺水速度=船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

解题关键

船在江河里航行时，除了本身的前进

速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这

种情况下计算船只的航行速度、时间和所

行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，

因此行程问题中三个量（速度、时间、路

程）的关系在这里将要反复用到.此外，流

水行船问题还有以下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速，（1）

逆水速度=船速-水速.（2）

这里，船速是指船本身的速度，也就

是在静水中单位时间里所走过的路程.水

速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水

速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流

航行时船在单位时间里所行的路程。

根据加减法互为逆运算的关系，由公

式（l）可以得到：

水速=顺水速度-船速，

船速=顺水速度-水速。

由公式（2）可以得到：

水速=船速-逆水速度，

船速=逆水速度+水速。

这就是说，只要知道了船在静水中的

速度，船的实际速度和水速这三个量中的

任意两个，就可以求出第三个量。

另外，已知船的逆水速度和顺水速度，

根据公式（1）和公式（2），相加和相减

就可以得到：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。

例：设后面一人速度为x，前面得为y，开

始距离为s，经时间t后相差a米。那么

（x-y)t=s-a

解得t=s-a/x-y.

追及路程除以速度差（快速-慢速）=追及时间

v1t+s=v2t

(v1+v2)t=s

t=s/(v1+v2)

（一）相遇问题

两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作

背向运动，随着时间的发展，必然面对面地

相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是

两个运动物体共同走完整个路程。

小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇

问题。

相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求

路程，求相遇时间，求速度。

它们的基本关系式如下：

总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

（二）追及问题

追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的

追及问题），也可以不同，但方向一般是相

同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的

问题。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的

关系，罕用下面的公式：

距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离

差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，

然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

（三）二、相离问题

两个运动物体由于背向运动而相离，就是相

离问题。解答相离问题的关键是求出两个运

动物体共同趋势的距离（速度和）。

基本公式有：

两地距离=速度和×相离时间

相离时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相离时间

流水问题

顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问

题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、

时间、路程三者之间的关系进行解答。解答

时要注意各种速度的涵义及它们之间的关

系。

船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫

做划行速度或叫做划力；顺水行船的速度叫

顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；

船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间内

走的距离叫做水流速度。各种速度的关系如

下：

（1）划行速度+水流速度=顺流速度

（2）划行速度-水流速度=逆流速度

（3）（顺流速度+逆流速度）÷2=划行速度

（4）（顺流速度-逆流速度）÷2=水流速度

流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距

离之间的关系。即：速度×时间=距离；距离

÷速度=时间；距离÷时间=速度。但是，河

水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。在

计算时，要把各种速度之间的关系弄清楚是

非常必要的。

1每份数×份数＝总数

总数÷每份数＝份数

总数÷份数＝每份数

21倍数×倍数＝几倍数

几倍数÷1倍数＝倍数

几倍数÷倍数＝1倍数

3速度×时间＝路程

路程÷速度＝时间

路程÷时间＝速度

4单价×数量＝总价

总价÷单价＝数量

总价÷数量＝单价

5工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率

6加数＋加数＝和

和－一个加数＝另一个加数

7被减数－减数＝差

被减数－差＝减数

差＋减数＝被减数

8因数×因数＝积

积÷一个因数＝另一个因数

9被除数÷除数＝商

被除数÷商＝除数

商×除数＝被除数

小学数学图形计算公式

1正方形

C周长S面积a边长

周长＝边长×4

C=4a

面积=边长×边长

S=a×a

2正方体

V:体积a:棱长

表面积=棱长×棱长×6

S表=a×a×6

体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a

3长方形

C周长S面积a边长

周长=(长+宽)×2

C=2(a+b)

面积=长×宽

S=ab

4长方体

V:体积s:面积a:长b:宽h:高

(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2

S=2(ab+ah+bh)

(2)体积=长×宽×高

V=abh

5三角形

s面积a底h高

面积=底×高÷2

s=ah÷2

三角形高=面积×2÷底

三角形底=面积×2÷高

6平行四边形

s面积a底h高

面积=底×高

s=ah

7梯形

s面积a上底b下底h高

面积=(上底+下底)×高÷2

s=(a+b)×h÷2

8圆形

S面积C周长∏d=直径r=半径

(1)周长=直径×∏=2×∏×半径

C=∏d=2∏r

(2)面积=半径×半径×∏

9圆柱体

v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面

周长

(1)侧面积=底面周长×高

(2)表面积=侧面积+底面积×2

(3)体积=底面积×高

（4）体积＝侧面积÷2×半径

10圆锥体

v:体积h:高s;底面积r:底面半径

体积=底面积×高÷3

总数÷总份数＝平均数

和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数

(和－差)÷2＝小数

和倍问题

和÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或者和－小数＝大数)

