近世代数

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2023年3月17日发(作者：四十八式太极双扇)

专注于收集历年试题试卷和答案

1

一、单项选择题(每小题3分，共12分)

1.设A=R(实数集)，B=R+(正实数集)υ:a→10a+1,a∈A则是从A到B的()。

A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射

2.剩余类加群Z

6

中，元素［１］的阶是()。

A.1B.2C.3D.6

3.7阶循环群的生成元个数是()。

A.1B.2C.6D.7

4.设R=



























Zba

b0

0a

、，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是()。

A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环

二、填空题(每小题3分，共24分)

1.设集合A含有m个元，则A的子集共有_____个.

2.每一个有限群都和一个_____群同构.

3.设a、b是群G的两个元，则(ab)-2=_____.

4.在3次对称群S

3

中与元(123)不可交换的元有_____个.

5.剩余类环Z

m

是无零因子环的充要条件是_____.

6.设F是域，则F［x］与欧氏环的关系是_____.

7.设Q为有理数域，S={2,

3

}，则Q(S)=____.

8.42i在Q上的次数是_____.

三、(本题共3小题，第1小题14分，第2、3小题各10分，共34分)

1.设B

4

={e、a、b、ab}乘法表为

0eabab

e

a

b

ab

e

a

b

ab

a

e

ab

b

b

ab

e

a

ab

b

a

e

以上定义的群叫做Ktein四元群(简称四元群)

(i)找出B

4

的所有子群.

专注于收集历年试题试卷和答案

2

(ii)找出与B

4

同构的S

4

(4次对称群)的子群.

2.设Z是整数环，

(i)找出整数环Z的所有理想.

(ii)找出整数环Z中的全部可逆元.

3.设F是域，问多项式环F［x］的主理想(x2)含有哪些元?F［x］/(x2)含有哪些元?

四、(本题共3小题，每题10分，共30分)

1.设群G除单位元外的每一个元的阶均为2，证明G是交换群.

2.证明阶为10的可换群是循环群.

3.设A是Z上的二阶方阵环，N是元素为偶数的所有二阶方阵所成的集合。

(i)证明N是A的一个理想.

(ii)问A/N含有哪些元素?

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.设R是实数集，σ(a)=











0aa

0a1a

则σ是R的()。

A.满射变换B.单射变换C.一一变换D.不是R的变换

2.下列法则，哪个不是有理数集Q的代数运算()。

A.ab=

2

1

(a+b)B.ab=a2-2ab+b2C.ab=10a+bD.ab=

2

1

〔a(a+1)+b(b+1)〕

3.设集合G={a,b},在G中规定代数运算如下表，则G关于哪个代数运算可作成群。()

A.

B.

O

1

ab

aaa

bbb

O

2

ab

aab

bab

专注于收集历年试题试卷和答案

3

C.

D.

4.设M

2

(R)=



























dc

ba

a,b,c,d∈R，R为实数域







按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵

环，那么这个方阵环是()。

A.有单位元的交换环B.无单位元的变换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环

5.在非零有理数乘群Q*中，阶为2的元有()。

A.0个B.1个C.2个D.无限个

二、填空题(每小题3分，共27分)

1.剩余类加群Z

12

有_________个生成元.

2.6阶循环群有_________个子群.

3.5次对称群S

5

中，(12543)2(13542)-1=_________.

4.模8的剩余类环Z

8

的子环有_________个.

5.剩余类环Z

n

是域



n是_________.

6.整数环Z的理想有_________个.

7.唯一分解环与欧氏环的关系是_________.

8.设Q是有理数域，S={2i},则Q(S)=________.

9.31在有理数域Q上的极小多项式是_________.

三、本题共3大题，第1、2大题各10分，第3大题14分，共34分

1.设A={a,b,c}对代数运算来说作成一个群，且a是单位元，试作出A的乘法表.

2.找出模18的剩余类加群Z

18

的所有子群.

3.试分别写出剩余类环Z

5

和Z

6

中的全部零因子与可逆元.

