高考数学题目

高考数学题目

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2023年3月17日发(作者：员工面谈记录表)

2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅰ

理科数学

一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个

选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合2430Axxx,230xx,则AB

A

3

3,

2









B

3

3,

2









C

3

1,

2







D

3

,3

2







2.设yixi1)1(,其中yx,是实数,则yix

A1B2C3D2

3.已知等差数列

n

a前9项的和为27,

10

8a,则

100

a

A100B99C98D97

4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站

的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是

A错误!B错误!C错误!D错误!

5.已知方程

22

22

1

3

xy

mnmn





表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是

A1,3B1,3C0,3D0,3

6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半

径.若该几何体的体积是

28

3



,则它的表面积是

A17B18C20D28

7.函数

22xyxe在2,2的图像大致为

AB

（C）D

8.若101abc，,则

AccabBccabbaCloglog

ba

acbc

D

loglog

ab

cc

9.执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，，,则输出

x,y的值满足

A2yxB3yxC4yxD5yx

n=n+1

结束

输出x,y

x2+y2≥36？

x=x+

n-1

2

，y=ny

输入x,y,n

开始

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=

25,

则C的焦点到准线的距离为

A2B4C6D8

11.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,

3

2

2

2

3

3

1

3

知函数

()sin()(0),

24

fxx+x



，为()fx的零点,

4

x



为()yfx图像的对称轴,且

()fx在

5

1836









，单调,则的最大值为

A11B9C7D5

二、填空题：本大题共3小题,每小题5分

13.设向量a=m,1,b=1,2,且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=．

14.5(2)xx的展开式中,x3的系数是．用数字填写答案

15.设等比数列

n

a满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料,乙材料

1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料,乙材料,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,

生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件

下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．

三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.本小题满分为12分

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos(coscos).CaB+bAc

I求C；

II若

7c

,ABC的面积为

33

2

,求ABC的周长．

18.本小题满分为12分如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方

形,AF=2FD,90AFD,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

I证明：平面ABEF平面EFDC；

II求二面角E-BC-A的余弦值．

19.本小题满分12分某公司计划购买2台机器,该种机器使用三

年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购

否

是

C





D



F

买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购

买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件

数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更

换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共

需更换的易损零件数,

n

表示购买2台机器的同时购买的

易损零件数.

I求X的分布列；

II若要求()0.5PXn,确定

n

的最小值；

III以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在

19n与20n之中选其一,应选用哪个

20.本小题满分12分设圆

222150xyx的圆心为A,直线l过点B1,0且与x轴不重合,l交圆A

于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

I证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程；

II设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边

形MPNQ面积的取值范围.

21.本小题满分12分已知函数221xfxxeax有两个零点.

I求a的取值范围；II设x1,x2是fx的两个零点,证明：

12

2xx.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.本小题满分10分选修4-1：几何证明选讲

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,

1

2

OA为半径作圆.

I证明：直线AB与⊙O相切；

II点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.

23.本小题满分10分选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为

cos

1sin

xat

yat











t为参数,a＞0．

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4

cos.

I说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；

II直线C3的极坐标方程为

0

,其中

0

满足tan

0

=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．

0891011

20

40

频数

更换的易损零件数

O

D

C

B

A

24.本小题满分10分选修4—5：不等式选讲

已知函数123fxxx.

I画出yfx的图像；

II求不等式1fx的解集．

2016年高考全国1卷理科数学参

考答案

题号1112

答案DBCBAADCCBAB

1.243013Axxxxx,3

230

2

Bxxxx









．

故

3

3

2

ABxx









．

故选D．

2.由11ixyi

可知：1xxiyi,故

1x

xy











,解得：

1

1

x

y











．

所以,222xyixy．

故选B．

3.由等差数列性质可知：



19

5

95

9

92

927

22

aa

a

Sa





,故

5

3a,

而

10

8a

,因此公差1051

105

aa

d







∴

10010

9098aad．

故选C．

4.如图所示,画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证

他等车的时间不超过10分钟

根据几何概型,所求概率

10101

402

P



．

故选B．

5.