差倍问题

差÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或小数＋差＝大数)

植树问题

1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下

三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1)

株距＝全长÷(株数－1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端

不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那

么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)

株距＝全长÷(株数＋1)

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

盈亏问题

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份

数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配

的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配

的份数

相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本

－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

奥数行程问题的基本公式

时间：2010年02月02日???作者：???来源：互联网???点

击量：244

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速

度；路程÷速度＝时间

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究

的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写

出其他公式）

追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其

他公式）

流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时

间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间

顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速

＝（顺水速度－逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照

以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照

以上公式。

仅供参考：

【和差问题公式】

（和+差）÷2=较大数；

（和-差）÷2=较小数。

【和倍问题公式】

和÷（倍数+1）=一倍数；

一倍数×倍数=另一数，

或和-一倍数=另一数。

【差倍问题公式】

差÷（倍数-1）=较小数；

较小数×倍数=较大数，

或较小数+差=较大数。

【平均数问题公式】

总数量÷总份数=平均数。

【一般行程问题公式】

平均速度×时间=路程；

路程÷时间=平均速度；

路程÷平均速度=时间。

【反向行程问题公式】

反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两

地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）

两种。这两种题，都可用下面的公式解答：

（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；

相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；

相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。

【同向行程问题公式】

追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）

时间；

追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；

（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）

路程。

【列车过桥问题公式】

（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；

（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；

速度×过桥时间=桥、车长度之和。

【行船问题公式】

（1）一般公式：

静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；

船速-水速=逆水速度；

（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；

（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。

（2）两船相向航行的公式：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙

船静水速度

（3）两船同向航行的公式：

后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船

距离缩小（拉大）速度。

（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有

关的公式去解答题目）。

思维调查卷

时间：30分钟总分：100分（基分20）姓

名：________得分：________

试卷说明：本卷共6题，要求简单明了写出解答

过程，最后的结果请填在试题的横线上。

1.甲、乙两人同时同地同向出发，沿环行跑道匀速跑

步，如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一

次追上甲时，甲的速度立即提高1

4

，而乙的速度立

即减少1

5

，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追