四、证明题(每题8分，共24分)

O

3

ab

aab

bba

O

4

ab

aba

bab

专注于收集历年试题试卷和答案

4

1.设G是2p阶群(p是素数)，证明G的每个真子群都是循环群.

2.设偶数环R=2Z,N={4r|r∈Z},证明N是R的一个理想，R/N是怎样的环?N是否与(4)相

等?R/(4)是不是域?

3.设Z〔i〕={a+bi|a,b∈Z},试确定Z〔i〕/(1+i)含有哪些元素?Z〔i〕/(1+i)是否是域?为什么?

一、单项选择题((每小题3分，共15分

1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域）:a→10aa∈A则是从A到B的()。

A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射

2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的

同态满射的是()。

A.x→10xB.x→2xC.x→|x|D.x→-x

3.设S

3

={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S中与元（123）不能交换的

元的个数是()。

A.1B.2C.3D.4

4.整数环Z中，可逆元的个数是()。

A.1个B.2个C.4个D.无限个

5.剩余类加群Z

18

的子群有()。

A.3个B.6个C.9个D.12个

二、填空题(每空3分，共27分)

1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.

2.n次对称群S

n

的阶是____________.

3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.

4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个.

5.除环的理想共有____________个.

6.剩余类环Z

6

的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.

7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________.

8.在2,i+3,π2,e-3中，____________是有理数域Q上的代数元.

9.2+3在Q上的极小多项式是____________.

三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分)

专注于收集历年试题试卷和答案

5

1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.

2.求剩余类环Z

6

的所有子环，这些子环是不是Z

6

的理想？

3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？

四、证明题(每小题8分，共24分)

1.设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3，且ab=ba，证明ab的阶是6.

2.证明：在n阶群G中每个元都满足xn=e.

3.设A=























c0

ba

a、b、c∈







关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明

A1=























x0

00

x∈







是A的子环，找出A到A1的一个同态满射f,求f的核N.

一、单项选择题((每小题3分，共15分

1.设集合A含有n个元素，那么A的子集共有多少个?()

A.n!B.n2C.2nD.

2

1)n(n

2.下列法则，哪个是集A的代数运算()。

A.A=Na



b=a-bB.A=Za



b=

2

ab

C.A=Qa



b=

b

a

D.A=Ra



b=a+π

3.设S={a,b,c,d},S中规定一个代数运算如下表，

则S关于所给代数运算作成的代数体系中的可逆元素为()。

A.a与bB.b与cC.c与dD.d与a

4.以下命题中，正确的是()。

A.任意一个环R，必含有单位元B.环R中至多有一个单位元

C.环R有单位元，则它的子环也有单位元

D.一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同

5.p(素数)阶有限群的子群个数为()。

A.0B.1C.2D.p

0abcd

adaad

bacbd

cabcd

dddda

专注于收集历年试题试卷和答案

6

二、填空题(每空3分，共27分)

1.设A={a,b,c,d}，则A到A的一一映射共有____________个。

2.设G是6阶循环群，则G的生成元有____________个。

3.非零复数乘群C*中由-i生成的子群是____________。

4.剩余类环Z

7

的零因子个数等于____________。

5.素数阶有限群G的非平凡子群个数等于____________。

6.剩余类环Z

6

的子环S={［0］,［3］},则S的单位元是____________。

7.整环与主理想环的关系是____________。

8.设Q是有理数集，S={所有整数}∪{2},则Q(S)=____________。

9.1+i在实数域R上的极小多项式是____________。

三、(第1、2小题各10分，第3小题14分，共34分)

1.设群G={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

i)写出G中每个元素的阶；

ii)找出G的所有子群。

2.设G是整数加群Z，H={mk|k∈Z},商群G/H含哪些元?G/H中的零元是什么?G/H中的运算

是怎样的规定的?

3.求模8的剩余类环Z

8

的所有子环。

四、(每小题8分，共24分)

1.设R=







































zb,a

b0

0a

，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，问：

i)R是否交换环?有没有单位元?

ii)找出R的零因子和可逆元。

2.证明一个有限非交换群至少要有6个元。

3.高斯整数环Z［i］={a+bi|a、b∈Z}的子集S={a+bi|a、b∈2Z}，

i)证明S是Z［i］的理想子环；

ii)求出Z［i］关于S的一切陪集；

iii)说明Z［i］/S不是域。

一、单项选择题((每小题3分，共15分

专注于收集历年试题试卷和答案

7

1.设Z是整数集，σ(a)=













为奇数时当

为偶数时当

a,

2

1a

a,

2

a

则σ是R的().

