和角公式

和角公式

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2023年3月17日发(作者：光耦隔离)

高中三角函数公式大全[图]

1三角函数的定义1.1三角形中的定义

图1在直角三角形中定义三角函数的示意图

在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：

正弦函数

余弦函数

正切函数

余切函数

正割函数

余割函数

1.2直角坐标系中的定义

图2在直角坐标系中定义三角函数示意图

在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：

正弦函数

r

余弦函数

正切函数

余切函数

正割函数

余割函数

2转化关系2.1倒数关系

2.2平方关系

2和角公式

3倍角公式、半角公式

3.1倍角公式

3.2半角公式

3.3万能公式

4积化和差、和差化积

4.1积化和差公式

证明过程

首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）

因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）

则

sin(α-β)

=sin[α+(-β)]

=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα

=sinαcosβ-sinβcosα

于是

sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）

将正弦的和角、差角公式相加，得到

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

则

sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）

同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有

cos(α+β)=

sin[π/2-(α+β)]

=sin(π/2-α-β)

=sin[(π/2-α)+(-β)]

=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)

=cosαcosβ-sinαsinβ

于是

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）

那么

cos(α-β)

=cos[α+(-β)]

=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)

=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）

将余弦的和角、差角公式相减，得到

cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ

则

sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）

将余弦的和角、差角公式相加，得到

cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

则

cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）

这就是积化和差公式：

sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2

sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2

cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2

4.2和差化积公式

部分证明过程：

sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα

cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαs

inβ

cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanα

cosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

诱导公式





sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)



















sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

两角和与差的三角函数













sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

三角函数和差化积公式









积化和差公式







二倍角公式





sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

半角公式







sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

万能公式







sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式



a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[

其中，

tan(c)=b/a]



a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[

其中，

tan(c)=a/b]



1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2



1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

其他非重点三角函数





csc(a)=1/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

双曲函数







sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

常用公式表（一）

1。乘法公式

(1)a

0

=1（a≠0）（2）aP=

aP

（a≠0）（3）a=man

lnMlnN

（7）

lnMnnlnM

（8）㏑

n

M

=

lnM

（3）1+(cotα)²=(cscα)²（4）

tan（5）

cot

（6）

cot

（7）

csc

（8）

sec

2

（1）（a+b）²=a2+2ab+b2(2)(a-b)²=a²-2ab+b²(3)(a+b)(a-b)=a²

-b²

(4)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)(5)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

2、指数公式：

1

n

m

am

（4）aman=amn

（7）（ab）n=anbn

（5）am÷an=

an=amn

an

a

（8）（

b

）n=

bn

（6）（am）n=amn

（9）（

a

）2=a

（10）

a2=|a|

3、指数与对数关系：

（1）若a

b=N，则

blogN

（2）若10b=N，则b=lgN

a

（3）若

eb=N，则b=㏑N

4、对数公式：

（1）

logabb

,㏑eb=b（2）

alogaNN

，elnN=N

a

（3）

logN

a

lnN

lna

（4）

abeblna（5）

lnMNlnMlnN

（6）

ln

M1

Nn

5、三角恒等式：

（1）（Sinα）²+（Cosα）²=1（2）1+（tanα）²=(secα)²

sincos

cossin

111

tancoscos

6、特殊角三角函数值：

α0

643

2

sina01

2

2

2

3

2

10--10

1

22

（1）（

sin

）2=（2）（

cos

）

2

=

（3）

tan

=

sina

=

1cosa

yy

cosa13

2

2

2

1

2

0--101

tana0∞0--∞0

33

3

cota∞31

3

0--∞0∞

3

7.倍角公式：

（1）

sin22sincos（2）

tan2

2tan

1tan2

（3）

cos2cos2sin22cos2112sin2

8.半角公式（降幂公式）：

1cosa1cosa



22

1cosasina



2

9、三角函数与反三角函数关系：

（1）若x=siny，则y=arcsinx（2）若x=cosy，则y=arccosx

（3）若x=tany，则y=arctanx（4）若x=coty，则y=arccotx

10、函数定义域求法：

1

（1）分式中的分母不能为0，（

a

α≠0）

（2）负数不能开偶次方，（

a

α≥0）

（3）对数中的真数必须大于0，（logNN>0）

a

（4）反三角函数中arcsinx，arccosx的x满足：（--1≤x≤1）

（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。

11、直线形式及直线位置关系：

（1）直线形式：点斜式：

yyk



xx

0

斜截式：y=kx+b

xx

yy

1

1

xx

两点式：21

21

0





u



u



v



uv



(cosx)2

(sinx)2

(14)(arccosx)

/=-

1x

(16)

arccotx





（2）直线关系：

l:ykxb

111

l:ykxb

22

2

平行：若

l//l

，则

kk

121

2

垂直：若

ll

，则

kk1

1212

常用公式表（二）

1、求导法则：（1）（u+v）

/=u/+v/

（2）（u-v）

/=u/-v/

（3）（cu）

/=cu/



（4）（uv）

/

=uv

/

+u

/

v（5）







v



v

2

2、基本求导公式：

（1）（c）

/=0（2）（xa）/=axa



1（3）（ax）/=axlna

11

（4）（e

x）/=ex

（5）（㏒ax）

/

=

xlna

（6）（lnx）/=

x

（7）（sinx）

/=cosx（8）（cosx）/=-sinx

1

（9）（tanx）

/==（secx）2

1

（10）（cotx）

/=-=-（cscx）2

(11)(secx)

/=secx*tanx(12)(cscx)/=-cscx*cotx

1

(13)(arcsinx)

/=

1x

1

1

22

(15)(arctanx)

/=

1x2

1

1x2



（1）





（3）bf



x



dxaf



x



dx

（4）



（5）若f（x）是[-a,a]的连续奇函数，则



f(x)dx



2



f(x)dx





xf



t



dt

f



x





3、微分

（1）函数的微分：dy=y

/dx

（2）近似计算：|Δx|很小时，f

xx

=f（x0）+f

/（x0）*



x

0

4、基本积分公式

（1）kdx=kx+c（2）xadx

1

a1

xa1C



1

dx



lnx



c

（3）

x

（4）axdx

ax

lna

C

（5）

exdxexc

（6）

sinxdxcosxC

（7）

cosxdxsinxC

（8）sec2xdx1

cos2x

dxtanxC

（9）

csc2xdx

1

sin2x

dxcotxc

（10）



1

1x2

dxarcsinxc

1

（11）

1x2

dxarctanxc

5、定积分公式：

b

a

f(x)dx

bf(t)dt

a

（2）

a

a

f(x)dx0

ab

b

a

f(x)dx

cf(x)dx

bf(x)dx

ac

a

a

（6）若f（x）是[-a,a]的连续偶函数，则:

f(x)dx0

a

a

a

0

6、积分定理：

（1）



a





t





a2x2









2

b



x



f



dt





a



x







f



b



x



b





x



f



a



x



a





x



（3）若F（x）是f（x）的一个原函数，则



b

a

f(x)dxF(x)bF(b)F(a)

a

7.积分表

1

secxdxlnsecxtanxC



2

cscxdxlncscxcotxC



3





5



11x

dxarctanC

a2x2aa

11xa

dxlnC

x2a22axa



4

1x

dxarcsinC

a

8．积分方法

1



f



x



axb

；设：

axbt



2



f



x



a2x2；设：

xasint

f



x



x2a2；设：

xasect

f



x



a2x2；设：

xatant



3

分部积分法：udvuvvdu