2020数学二

发布时间：2023-06-12 作者：admin 来源：文学

2020数学二

创造性思维的例子-match函数的使用方法

2023年3月17日发(作者：培训评估)

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全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符

合题目要求的，请将所选项前的字母填在答厚纸指定位置上.

(1)下列反常积分收敛的是()

(A)公⑻C—(C)r_L〃(D)「土公

4xJ?Xxnx

【答案】(D)

【解析】J=-(x+l)e~x,则jj^dx=-(x+l)e-x『=3e~2-liin(x+l)e~x=3e~2.

函数f(x)=lim(l+®(-oo,+oo)内()

—0x

(A)连续

(B)有可去间断点

(C)有跳跃间断点

(D)有无穷间断点

【答案】(B)

.Jrdnfx2

【解析】=l!m(l+—,XWO,故有可去间断点x=O.…x

xacos—,x>0

(3)设函数=«x"(。>0,/>0),若/(x)在x=0处连续则:()

0,x<0

(A)a-/7>0(c)a-/7>2(D)O

【答案】(A)

【解析】x<0时，/'(力=0£⑼=0

々1A

xcos--p—0[

H(0)=lim----------=liinxa-1cos—

J+').3%2。+

=a/-%osg+(T)产sm3(-p)击

=a/T—：+乃sin：xpxpr(x)在x=0处连续则：£⑼=f；(0)=limcos-^=0

得a-l>0

axa~lcos3+Pxa~p~lsiii勺/。

得：a—A—1>0,答案选择A

(2)

x>。时，r(x)

=liin

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(4)设函数/(x)在(V,+o。)内连续，其中二阶导数/〃(x)的图形如图所示，则曲线

y=/(x)的拐点的个数为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

【答案】(C)f

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号厕拐点个数/

为2个.—0/

(5)设函数/(〃田满足/x+y,^-]=x2-y2,则乳=i|/

与桑修依次是()V=1

(A)pO(B)0,-(C)-pO(D)0—

【答案】(D)

【解析】此题考查二元更合函数偏导的求解.

令〃=x+y,y=2,则x=」一从而/(1+丫,2)=12—y2变为X1+V1+VX

”fMYf“yY"2(If)切第2〃(lr)df2.

l+vdu1+v5dv(1+v)2

因而更du

(6)设。是第一象限由曲线2孙=1,4母=1与直线>=1，y=Jit围成的平面区域，函数f伍

丁)在。上连续,则Jj/(x,y)dxdy=()

(A)p加”/(rcose,rsmO)rdr

U+vJU+vJ

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卜:ay(rcos0,rsn6lr4Zzinie

(D)J7deJ『/(rcos9jsineMr4^2oin2^

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为

D=<

所以

JJ/(x,y)dxdy=J：d。4Tf(rcos6,rsin0)rdr

D4^2zin26

故选B.

2a,b=d.若集合O={1,2},则线性方程组Ax=〃有无穷多

解的充分必要条件为()

(c)aeC,dgC(D)tzeQ,JeQ

【答案】(D)

4111)(1111、

【解析】(4»=12。d-01a-1d—l

J4a2d2)[O02)(d-l)(d-2),

由r(A)=r(A,b)<3,故。=1或。=2,同时d=l或d=2.故选(D)

(8)设二次型“七,々,巧)在正交变换4卜.的标准形为2才+为一4，其中

P=(e{,e2,e3)f若。=(©「一的述?)则/=(8,々，七)在正交变换工二0卜的标准形为()

(A)2y：-4+4(B)2才+必一公

’1

(7)设矩阵A=1

;

43J2sin2-

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【答案】2

【答案】(A)

【解析】由工=今,故/=y，(P，AP)y=2y：+货一y；.

,200、

且P，AP=010.

30-b

」00、

由已知可得。=Po01=PCW-10>

，200、

故。A°=C7(p7AP)C=0-10001,

所以/=x

TAx=yT(QTAQ)y=2y：—於+及.选(A)

二、填空题：9~14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

x=arctanr.

1+尸则U

【答案】48

(10)函数/(x)=£♦2、在x=0处的〃阶导数尸(0)=

【答案】«(n-l)(ln2)w-2

【解析】根据莱布尼茨公式得：

f{n}(O)=C；2(2'f2)=〃(〃-1)2(1112)"-2=〃(〃-1)(1112广A=02

(11)设/(x)连续，9(x)=J；炉(。力，若0⑴=1"⑴=5,则/⑴=

…罕=3(*

徐=/。+以=

dti+r

叩(1+产力

dx2

=48.

i-i

【解析】孚=

12r(l+r)…八…

—~~-=12/(1+/-)-

1+r

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【解析】已知奴x)=x0"f)力，求导得d(x)=0〃f)力+2曲，)，故有

奴1)=，；/(9=1，

^(1)=1+2/(1)=5,则”1)=2・

(12)设函数y=y(x)是微分方程)/+)/-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则y().