A.满射变换B.单射变换C.一一变换D.不是R的变换

2.下列法则，哪个是集A的代数运算().

A.A=N,ab=a+b-2B.A=Z,ab=

b

a

C.A=Q,ab=abD.A=R,ab=a+b+ab

3.设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A

的同态满射的是().

A.x→-xB.x→

x

1

C.x→

x

1

D.x→5x

4.在3次对称群S

3

中，阶为3的元有().

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.剩余类环Z

6

的子环有().

A.3个B.4个C.5个D.6个

二、填空题(每小题3分，共27分)

6.设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.

7.整数加群Z有__________个生成元.

8.在4次对称群S

4

中，(123)(1324)-1=__________.

9.每一个有限群都与一个__________群同构.

10.剩余类环Z

5

的零因子个数等于__________.

11.剩余类环Z

7

的可逆元有__________个.

12.整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________.

13.设Q是有理数域，则Q(32)=__________.

14.2+i在实数域R上的极小多项式是__________.

三、解答题(第15小题10分，第16，17小题各12分，共34分)

15.在实数集R中定义二元运算“O”如下：aOb=a+b-2(a,b∈R)，问R对运算“O”是否

作成群?试说明理由.

16.找出模16的剩余类加群Z

16

的所有子群，并找出Z

16

的全部生成元.

17.设Z是整数环，p、q是两个不同的素数，(p)∩(q)、(p,q)是Z的怎样一个理想?(p)∪(q)

是Z的理想吗?为什么?

专注于收集历年试题试卷和答案

8

四、证明题(每小题8分，共24分)

18.设G=







































0r,Qs,r

10

sr

，于是G对于方阵的乘法作成群.令

H=







































Qt

10

t1

，证明：H是G的不变子群.

19.设R是实数域，f(x)∈R［x］,f(x)=a

0

+a

1

x+„+a

n

xn,令:f(x)|→a

0

.证明：是R［x］到R

的满同态，ker=?

20.设A=







































Zc,b,a

c0

ba

关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明：

U=







































Zx

00

x20

是A的理想，商环A/U由哪些元组成?

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有

（）个元素。

A.2B.5C.7D.10

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，



x∈R，则是从A到B的（）

A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射

3.设S

3

＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S

3

中可以与(123)交换的所有元素

有（）

A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S

3

中的所有元素

4.设Z

15

是以15为模的剩余类加群，那么，Z

15

的子群共有（）个。

A.2B.4C.6D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）

A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法

B.有理数域Q上的n级矩阵全体M

n

(Q)关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0

D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等

价关系。

专注于收集历年试题试卷和答案

9

7.设(G，·)是一个群，那么，对于



a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝

___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S

5

，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数

字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于



a∈G，则元素a

的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S

3

中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S

3

的一个不变子群，则商群G/H中的

元素(12)H＝___________。

11.设Z

6

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z

6

中的所有零因

子是___________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。

13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________

___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________

___________。

15.有理数域Q上的代数元

2

+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Z

m

为以m为模的剩余类加群，是Z到Z

m

的一个映射，其中

：k→［k］，



k∈Z，

验证：是Z到Z

m

的一个同态满射，并求的同态核Ker。

17.求以6为模的剩余类环Z

6

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些

子环都是Z

6

的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主

理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”

由右边的运算表给出，证明：(G，)