上甲的地点相距（较短距离）100米，那么这条环

行跑道的周长是______米；

解：设甲原来的速度是1个单位，则乙原来的速度是

2.5个单位，甲后来的速度是1.25个单位，

乙后来的速度是2个单位。设第一次甲跑

了x圈时被乙追上，则此时乙跑了(x+1)圈；

被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上，则

乙又跑了(y+1)圈。利用两次甲乙跑的时间相等列方

程：

解得：

3

2

1,

3

2

yx

如图，若两人从A出发逆时针跑，则第一次乙在B点

追上甲，第二次在C点追上甲（A、B、C是圆周的三

A

C

B

等分点）。因为B、C相距100米，所以环形跑道的周

长为3003100米。

2.两块手表走时一快一慢，快表每9小时比标准表快

3分钟，慢表每7小时比标准表慢3分钟。现在把

快表指示时间调成是8:15，慢表指示时间调成

8:31，那么两表第一次指示的相同时刻是___:___；

答案：5：22

3.一艘船在一条河里5个小时往返2次，第一小时比

第二小时多行4千米，水速为2千米／小时，那么

第三小时船行了_____千米；

解：首先判断出开始是顺流。在第1小时和第2小时

这两个相等的时间内，速差是4，路程差也是4，那

么得到第1小时正好是走一个顺流的长度。由于第1

个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时肯

定是逆水。具体行驶情况如图。

再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是4，

那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小时的最终

时刻到全长的中点。

最后，比较第3小时和第3小时行

驶的情况：设全长为2a千米，船在静

水中的速度为每小时x千米。

4242

2222

aaa

xxxx







，

4

4

解得a＝10千米。

4.小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸

发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明

送书，追上时，小明还有

3

10的路程未走完，小明随

即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。这样，小明就

比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校

全部步行需要______分钟；

解：小明走

712

10210

，与小明的爸爸走

7

10的时间相同，

所以他们的速度比是

7

10：

2

10＝7：2，接下来如果小明

步行，爸爸骑车都走

3

10的路程，那么小明就多用5分

钟，设速度的一份为x，则

333

275,

1010140

xxx，所以小明

的速度是

33

2

14070

，从家到学校的路程是1，所用时间

是

31

123

703

分钟。

行程问题下

【老师寄语】：解行程问题要会读题，一遍快速

归类浏览；二遍逐句解读整理；三遍回头寻找误解。

最终要学会“纸上谈兵”。

——陈拓

一、环行运动：

1.男、女两名运动员同时同向从环形跑道上A点出发

跑步，每人每跑完一圈后到达A点会立即调头跑下

一圈。跑第一圈时，男运动员平均每秒跑5米，女

运动员平均每秒跑3米。此后男运动员平均每秒跑

3米，女运动员平均每秒跑2米。已知二人前两次

相遇点相距88米（按跑道上最短距离），那么这条

跑道长______米；

解：因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的5

3

倍，

所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚刚跑到3

5

全

长的位置。这时男运动员调头和女运动员以相同的速

度相向而行，所以第一次相遇点在距A点1

5

全长处。

下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男

运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与

女运动员第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第

二圈时，女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员

跑第一圈的时间，而女运动员跑第二圈的速度是男运

动员跑第一圈速度的2

5

，所以女运动员刚好跑到距A

点2

5

的位置，此时男女运动员相向运动，男运动员的

速度为3m/s，女运动员的速度为2m/s。这样第二次

相遇点距A点9

25

。两次相遇点间的距离为总全长的

1914

52525

。所以两点在跑道上的最短距离为全长的

1114

1

2525

。而这段距离又为88米。所以88÷11

25

＝200米。

2.在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙3人同时从起

跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是6千米/

小时，乙的速度是30

7

千米/小时，丙的速度是3.6

千米/小时，_____分钟后3人跑到一起，_____小

时后三人同时回到出发点；

分析：我们注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢

者跑的路程差应是300的整数倍；如果都同时回到出

发点，那么每人跑的路程都是300的整数倍。同时注

意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求

两个分数的最小公倍数的方法可以解决问题。

解：（1）先换算单位：甲的速度是6000

100

60

米/分钟；乙

的速度是30000500

7607





米/分钟；丙的速度是18000

60

560





米/分钟。

（2）设t分钟3人第一次跑到一起，那么3人跑的

路程分别是100t米、500

7

t米、60t米。路程差20080

40,,

77

ttt都是

300的整数倍。而337157105

[,,][,,]