22

22

1

3

xy

mnmn





表示双曲线,则2230mnmn

∴223mnm

由双曲线性质知：222234cmnmnm,其中

c

是半焦距

∴焦距

2224cm

,解得

1m

∴13n

故选A．

6.原立体图如图所示：

是一个球被切掉左上角的

1

8

后的三视图

表面积是

7

8

的球面面积和三个扇形面积之和

故选A．

7.222882.80fe

,排除A

222882.71fe

,排除B

0x时,22xfxxe4xfxxe





,当

1

0,

4

x









时,0

1

40

4

fxe





因此fx

在

1

0,

4







单调递减,排除C

故选D．

8.对A：由于01c,∴函数cyx在R上单调递增,因此1ccabab,A错误

对B：由于110c,∴函数1cyx在1,

上单调递减,

∴111ccccababbaab,B错误

对C：要比较

log

b

ac和log

a

bc,只需比较

ln

ln

ac

b

和

ln

ln

bc

a

,只需比较

ln

ln

c

bb

和

ln

ln

c

aa

,只需lnbb和

lnaa

构造函数ln1fxxxx

,则'ln110fxx

,fx

在1,

上单调递增,因此



11

0lnln0

lnln

fafbaabb

aabb



又由01c得ln0c,∴

lnln

loglog

lnlnab

cc

bcac

aabb

,C正确

对D：要比较

log

a

c和log

b

c,只需比较

ln

ln

c

a

和

ln

ln

c

b

而函数lnyx在1,

上单调递增,故

11

1lnln0

lnln

abab

ab



又由01c得ln0c,∴

lnln

loglog

lnlnab

cc

cc

ab

,D错误

故选C．

9.如下表：

循环节运

行次数

判断

是否

输出

运行前01//1

第一次否否

第二次否否

第三次是是

输出

3

2

x,6y,满足4yx

故选C．

10.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理

设抛物线为22ypx0p

,设圆的方程为222xyr

,

题目条件翻译如图：

设0

,22Ax,

,5

2

p

D









,

点0

,22Ax在抛物线22ypx上,∴

0

82px……①

点

,5

2

p

D









在圆222xyr上,∴

2

25

2

p

r









……②

点0

,22Ax在圆222xyr上,∴22

0

8xr……③

联立①②③解得：4p,焦点到准线的距离为4p．

故选B．

11.如图所示：

∵

11

CBD∥平面,∴若设平面

11

CBD平面

1

ABCDm,

则

1

mm∥

又∵平面ABCD∥平面

1111

ABCD,结合平面

11

BDC平面

111111

ABCDBD

∴

111

BDm∥,故

11

BDm∥

同理可得：

1

CDn∥

故

m

、

n

的所成角的大小与

11

BD、

1

CD所成角的大小相等,即

11

CDB的大小．

而

1111

BCBDCD均为面对交线,因此

113

CDB



,即

11

3

sin

2

CDB．

故选A．

12.由题意知：

则21k,其中kZ

()fx在

π5π

,

1836







单调,

5π

,12

3618122

T



接下来用排除法

若

π

11,

4

,此时

π

()sin11

4

fxx









,()fx在

π3π

,

1844







递增,在

3π5π

,

4436







递减,不满足

()fx在

π5π

,

1836







单调

若

π

9,

4

,此时

π

()sin9

4

fxx









,满足()fx在

π5π

,

1836







单调递减

故选B．

15．6416．216000

13.由已知得：1,3abm

∴222

2

2222213112ababmm

,解得2m．

14．设展开式的第1k项为

1k

T



,0,1,2,3,4,5k

∴5

5

5

2

155

C2C2

k

k

k

kkk

k

Txxx









．

当53

2

k

时,4k,即

4

5

4543

2

55

C210Txx



故答案为10．

α

A

A

1

B

B

1

D

C

C

1D

1

15.由于

n

a是等比数列,设1

1

n

n

aaq,其中

1

a是首项,q是公比．

∴

2

13

11

3

24

11

10

10

5

5

aa

aaq

aa

aqaq

























,解得：

1

8

1

2

a

q















．

故

41

2

n

n

a









,∴



2

11749

32...47

2224

12

111

...