作成一个群。

abc

aabc

bbca

ccab

专注于收集历年试题试卷和答案

10

20.设

,Zc,a

0c

0a

I,Zd,c,b,a

dc

ba

R

































































已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。

21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.设Z是整数集，M={2，4，6，„，2n,„}:n→2|n|+4



n∈Z则是从Z到M的（）

A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射又非满射

2.设R为实数集，以下关系中，哪个是集合A的元间的等价关系（）

A.A=R，关系～：a～ba2+b2=0B.A=R，关系～：a～ba≥b

C.A=R，关系～：a～b|a-b|≤1

D.A=M

n

(R)（实数域上n阶方阵集），关系～：a～b秩（A）=秩（B）

3.设a，b，c是群G的三个元，则以下等式成立的是（）

A.（ab）-1=a-1b-1B.(ab)-2=b-2a-2C.若a2=e则a=a-1D.若ab=c则ba=c

4.下列各数集，对于普通加法和乘法不能作成环的是（）

A.R

1

={5n|n∈Z}B.R

2

={a+b5|a,b∈Z}

C.R

3

={a+b

2

+c3|a,b,c∈Z}D.R

4

={a+bi|a,b∈Z,i2=-1}

5.3次对称群S

3

中，与元（123）可交换的元有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

1.设A={a,b,c},则A中可定义不同的代数运算有________个。

2.剩余类加群Z

6

的全部生成元是________。

3.剩余类环Z

4

的可逆元共有________个。

4.理想（3）∩（7）=________。

5.设循环群G=(a)，如果a的周期无限，则(a)同构于________。

6.域F的全部理想是________。

7.一个整环I叫做主理想环，假如________。

8.设Q为有理数域，S={2i},则Q(S)=________。

专注于收集历年试题试卷和答案

11

9.e

i

5

2



在有理数域上的极小多项式是________。

三、(本大题共3小题，第1、2小题各10分，第3小题14分，共34分)

1.设群G的阶为4，且G中不含阶为4的元，试作出G的乘法表。

2.设3阶对称群S

3

={（1），（23），（13），（12），（123），（132）}

（1）写出S

3

中每一个元素的阶；

（2）找出S

3

的全部不变子群。

3.设R为剩余类环Z

10

（1）写出Z

10

的所有零因子；

（2）写出Z

10

的全部可逆元素；

（3）找出Z

10

的所有理想子环。

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

1.设R={（a,b）|a,b为实数}关于如下定义的元素相等及两个代数运算作成环.

（a,b）=(c,d)a=c,b=d

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

证明R关于这两个代数运算作成一个整环.

2.设H、K都是群G的子群，且H和K的阶分别为6和35.

证明H∩K={e}.

3.在高斯整数环Z［i］中，主理想（2+i）含有哪些元？

)i2(

]i[Z



含有哪些元？

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.设A=R+（正实数域），B=R（实数域）Φ:a→lga



a∈A则Φ是从A到B的（）

A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射

2.设A={所有实数x}，A的代数运算ab=a+2b（）

A.适合结合律但不适合交换律B.不适合结合律但适合交换律

C.既适合结合律又适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律

3.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集

A

的

同态满射的是（）

A.x→2xB.x→x2C.x→-xD.x→3x

4.在3次对称群S

3

中，阶为2的元有（）

专注于收集历年试题试卷和答案

12

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.剩余类环Z

8

的子环有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

6.剩余类加群Z

6

有_______个生成元.

7.在5次对称群S

5

中，(251)(4513)-1=_______.

8.设循环群G＝(a),如果a的阶无限，则G同构于_______.

9.剩余类环Z

7

的零因子个数等于_______.

10.剩余类环Z

6

的可逆元有_______个.

11.域F的全部理想为_______.

12.整环I＝｛所有复数a+b3(a,b是整数)｝，则I的单位是_______.

13.设Q是有理数域，则Q(i)=_______.

14.

23

在有理数域Q上的极小多项式是_______.

三、解答题（本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）

15.在实数集R中定义二元运算“ｏ”如下：aｏb=a+b+ab(



a,b∈R),问R对运算“ｏ”是否

作成群？试说明理由.

16.找出模12的剩余类加群Z

12

的所有子群，并找出Z

12

的全部生成元.

17.设Z是整数环，(3)∩(7)、(3,7)是Z的怎样一个理想？(3)∪(7)是Z的理想吗？为什么？

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.证明：阶为素数的群一定是循环群.

19.若R是无零因子环，且R中的元素个数是大于1的有限数.证明：R是除环.