4

t



，所以第

一次3人跑到一起的时间是105

2

分钟。

（3）设k分钟3人同时回到起点，那么3人跑的路

程分别是100t米、500

7

t米、60t米。每个路程都是300的

整数倍。而3

[,,][3,,5]105

100500605

t



，所以3人同时回到

起点的时间是105分钟。

评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有分子

的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母

得到的分数。

3.某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形

跑道〔如图〕，甲、乙俩

个运动员分别从两条跑

道相距最远的两个端点

A、B两点同时出发，当

跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑

道，且在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须

逆时针跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第

5次与甲相遇时，所用时间是______秒。

分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦的

事，需要分段计算，然后找到周期，这样没有细心的

计算是很难解决问题的。现在我们注意到在小圆上是

顺时针，在大圆上是逆时针，如果这两个圆能“拧

开”就是一个在周长400米的大圆上的不同起点同时

的追及问题，题目一下子变得非常简单了。

解：根据分析，甲在A处，乙在B处，相距200米同

时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑200米，

以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次

A

CB

B

A

乙追上甲时，比甲多跑400×4+200＝1800米，需要

的时间是1800÷（5－4）＝1800秒。

评注：当一个问题按试题指引的方向比较复杂时，有

时可以换一个角度得以使试题简化，而题

目本身并没有实质上的变化，这是解决数

学问题经常用到的“转化”的数学思想。

4.如图，正方形ABCD是一条环行公路。已

知汽车在AB上时速是90千米，在BC上

的时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在

DA上的时速是80千米。从CD上一点P，同时反向

各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇。如果从

PC的中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在

AB上一点N相遇。那么AN

NB

______；

分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反

向开出的两辆车，不管走什么样的路况，到相遇的时

候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转

化成时间来解题。

解：设正方形的边长为720千米，那么AB上行驶的

时间是720÷908小时，BC上行驶的时间是720÷

1206小时，CD上行驶的时间是720÷6012小时，

DA上行驶的时间是720÷809小时。那么行驶一周的

总时间是8+6+12+935小时。

A

B

C

D

N

P

M

8

6

1

9

从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们

将在AB中点相遇，相当于从AB中点同时反向各发出

一辆汽车，它们在CD上一点P相遇，每辆车都行驶

35÷2＝17.5小时，DP上的时间为17.5494.5小时，

PM上的时间为（124.5）÷23.75小时。同样得到

AN上的时间为17.53.754.590.25小时，NB上的

时间为8－0.25＝7.75小时。AN、NB上的速度相同，

故路程比就等于时间比。即0.251

7.7531

AN

NB

。

评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到

起点的时间相同，很容易求得DP上的时间。同时注

意到把边长设成速度的最小公倍数解题可以简化计

算。

二、时钟问题：

5.早上8点多的时候上课铃响了，这时小明看了一下

手表。过了大约1小时下课铃响了，这时小明又看

了一下手表，发觉此时时针和分针的位置正好与上

课铃响时对调，那么上课时间是_______时______

分。

分析：8点多上课，下课是9点多，两次的时针应是

在8－9与9－10之间，这样可以初步判断出上课时

间是8：点45分到8：50，下课时间是9：40到9：

45之间。再利用分针与时针速度的关系即可转化成环

形上的行程问题。

解：有分析可以知道，分针和时针走的总路程是整个

圆周，设分针速度为1，那么时针速度为1

12

，分针每

小时走60个小格，设8与时针的夹角为x格，9与分

针的夹角为y格，根据时间相同列方程组：

45

1

1

8

12

,4

40

143

1

1

12

xy

x

yx





























。所以上课的时间为40+8

4

143

8

44

143

分钟。

6.一只旧钟的分针和时针每65分钟(标准时间的65

分钟）重合一次,这只钟在标准时间的1天（快或

慢）______分钟；

分析：我们标准钟每65

11

5标准分钟时针、分针重合一

次。旧钟每65分钟重合一次。显然旧钟快。本题的

难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推

算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准分钟旋转多

少格)进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，

它与标准钟的针用24标准小时所走的格数的差就是

旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。

解：设旧钟分针每标准分钟走x格。那么，每走1格

用

x

1标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分针速度为x

(格/标准分)。旧钟分针走60格时针走5格，时针速

度总是分针的

12

1，所以旧钟时针速度为

12

1x(格/标准

分)。每次重合耗用65标准分钟，而且两次重合之间

分针赶超了时针60格，列方程：11212

(1)6560,

121311

xx







.

标准时间一天有60×24＝1440标准分，一天内

旧钟分针走的格数为：

1113

1212



×60×24。但是我们只须

求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格，即减去

1440个(标准钟的)格，所以有

1113

1212



×60×24－60×24

＝(

1113

1212



－1)×60×24＝

1113

143144



－×60×24＝

1113

2460



＝

10

143

10(旧钟格)

这里一定要明白，这10

143

10只是旧钟上显示的多走

的格数，也是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟

数。

答：这只旧钟在标准时间一天内快10

143

10分钟。(按旧

钟上的时间)