【答案】e-2x+2ex

【解析】由题意知：y(o)=3,/(0)=0,由特征方程：万+4—2=0解得4=1，4=一2

所以微分方程的通解为：了=。/、。/-"代入乂0)=3,y'(0)=0解得：C,=2C2=l解

得：y=2ex+e-2x

(13)若函数Z=z(x,y)由方程e"2y确定，则dz(0。广.

【答案】-;(

【解析】当x=0,y=0时Z=0,则对该式两边求偏导可得

(3*2心+孙)包=_汽_*2心dx

(3*3+盯)生=一位-2*2/将(oAo)点值代入即有

dz__1dz__2

豕(0,0)—一§'豆(0,0)一—3

1o1

则可得改|(°,°)=一§公一§力=一§(dI+2dy).

(14)若3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E^其中E为3阶单位阵，则行列式忸仁

【答案】21

【解析】A的所有特征值为2,_2/.8的所有特征值为3,7,1.

所以|S|=3x7xl=21.

三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

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(15)(本题满分10分)

设函数/(x)=x+olnQ+x)+Z?xsinx,g(x)=叱.若f(x)与g(x)在x->0时是等价无

穷小，求凡6,女的值.

【答案】a=-l,k=--,b=~-

【解析】

方法一:

1=11m/W=11m』+41n(l+x)+bTSin工

1。g(X)1。AX3

l+〃=0a=-l

可得：b--=0,所以，lb=――

a..1

—=1k=—

I3k3

方法二：

由题意得

“、]八、人1+---+bs]nx+bxcosx

,i-fMx+a111(1+x)+bxsmx..i.r

1=bin=Inn--------------<-----=lun—以3-----；--------

*7g(x)I。KXT。3kx~

由分母=0,得分子11111(1+1一+/?sinx+bxcosx)=lim(l+o)=0,求得c；v-40IO1+X

rz、1---+bs]nx+bxcosx

于是]=luna=11m—1±2—------------------

XT。g(x)XT。3kx~

_山nx+b(l+x)sinx+bx(l+x)cosx

XT。3^<(l+x)

_山nx+b(l+x)sinx+bx(l+x)cosx

XT。3kF

siiix=x-^+o(x3)

那么,

(1+a)x+(b--)x2+—x3+o，)

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山口1+Z?sinx+Z?(l+x)cosx+b(l+x)cosx+bxcosx-bx(l+x)siiixXT。

6kx

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求的极值•【答案】极小值/(0,—1)=—1

【解析】4仆,丁)=20+1)靖两边对丫积分,f；(x,y)=2(1y2+y)ex+(p(x)=(/+2y)ex+奴

x),故£(x，0)=9(x)=(x+De'，

求得奴x)=e'(x+l),

由分母lim6&x=0,得分子

.V—>0

liin[l+Z?sinx+2b(1+x)cosx+bxcosx-bx(l+x)sinx]=liin(l+2bcosx)=0,

x->0.v->0

进一步，b值代入原式

、1--siiix-(l+x)cosx-ixcosx+ix(l+x)siiix

1=liin=lim——-----------------------------------

5g(X)I。

6kx

--cosx-cosx+(l+x)siiix--COSX+—xsinx+-(l+x)siiix+ixsinx4--x(l+x)cosx22

2222

x->06k

二,求得-L

6k3

(16)(本题满分10分)

设A>0,D是由曲线段y=Asinx(0«x«/)及直线y=0,x所围成的平面区域，匕,

匕分别表示D绕X轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若匕=匕，求A的值.

【答案】一

【解析】由旋转体的体积公式，得

乃(Asinx)2dx=TIA2j^~C0S^X

V2=£22对(工/=-2泡，xdcosx=2M

Q由题V1=V,,求得A

=—.■7t

(17)(本题满分11分)

己知函数/(x,y)满足以(x,y)=2(y+i)ex,£(x,0)=(x+l)e1/(0,y)=/+2y,

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故fa,y)=(y2+2y)e'+e'(l+x)，两边关于X积分，得f(x,y)=(y2+2y)ex4-j

el+x)dx

=(y2+2y)e'+J(1+x)dex

=(y2+2y)ex4-(1+x)ex-Jexdx

=(y2+2y)ex+(1+x)ex-ex+C

=(y2+2y)ex+xex+C

由〃0，y)=y2+2y+C=p+2y，求得C=0.

所以/（内）3+2加+—

/：=(y2+2y)e'+e、x"=0Jc,，

求得<

/v=(2y+2)er=0

又北二(y2+2y)ex+2ex+xex,f；、=2(y+l)e"f：y=2e

当x=O,y=_l时，A=/；(O,-1)=1,B=/；(0,-l)=0,C=/；(0,-l)=2,

AC-B2>0,f(0,—1)=-1为极小值.

