高中线性代数知识点 线性代数高中知识点总结
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2023年3月4日发(作者：安全施工协议书)20XX年线性代数必考的知识点
1、行列式
1.n行列式共有2n
个元素，展开后有
!n
项，可分解为
2n行列式；
2.代数余子式的性质：
①、
ij
A和
ij
a的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijij
ijijijij
MAAM
4.设n行列式D：
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为
1
D
，则
(1)
2
1
(1)
nn
DD
；
将D顺时针或逆时针旋转
90o，所得行列式为
2
D
，则
(1)
2
2
(1)
nn
DD
；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为
3
D
，则
3
DD
；
将D主副角线翻转后，所得行列式为
4
D，则
4
DD；
5.行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积
(1)
2(1)
nn
；
③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；
④、◤和◢：副对角元素的乘积
(1)
2(1)
nn
；
⑤、拉普拉斯展开式：
AOAC
AB
CBOB
、(1)mn
CAOA
AB
BOBC
g
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6.对于n阶行列式A，恒有：
1
(1)
n
nknk
k
k
EAS
，其中
k
S为
k
阶主子式；
7.证明0A的方法：
①、AA；
②、反证法；
③、构造齐次方程组
0Ax
，证明其有非零解；
④、利用秩，证明
()rAn
；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.A是n阶可逆矩阵：
0A（是非奇异矩阵）；
()rAn（是满秩矩阵）
A的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组
0Ax
有非零解；
nbR
，
Axb
总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
TAA
是正定矩阵；
A的行（列）向量组是nR
的一组基；
A是nR
中某两组基的过渡矩阵；
2.对于n阶矩阵A：**AAAAAE无条件恒成立；
3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA
***111()()()TTTABBAABBAABBA
4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
若
1
2
s
A
A
A
A
O
，则：
Ⅰ、
12s
AAAAL；
Ⅱ、
1
1
1
1
2
1
s
A
A
A
A
O
；
②、
1
1
1
AO
AO
OB
OB
；（主对角分块）
③、
1
1
1
OA
OB
BO
AO
；（副对角分块）
④、
1
111
1
AC
AACB
OB
OB
；（拉普拉斯）
⑤、
1
1
111
AO
AO
CB
BCAB
；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r
mn
EO
F
OO
；
等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB:；
2.行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若(,)(,)
r
AEEX:，则A可逆，且1XA
；
②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)
c
ABEAB
；
③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程
Axb
，如果(,)(,)
r
AbEx:，则A可逆，且1xAb
；
4.初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、
1
2
n
O
，左乘矩阵A，
i
乘A的各行元素；右乘，
i
乘A的各列元素；
③、对调两行或两列，符号
(,)Eij
，且1(,)(,)EijEij，例如：
111
11
11
；
④、倍乘某行或某列，符号
(())Eik
，且1
1
(())(())EikEi
k
，例如：
11
1
1
(0)
1
1
kk
k
；
⑤、倍加某行或某列，符号
(())Eijk
,且1(())(())EijkEijk，如：
111
11(0)
11
kk
k
；
5.矩阵秩的基本性质：
①、
0()min(,)
mn
rAmn
；
②、()()TrArA；
③、若AB:，则
()()rArB
；
④、若P、
Q
可逆，则
()()()()rArPArAQrPAQ
；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、
max((),())(,)()()rArBrABrArB
；（※）
⑥、
()()()rABrArB
；（※）
⑦、
()min((),())rABrArB
；（※）
⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且
0AB
，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组
0AX
解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、()()rArBn
⑨、若A、B均为n阶方阵，则
()()()rABrArBn
；
6.三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如
1
01
001
ac
b
的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：0111111
0
()
n
nnnmnmmnnnnmmnm
nnnnnn
m
abCaCabCabCabCbCab
LL
；
注：Ⅰ、()nab展开后有
1n
项；
Ⅱ、0
(1)(1)!
1
123!()!