7.一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动

的角度为成差数列递增。现在可以设定指针第一秒

转动的角度a（a为整数），以及相邻两秒转动的角

度差1度，如果指针在第一圈内曾经指向过180度

的位置，那么a最小可以被设成_______，这种情

况下指针第一次恰好回到出发点是从开始起第

_____秒。

解：对于满足条件的a，即存在1个自然数n，使得

a+(a+1)+(a+2)++(a+n1)=180，即(2a+n1)n=360。

显然a越小时，2a+n1与n的差越小。又2a+n1与

n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5。故a最小

可以被设成5。在这种情况下指针第一次恰好回到出

发点时，即5+6+7+……+n=360k（k是整数，n5），

所以n+5(n4)能被720整除。注意到

n4n+5(mod3)，所以n4和n+5是3的倍数。又n+5

与n4的奇偶性不同，故有一个是16的倍数。且n+5

与n4中有1个是5的倍数。于是得出满足条件的

最小的n是100。时间为96秒。

三、流水行船问题：

8.某人乘坐观光游船沿河流方向从A港到B港前行。

发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船,每

隔20分钟就会有一艘货船迎面开过。已知A、B两

港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中的

速度相同，均是水速的7倍。那么货船的发出间隔

是_____分钟；

分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后追及

这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的

不同。

解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，游

船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的情况下

的间隔为30×[(6+1)(x+1)](6+1)×t，迎面相遇情

况下的间隔为20×[(61)+(x+1)](61)×t，解得t

＝720/29分钟。

评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时

间间隔相同时候，在顺水与逆水的间隔路程就不同

了，就是这样出错的。

9.有一地区，从A到B为河流，从B到C为湖。正常

情况下，A到B有水流，B到C为静水。有一人游

泳，他从A游到B，再从B游到C用3小时；回来

时，从C游到B，再从B到A用6小时。特殊情况

下，从A到B、从B到C水速一样，他从A到B，

再到C用2.5小时，在在这种情况下，从C到B再

到A用______小时；

解：设BC为1份，AB为x份，则AB占总体的

1

x

x

，

BC占总体的1

1x

，根据特殊情况下，从A到B、从B到

C水速一样，他从A到B，再到C用2.5小时，速度

相同，时间的比等于路程的比，得到关于时间的等式

2.52.5

2.5

11

x

xx





.

这样得到其它两个条件的等式：

2.50.535.530.53

3,6,

1111

xxxx

xxxx







而要求的算式是

5.53

5.53

?

11

x

x

x

xx









这样知道在BC上逆水时的时间为

5.53

1

x

x

x





，静水时

所用时间为0.53

1

x

x





，顺水时所用时间为2.5

1x

，所以在BC

上逆水、静水、顺水时的速度比为

5.53

x

x

：1

0.53x

：1

2.5

，

由于三者是公差为水速的等差数列，所以得到等式：

2

0.53x



5.53

x

x

1

2.5

，3

2

x.

所以

5.53

5.53

4.537.5

11

x

x

x

xx









.