20.设A=Z×Z是关于以下定义的加法、乘法作成的环：

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，(a,b)(c,d)=(ac,bd),

令f：(a,b)|→a，

（1）证明：f是A到Z的一个同态满射.

（2）求kerf.

（3）A/kerf是怎样的一个环？

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.设A={a,b,c,d},则A的一一变换共有______个.()

专注于收集历年试题试卷和答案

13

A.4B.16C.24D.64

2.设A={所有实数x}，A的代数运算a

。

b=a+b+ab()

A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律

C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律

3.设A={所有有理数x}，A的代数运算是普通加法，则以下映射作成A到A的一个子集

A

的

同态满射的是()

A.x→|x|B.x→2xC.x→x2D.x→|x|

4.在非零复数乘法群C*中，阶为2的元有______个.()

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.设M

2

(R)=































为实数域R,Rba,

0

0

b

a

按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，

那么这个方阵环是()

A.有单位元的交换环B.无单位元的变换环

C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

6.模8的剩余类加群Z

8

有__________个生成元.

7.若α=(123)(45),β=(2345),则βα-1=__________.

8.设循环群G=(a),如果a的阶为n,则G同构于__________.

9.整数环有__________个可逆元.

10.剩余类环Z

5

的零因子个数等于__________.

11.剩余类环Z

6

的子环有__________个.

12.整环I={所有复数a+b5(a,b是整数)},则I的单位是__________.

13.设Q为有理数域,S={3,5},则Q(S)=__________.

14.

i

2

2

在有理数域Q上的极小多项式是__________.

三、解答题(本大题共3小题，第15小题6分，第16小题14分，第17小题12分，共32分)

15.若A={a,b,c,d}对于代数运算“o”来说作成群,且除单位元以外,每个元的阶都是2,试作出A

的代数运算表.

16.找出模12的剩余类环Z

12

的所有子环,这些子环是否都是理想?为什么?

专注于收集历年试题试卷和答案

14

17.偶数环2Z的主理想(4)含有哪些元?2Z/(4)含有哪些元?2Z/(4)是否为域?为什么？

四、证明题(本大题共3小题，第18小题6分，第19,20小题各10分，共26分)

18.若F是一个有四个元的域,则F的特征是2.

19.证明:阶为pm的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.

20.设m,r是取定的正整数,且r|m.用符号

a

表示Z

m

中a所在的剩余类,［a］表示Z

r

中a所在的

剩余类,令f:

a

［a］,证明:

(1)f是Z

m

到Z

r

的同态满射.

(2)求kerf.

(3)Z

m

/kerf是怎样的环?

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？()

A.关系～：a～b



a2+b2=1B.关系～：a～b



a≤b

C.关系～：a～b



a=2bD.关系～：a～b



a=b

2.设A是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定σ(f(x))=(x2+1)f(x),



f(x)∈A,

则σ是A的()

A.满变换B.单变换C.一一变换D.不是A的变换

3.在有理数集Ｑ上定义代数运算ab=(a+b)2，则这个代数运算()

A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律

C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律

4.下列集合对所给运算作成群的是()

A.全体实数对普通数的加法B.全体实数对普通数的减法

C.全体实数对普通数的乘法D.全体实数对普通数的除法

5.设































Zba

ba

R,

00

，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是()

A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环

C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.

专注于收集历年试题试卷和答案

15

7.在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=______.

8.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则H(23)＝______．

9.设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是______．

10.剩余类环Z15的可逆元有______个.

11.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的主理想(x2)＝______．

12.整环I＝｛所有复数a+b

2

(a,b是整数)｝，则I的单位是______．

13.设Q是有理数域，则Q

















1

12

i

i

=______.

14.

32

在有理数域Q上的极小多项式是______．

三、解答题（本大题共小3题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）

15.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于

集合的并∪是否构成群？为什么？

16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.

17.设































Zba

b

a

R,

0

0

关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=































Zx

x0

00

证明：I

是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.设G是一个群，



a∈G证明：a与a-1的阶相同.