LL
gggLg
mn
nnn
nnnmn
CCC
mmnm
Ⅲ、组合的性质：11
11
0
2
n
mnmmmmrnrr
nnnnnnnn
r
CCCCCCrCnC
；
③、利用特征值和相似对角化：
7.伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：*
()
()1()1
0()1
nrAn
rArAn
rAn
；
②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)
AA
AXXAAAAXX
；
③、*1AAA、1
*
nAA
8.关于A矩阵秩的描述：
①、
()rAn
，A中有n阶子式不为0，
1n
阶子式全部为0；（两句话）
②、
()rAn
，A中有n阶子式全部为0；
③、
()rAn
，A中有n阶子式不为0；
9.线性方程组：
Axb
，其中A为mn矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组
Axb
有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组
Axb
为n元方程；
10.线性方程组
Axb
的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
①、
11112211
21122222
1122
nn
nn
mmnmnn
axaxaxb
axaxaxb
axaxaxb
L
L
LLLLLLLLLLL
L
；
②、
1112111
2122222
12
n
n
mmmnmm
aaaxb
aaaxb
Axb
aaaxb
L
L
MMOMMM
L
（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）
③、
1
2
12n
n
x
x
aaa
x
L
M
（全部按列分块，其中
1
2
n
b
b
b
M
）；
④、
1122nn
axaxaxL（线性表出）
⑤、有解的充要条件：
()(,)rArAn
（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.m个n维列向量所组成的向量组A：
12
,,,
m
L构成nm矩阵
12
(,,,)
m
AL；
m个n维行向量所组成的向量组B：
12
,,,TTT
m
L构成mn矩阵
1
2
T
T
T
m
B
M
；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2.①、向量组的线性相关、无关
0Ax
有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出
Axb
是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示
AXB
是否有解；（矩阵方程）
3.矩阵
mn
A
与
ln
B
行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组
0Ax
和
0Bx
同解；(
101
P例14)
4.()()TrAArA；(
101
P例15)
5.n维向量线性相关的几何意义：
①、线性相关0
；
②、
,
线性相关,
坐标成比例或共线（平行）；
③、
,,线性相关,,共面；
6.线性相关与无关的两套定理：
若
12
,,,
s
L线性相关，则
121
,,,,
ss
L必线性相关；
若
12
,,,
s
L线性无关，则
121
,,,
s
L必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则
rs
；
向量组A能由向量组B线性表示，则()()rArB；
向量组A能由向量组B线性表示
AXB
有解；
()(,)rArAB
向量组A能由向量组B等价
()()(,)rArBrAB
8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵
12
,,,
l
PPPL
，使
12l
APPPL
；
①、矩阵行等价：~
r
ABPAB（左乘，P可逆）
0Ax
与
0Bx
同解
②、矩阵列等价：
~
c
ABAQB
（右乘，
Q
可逆）；
③、矩阵等价：
~ABPAQB
（P、
Q
可逆）；
9.对于矩阵
mn
A
与
ln
B
：
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
②、若A与B行等价，则
0Ax
与
0Bx
同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵A的行秩等于列秩；
10.若
mssnmn
ABC
，则：
①、
C
的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；
②、
C
的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA
为系数矩阵；（转置）
11.齐次方程组
0Bx
的解一定是
0ABx
的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、
0ABx
只有零解
0Bx
只有零解；
②、
0Bx
有非零解
0ABx
一定存在非零解；
12.设向量组
12
:,,,
nrr
Bbbb
L可由向量组
12
:,,,
nss
Aaaa
L线性表示为：
1212
(,,,)(,,,)
rs
bbbaaaKLL（BAK）
其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()rKr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性：
()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKrQ
；充分性：反证法）
注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；
13.①、对矩阵
mn
A
，存在
nm
Q
，
m
AQE()rAm
、
Q
的列向量线性无关；
②、对矩阵
mn
A
，存在
nm
P
，
n
PAE()rAn
、P的行向量线性无关；
14.
12
,,,
s
L
线性相关
存在一组不全为0的数
12
,,,
s
kkkL
，使得
1122
0
ss
kkkL
成立；（定义）
1
2
12
(,,,)0
s
s
x
x
x
L
M
有非零解，即
0Ax
有非零解；
12
(,,,)
s
rsL，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组
0Ax
的解集
S
的秩为：()rSnr；
16.若*为
Axb
的一个解，
12
,,,
nr
L为
0Ax
的一个基础解系，则*
12
,,,,
nr
L线性无关；
5、相似矩阵和二次型
1.正交矩阵TAAE
或1TAA
（定义），性质：
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即
1
(,1,2,)
0
T
ij
ij
aaijn
ij
L；
②、若A为正交矩阵，则1TAA
也为正交阵，且1A；
③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2.施密特正交化：
12
(,,,)
r
aaaL
11
ba；
12
221
11
[,]
[,]
ba
bab
bb
gLLL121
121
112211
[,][,][,]
[,][,][,]
rrrr
rrr
rr
bababa
babbb
bbbbbb
ggLg;
3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
4.①、A与B等价
A经过初等变换得到B；
PAQB
，P、
Q
可逆；
()()rArB，A、B同型；
②、A与B合同
TCACB
，其中可逆；
TxAx与TxBx有相同的正、负惯性指数；
③、A与B相似1PAPB
；
5.相似一定合同、合同未必相似；
若
C
为正交矩阵，则TCACB
AB:，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；
7.n元二次型TxAx
为正定：
A
的正惯性指数为n；
A
与E合同，即存在可逆矩阵
C
，使TCACE
；
A
的所有特征值均为正数；
A
的各阶顺序主子式均大于0；
0,0
ii
aA；(必要条件)