答：在特殊情况下，从C到B再到A用7.5小时。

评注：本题的关系十分复杂，把四个条件都用时间表

示出来，然后寻找在BC上的三种速度是一个等差数

列。

10.A地位于河流的上游，B地位于河流的下游，每

天早上，甲船从A地、乙船从B地同时出发相向而行。

从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在

静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇

地点与平时相比变化了1千米。由于天气的原因，

今天（12月6号）的水速变为平时的2倍，那么今

天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化

_______千米；

分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水中相

遇时，速度的和不变；

解：设开始甲船在静水中中速度为V

甲

，乙船在静水

中速度为V

乙

，水速为V

水

，相遇时间为t。

（1）开始时相遇时间为t，而速度均增加1.5倍时，

行驶路程不变，故时间缩小1.5倍时间即为t1.5=2

3

t，

根据两次相遇点相距1千米，甲两次的路程差为1千

米，列方程，22

(1.521.5

33

tVVtVV

甲甲

水水

）（）=1，tV水

=3，从而

2222

(1.521.532

3333

tVVtVVtV

甲甲

水水水

）（）（千米）；

评注：从题目结论可以看出，路程的变化与甲、乙速

度无关，只与水速的变化有关；

四、综合行程：

11.司机每天按规定时间开车从工厂到厂长家接厂

长。一天厂长提前了1小时出门，沿路先步行，而

司机晚出发了4分钟，途中接到厂长，结果厂长早

到厂8分钟，那么开车速度与厂长步行速度的比是

_____；

分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的路程

下，路程比等于时间的反比。

解：司机晚出发4分钟，又早到8分钟，那么相当于

少用4812分钟时间接厂长到厂，又知道司机来回

的时间是相等的，故司机去的时候少用122＝6分钟。

而司机这6分钟走的路程是厂长步行的路程，厂长走

这段路的时间应该是早出发的1小时加上司机遇到厂

长时少用的6分钟，共66分钟。根据分析，相同的

路程情况下，司机的速度与厂长步行的速度比是66：

6＝11：1。

评注：不要认为司机6分钟的路程是厂长1小时的路

程，而是要加上司机去的时候少用的6分钟，想一想，

为什么？

12.某路公交线共有30站（含始发站和终点站），车

站间隔2.5千米，某人骑摩托车以300米/分的速

度从始发站沿公交线出发，差100米到下一站时，

公交总站开始发车，每2分钟一辆，公交速度500

米/分，每站停靠3分钟，那么一路上摩托车会被

公共汽车从后追上并超过_______次；（摩托车从始

至终不停，公交车到终点即停）

解：摩托车与总站相距2400米的时候，第一辆车开

始发车，它与摩托车超过9次，第二辆超过8次，第

三辆超过2次，共计19次；

13.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，4小时后

在某处相遇；如果甲每小时多走1.5千米，而乙比

甲提前24分钟出发，则相遇时仍在此处。如果甲

比乙晚48分钟出发，乙每小时少走2.5千米，也

能在此相遇，那么A、B两地之间的相距_______千

米；

分析：本题的关键是三次相遇的地点相同，然后考虑

各自的时间和速度的变化。

解：假设甲乙4小时相遇在C处，当甲每小时多行1.5

千米时，要走相同的路程，则时间就少用24

0.4

60

小时，

实际所用时间是4－0.4＝3.6小时，那么甲原来的速

度是1.53.6

13.5

0.4



千米/小时；当乙每小时少走2.5千米，

则走相同的路程要多用48

0.8

60

小时，实际所用的时间是

4+0.8＝4.8小时，那么乙原来的速度是2.54.8

15

0.8



千米/

小时。所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝114

千米。

解法二：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千

米/小时，则甲乙的路程分别是4x千米、4y千米。那

么

所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝114千米。

评注：这里注意到乙多走的24分钟，相当于甲少走

了24分钟，速度增加，时间减少，路程不变的情况。

14.有轿车、货车、公共汽车各一辆在一条公路上行

驶，公共汽车在最前面，轿车在最后面，公共汽车

与货车的车距是货车与轿车车距的2倍。轿车追上

货车的时间为10分钟，再过20分钟追上公共汽车，

又过20分钟，货车也追上公共汽车，其中公共汽

车每走5分钟就停靠车站一次，每次停留2分钟，

那么轿车、货车、公共汽车行驶速度比为

___:___:___；

解：如图设轿车、货车、公共汽车的速度分别为

123

,,,vvv

轿车和货车的距离为a，那么轿车追上货车时，各自

行驶了10分钟，轿车追上公共汽车时，轿车行驶了

30分钟，而公共汽车只行驶了22分钟（30÷7＝4…2，

4×5＋2＝22），当货车追上公共汽车时，货车行驶了

50分钟，公共汽车行驶了36分钟（50÷7＝7…1，5×5

＋1＝36），可以得到方程组：

12

13

23

1010(1)

30223(2)

50362(3)