19.设G=

)(QM

n={有理数域上所有n阶可逆矩阵}，H={A|A∈G,|A|=1}证明：H是G的不变

子群．

20.证明：一个域是一个欧氏环．

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.设集合A中含有4个元素，那么积集合A×A中含有______个元素．()

A.4B.8C.12D.16

2.设R是整数集，A=R×R，σ∶(x,y)→(x,-y)，则σ是A的()

A.满变换B.单变换C.一一变换D.不是A的变换

3.在有理数集Ｑ中的代数运算ab=b2()

A.适合结合律但不适合交换律B.不适合结合律但适合交换律

C.既适合结合律又适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律

专注于收集历年试题试卷和答案

16

4.在4次对称群S4中，阶为2的元有()

A.6个B.7个C.8个D.9个

5.除环的理想有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

6.剩余类加群Z4有______个生成元.

7.在4次对称群S4中，(123)(1423)-1=______.

8.阶为n的有限循环群同构于______.

9.剩余类环Z11的零因子个数等于______.

10.剩余类环Z13的可逆元有______个.

11.如果G是一个含有16个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于



a∈G，元素a

的阶只可能是______．

12.整环I＝｛所有复数a+b

7

(a,b是整数)｝，则I的单位是______.

13.在

3

,i+2,π2中，______是有理数域Q上的代数元.

14.设Q是有理数域，则Q(

2

+

5

)=______.

15.

1

2





i

i

在实数域R上的极小多项式是______.

三、解答题（本大题共3小题，第16小题7分,第17,18小题各12分，共31分）

16.假定下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元．

oeabcd

ee

abe

bcde

cdab

d

17.找出模15的剩余类环Z15的所有子环，这些子环是否都是Z15的理想？为什么？

18.设Z是整数环，(2)∩(5)、(2,5)是Z的怎样的理想？(2)∪(5)是Z的理想吗？为什么？

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19.证明：循环群是交换群.

专注于收集历年试题试卷和答案

17

20.在高斯整环Z［i］={a+bi｜a,b∈Z}中，证明：3是素元．

21.证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构．

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

１.设m是一个正整数，



a∈Z,作带余除法：a=mq+r,0≤r

A.满变换B.单变换C.一一变换D.既不是满变换也不是单变换

2.有理数集Q上的代数运算

ba

=b3()

A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律

C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律

3.剩余类加群Z

8

的子群有()

A.4个B.5个C.6个D.7个

4.在3次对称群S

3

中可以与(132)交换的所有元素为()

A.(1)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)，(132)D.S

3

中的所有元素

5.M

2

(R)=







































为实数域R,Rb,a

0b

0a

按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环,这个方阵

环是()

A.有单位元的交换B.无单位元的非交换环C.无单位元的交换环D.有单位元的非交换环

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

6.设A={a,b,c,d,e,f}，则A的一一变换共有________个.

7.在非零实数乘法群R*中，阶为2的元有________个.

8.在4次对称群S

4

中，(132)2(1234)-1=________.

9.模10的剩余类加群Z

10

有________个生成元.

10.模P（素数）的剩余类环Zp有________个可逆元.

11.模9的剩余类环Z

9

的零因子为________.

12.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的理想(3,x)＝________．

13.主理想环与欧氏环的关系是________.

14.在5,2i+1,π中，________是有理数域Q上的代数元.

15.21在有理数域Q上的极小多项式是________．

三、解答题（本大题共3小题，第１6小题10分,第17小题14分，第18小题6分,共30分）

16.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集

专注于收集历年试题试卷和答案

18

合的交∩是否构成群？试说明理由.

17.找出模20的剩余类环Z

20

的所有子环．并说明这些子环是否是Z

20

的理想，为什么？

18.Z

3

={［0］,［1］,［2］}，找出加群Z

3

的所有自同构，再找出域Z

3

的所有自同构.

四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20小题9分,第21小题10分,共25分）

19.设A=｛平面上所有直线｝，给定关系～：l

1

～l

2

l

1

∥l

2

或l

1

=l

2

.

证明：关系～是A元间的等价关系.

20.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群.

21.设R=































Zb,a

b0

a0

关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=































Zx

00

x0

，

证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？