(18)(本题满分10分)

计算二重积分JJ+y)dxdy,其中£>={(x,y^^+y2x2jD

【答案】---

【解析】JJx(x+y)dxdy=JJx2dxdyDD

=2〕闽厂/力

=2fx2(也-x2-x2)dx

令，

x=0

"一1

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【答案】30mm

:x2y/2-x2dx-：既22sin212cos2tdt-1

f」2H=2/rT.，」2汗2

=2卜sm_2tdt——=-sin~udu——=---.

Jo5Jo545

(19)(本题满分11分)

已知函数/(x)=「疝产力+。二/7力，求零点的个数?

【答案】2个

［解析］r(X)=_J1+X2+2xyji+x2=J1+析(2x-1)

令ra)=o,得驻点为工=；,

在(-83)，/(X)单调递减，在g,48),/(X)单调递增

故”3为唯一的极小值也是最小值•

而/(i)=Ji)l+t2dt+J：y/l+tdt=Jiy1l+t2dt-J：y/l+tdt

=力一£标步际

在(一,1),J1+广vJl+1，故J]yjl+t2dt—J]J1+fdt<02v~

从而有/(g)<0limf(x)=lim[(J1+产力+fy/l+tdt]=+8

limf(x)=lim[fJl+Fdf+fy/l+tdt]=lim[fJl+f力-(J1+产力],v-H-xJxJl

A->+XJlJl

fJ1+idt2xJl+x?

考虑lim——_=liin./=+8,所以lim/(X)=-HX).

—「VITFd/-W-

所以函数/(x)在(-口］)及g,+8)上各有一个零点，所以零点个数为2.

(20)(本题满分10分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，

现将一初始温度为120。。的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30℃,若要将该物

体的温度继续降至21℃,还需冷却多长时间？

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【解析】设，时刻物体温度为X"),比例常数为，(>0),介质温度为加，则

人

-=-k(x-机)，从而X(r)=Ce~k,+m,dt

x(0)=120,加=20,所以C=100,即x(f)=100e-"+20

又x(}=30,所以左二21nl0,所以x«)=正，+20

当X=21时，t=1»所以还需要冷却30min.

(21)(本题满分10分)

己知函数“X)在区间上具有2阶导数，〃。)=0，/(x)>0,"(x)>0,设b>a,曲线y=/(x)在点低/㈤)处

的切线与x轴的交点是(叼0),证明a

【证明】根据题意得点(瓦/㈤)处的切线方程为y-f(b)=fb)(x-b)

令y=0,得x0=b_2

f'(b)

因为广(x)>0所以/(x)单调递增，又因为/(a)=0

所以/(b)>0,又因为广。)>0

所以4=b—兽~

/(b)-f(a)=/w^e(ab)b-a所以……-瑞黑-酱"强怒

因为广'(x)>0所以ff(x)单调递增

(22)(本题满分11分)

10、

a-1且4=0.

1a,

(1)求。的值;

设矩阵A=1

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(2)若矩阵X满足X—X42-aX+AX4?=E，七为3阶单位阵，求X

【答案】/20

a=Q,X=-11-1

、21-1,

【解析】

a10010

(I)A3=0=>|A|=0=>1a-1=1-a?

-1=0=4=0

Ola-a1a

(II)由题意知

X_X4、AX+AX*=E=>X(E-A>AX(E-A)=E

=>(£-A)X(E-A2)=£：=>X=(£：-A)-1(£：-A2)-1=[(^-A2)(^-A)]-1

/、一1

=>X=(£-A2-A)

'o-irE-A2-A=-111

-1—12,

r1-10；20400；31-2、

T010^11-1—>010511-1

、001:21-1;、001521-1;

，31-2、

:.X=11-1

31-b

(23)(本题满分11分)

(D求。力的值;

(2)求可逆矩阵P,使尸一】AP为对角阵・

,0-1

-11

、一1-

1；10

l；01

2；00

0](1

0-0

-1-ISO-1

-1140

0、

J<1-1：0-10

、

<1-1-ro-i

一0100—>010

-21：0-1

0-H-2-i

1)(-1-120

0、

(02

设矩阵A=-13

11-2

-3)(I

-3相似于矩阵B=0

a)1

-2

、

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【答案】

(1)。=4,6=5；

⑵(2-3-P

P=10-1

、011,

【解析】(I)A~B=>tr(A)=tr(B)^>3+a=l+b+l

02-3

|A|=|B|=>-13-3

1-2a

a-b=-l(a=4

2a-b=3b=5

2=0时（0E—C）x=0的基础解系为。=（2,1,0）r;4=（—3,0,1/

尢=5时（4七一C）x=0的基础解系为专=（一LT，1）T

A的特征值=1+4：1,1,5

‘2-3-P

令尸=（《，$,&）=10-1,

1011J

•P~lAi

"密邕倒周庐热

艇回函画。画厨刖屈❷福加㈱的螳好雨魅花。福遐唠

△管赠命题铜。愿窗口用畿鲁或o曾阳宽。地犒何㈱mo

相昌嗣。感回窗倒阅演。

1-2

,02

(II)A=-13

」-2

2-3、

2-3=E+C

-23

。的特征值4=4=o,4=4

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