vva

vva

vva

















（3）－（1）×2得：

213

351018vvv（1）×3－（2）

得：

23

:22:30vv

从而得到

123

::23:22:30vvv

评注：本题涉及到三个对象的运动，要弄清各自的运

动情况是理清解题思路的关键，同时注意到公共汽车

是有间歇的行驶，虽然时间有那么多，而实际行驶的

需要换算。

轿车

货车

公共汽车

a2a

15.A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路

上，甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发，甲、乙

向东，丙向西；乙，丙在距离B地18千米处相遇，

甲，丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙时，丙已

经走过B地32千米，那么，AC间的路程是______

千米；

思路：三人有时间相同的路程，使用比例，路程比等

于速度比；

解：如图设a、b；

（1）V乙

：V丙

=18：b；

（2）V甲

：V丙

=（32+a）：

（18+b）；

（3）V甲

：V乙

：V丙

=（50+a+b）：

（18+b）：（50+b）；

由①、②可知V甲

：V乙

：V丙

=（32+a）

b:18(18+b):b(18+b),

从而V甲

：V乙

：V丙

=18（50+a+b）：18(18+b)：18

（50+b）



321850

181850

abab

bbb













40

30

a

b











，所以AC间距离为40+32+18+30=120（千米

行程问题上练习题

1.甲、乙二人分别从圆形跑道的直径两端

A

B

C

18

b

丙

①

丙

C

BA

②

ABC

丙

32a

甲

乙

③

甲

乙

点同时出发以匀速反向绕此圆形路线运动，当乙走

了100米后，二人第一次相遇，在甲差60米走完

一周时又第二次相遇，如果两个人同向出发，那么

甲第一次追上乙时距离他的出发点有______米；

解：第一次相遇时两人共走了半个圆周，从开始到第

二次相遇两人共走了三倍的半圆周，那么乙走了

100×3＝300米，它恰好是半圆周的多60米，这样圆

周长是（300－60）×2＝480米。

乙走100米时，甲走了240－100＝140米，这相当于

两人的速度，两人同向出发时，甲要比乙多走半个圆

周就追上乙，需要的时间是240÷（140－100）＝6

个半圆周，这时甲走了6×140＝840米，480×2－840

＝120米，因此甲第一次追上乙时距离他的出发点有

120米。

2.某工厂的计时钟走慢了，分针70分钟与时针重合

一次，李师傅按照慢钟工作8小时，工厂规定超时

工资比原工资多3.5倍，李师傅原工资为每小时3

元，这天工厂应付李师傅超时工资______元；

分析：首先要把这个慢表的1小时转换成标准时间的

1小时。

解：在慢表中，70分钟分针和时针重合一次，而标准

时间是720

11

分钟分针和时针重合一次。那么慢表中的8

小时在标准时间中是70×8÷720

11

，超出的时间是

70×8÷720

11

－8，由于超出的每小时的工资是3×

（1+3.5）＝13.5元，那么超时工资就是（70×8÷720

11

－8）÷13.5＝7.5元。

评注：设分针的速度是1，那么时针的速度是1

12

，再

设x分时针和分针重合，分针比时针多走60个格，

故有1720

(1)60,

1211

xx（分钟）。

3.江上有甲、乙两个码头，相距15千米，甲码头在

乙码头的上游。一艘货船和一艘游船同时分别从甲

码头和乙码头出发向下游行驶。5小时后货船追上

游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中，

6分钟后货船上的人发现并掉转船头去找，找到时

恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小

时______千米；

解：（1）货船比游船每小时快15÷5＝3千米，当相

遇后1小时，游船与货船的距离是1×3＝3千米，当

货船返回到物品时的时间还是6分钟，那么游船船走

6×2＝12分钟时，那么游船12分钟的顺水路程加上

货船逆水6分钟的路程恰好是货船6分钟顺水路程加

上3千米的路程，即12

60

V乙

V水

6

60

V甲

V水

=6

60

V甲

V水

3，解得V乙

=15千米/小时。

评注：注意到当一个物体从一个船上掉入水中，那么

船是顺水速度，物体是水速，相当于船在静水中的速

度；而返回寻找物体时，船是逆水速度，物体还是水

速，两者速度和还是船在静水中速度。即船来回的时

间是相同的。

4.某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车

去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这

位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇

到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时

40分到达。那么汽车速度是劳模步行速度的_____

倍；

解：汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20

分钟的路程，说明相遇时间是2：20，2点20分相遇

时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走

30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8

答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。

5.甲、乙两人同时从A、B两地出发，甲每分钟行80

米，乙每分钟行60米，两人在

途中C点相遇。如果甲晚出发7

分钟，两人在途中D处相遇，且A、B中点E到C、

D两点的距离相等，那么A、B两地间距离为_______

米；

解：甲晚出发7分钟，相当于乙先走7分钟，这7分

A

B

E

C

D

钟，乙走了60×7＝420米，如果是甲乙和走这段路

程，那么需要420÷（80＋60）＝3分钟，那么第二

次比第一次相遇的时间差是7－3＝4分钟，4分钟乙

走了CD，那么CD＝4×60＝240米，第一次两人的路

程差是240米，速度差是80－60＝20米/分钟，那么

第一次相遇的时间是240÷20＝12分钟，所以A、B

两地的距离是12×（80＋60）＝1680米。

6.某人骑摩托车以300米/分的速度从始发站沿公交

线出发，在行驶2400米时，恰好有一辆公共汽车

总始发站出发，公交速度500米/分，每站停靠3

分钟，两站之间要行驶5分钟，那么一路上摩托车

会与公共汽车遇见_______次；

解：摩托车与总站相距2400米的时候，遇见10次。

7.一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发

相向而行。客车每小时行驶32千米，面包车每小

时行驶40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立

即返回出发地点，返回时的速度，客车每小时增加

8千米，面包车每小时减少5千米。已知两次相遇

处相距70千米，那么面包车比客车早返回出发地

______小时；

解：客车与面包车速度比为32：

404：5，设AB为1，则AC4

9

，CB5

9

，

当面包车到达A，客车距B点5441

9955

，当客车到达B

点时，面包车已经返回14057

53232



，725

1

3232

，DB2535405

324012



，

CD=5555

,70504

9123636

AB，面包车从D点返回需要的时间

是5

504356

12

小时，客车从D点返回需要（504－210）

÷40＝7.35。

那么面包车比客车早返回出发地7.35－6＝1.35小

时。

8.小明和小亮分别从相距3千米的甲、乙两地同时出

发，保持均匀的速度相向而行。当二人相遇后，小

明又用了16分钟到达了乙地，此后又经过9分钟

小亮到达了甲地，那么当小明到达乙地时小亮距甲

地______米；

解：设小亮的速度是x米/分钟，小亮的速度是y米/

分钟，那么

2

16()

300016

30003000

3000

(),150

1625

25()

3000(169)

3000

x

xxy

y

xy

y

xyxy

y

yxy

x

xy

x











































，

200200

,99600

33

xx.

9.A、B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A、

B两地同时出发，甲速度为每小时40千米，出发后

1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方

向往前骑。在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而

来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20

千米的速度，乙以每小时比原速快2千米的车速，

两人同时分别从A、B出发相向而行，则甲、乙二

人在C点相遇。则丙的车速是每小时______米；

解：乙原来车速是每小时（105÷45

1

60

）40=20千米，

乙加速后与甲在C相遇，CA距离是20×105

2022

=50千米，

乙原来速度到C点时间是1055011

204



小时。甲、乙原来相

遇地点与C点的距离是48

4015022

60

千米，丙走这22千

米用的时间是44819

1

116020

小时。丙车速是每小时193

2223

2019



千米。

10.一架飞机带的燃料最多用6小时，顺风去，每小

时1500公里，逆风回，每小时1200公里，飞机最

多飞出______小时返回；

解：我们知道去时顺风，每小时1500公里，也就是

去时每走1公里用1

1500

小时，回来时逆风，每小时1200

公里，也就是回来时每走1公里用1

1200

小时。这样，每

公里的路程来回共需要113

15

小时。

燃料最多能用6小时，所以飞机最多可飞行

3

6

2000

=4000(公里)

顺风时飞行4000公里需要4000÷1500=8

3

小时。

所以最多飞出8

3

小时。

11.已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同。猫

跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步

的时间与狗跑5步的时间相同。猫跑5步的时间与

兔跑7步的时间相同。猫、狗、兔沿着周长为300

米的圆形跑道,同时同向同地出发。当它们出发后

第1次相遇时各跑了______、______、_____米；

分析：从所给的路程和时间的关系得到它们三者的速

度比是很重要的，猫跑一步的时间为1

3

，跑5步的时

间是5

3

，同样得到狗跑3步的时间是3

5

，这时路程相同，

速度比是时间的反比，为35

:

53

＝9：25，同样求猫与兔

子的速度比。

解：由题意,猫与狗的速度之比为9∶25,猫与兔的速

度之比为25∶49。设单位时间内猫跑1米,则狗跑

9

25米,

兔跑

25

49米。狗追上猫一圈需300÷













1

9

25＝

4

675；兔追上

猫一圈需300÷













1

25

49＝

2

625。

猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是

4

675的整数倍,又是

2

625整数倍。

4

675与

2

625的最小公倍数等于两个分数中,分

子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即













2

625

,

4

675＝



)2,4(

625,675＝

2

16875＝8437.5。

上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第1

次相遇。此时,猫跑了8437.5米,狗跑了8437.5×

9

25＝

23437.5(米),兔跑了8437.5×

25

49＝16537.5(米)。

评注：注意三者的速度比，然后求出第一次相遇的时

间是解题的关键，同时要会求两个分数的最大公约

数。