222

nnnn

n

aaa























当3n或4时,

21749

224

n

















取到最小值6,此时

2

1749

2241

2

n





















取到最大值62．

所以

12

...

n

aaa的最大值为64．

16．设生产A产品

x

件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则

约束为

目标函数2100900zxy

作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100)(0,200)

(0,0)

(90,0)

在(60,100)处取得最大值,216000z

17.解：⑴2coscoscosCaBbAc

由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC

∵πABC,0πABC、、，

∴sinsin0ABC

∴2cos1C,

1

cos

2

C

∵0πC，

∴

π

3

C

⑵由余弦定理得：2222coscababC

∴6ab

∴2187ab

∴ABC△周长为

57abc

18．解：1∵ABEF为正方形∴AFEF

∵90AFD

∴AFDF

∵=DFEFF

∴AF面EFDC

AF面ABEF

∴平面ABEF平面EFDC

⑵由⑴知

∵ABEF∥

AB平面EFDC

EF平面EFDC

∴AB∥平面ABCD

AB平面ABCD

∵面ABCD面EFDCCD

∴ABCD∥

∴CDEF∥

∴四边形EFDC为等腰梯形

以E为原点,如图建立坐标系,设FDa

020EBa，，

,

3

2

22

a

BCaa











，，

,200ABa，，

设面BEC法向量为mxyz，，

.

0

0

mEB

mBC















,即

1

111

20

3

20

22

ay

a

xayaz















111

301xyz，，

设面ABC法向量为

222

nxyz，，

=0

0

nBC

nAB















.即222

2

3

20

22

20

a

xayaz

ax















222

034xyz，，

设二面角EBCA的大小为.

∴二面角EBCA的余弦值为

219

19



19解：⑴每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11

记事件

i

A为第一台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i

记事件

i

B为第二台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i

由题知

134134

0.2PAPAPAPBPBPB

,

22

0.4PAPB

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为

16,17,18,19,20,21,22

122

⑵要令0.5Pxn≤≥

,0.040.160.240.5,0.040.160.240.240.5≥

则

n

的最小值为19

⑶购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外

购买的费用

当19n时,费用的期望为192005000.210000.0815000.044040

当20n时,费用的期望为202005000.0810000.044080

所以应选用19n

20.1圆A整理为2

2116xy

,A坐标1,0

,如图,

BEAC∥,则CEBD∠∠,由,ACADDC则∠∠,

EBDD∠∠，则EBED

所以E的轨迹为一个椭圆,方程为

22

1

43

xy

,0y；

E

D

A

B

C

⑵

22

1

:1

43

xy

C；设:1lxmy,

因为PQl⊥,设:1PQymx

,联立

1

lC与椭圆

22

1

1

43

xmy

xy















得2234690mymy；

则

22

2

22

22

363634

121

||1||1

3434MN

mm

m

MNmyym

mm









；

圆心A到PQ距离



22

|11|

|2|

11

m

m

d

mm







,

所以

22

22

2

2

4434

||2||216

1

1

mm

PQAQd

m

m









,

21.Ⅰ'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea．

i设0a,则()(2)xfxxe,()fx只有一个零点．

ii设0a,则当(,1)x时,'()0fx；当(1,)x时,'()0fx．所以()fx在(,1)上

单调递减,在(1,)上单调递增．

又(1)fe,(2)fa,取b满足0b且ln

2

a

b,则

22

3

()(2)(1)()0

22

a

fbbababb,

故()fx存在两个零点．

iii设0a,由'()0fx得1x或ln(2)xa．

若

2

e

a,则ln(2)1a,故当(1,)x时,'()0fx,因此()fx在(1,)上单调递增．又当

1x时,()0fx,所以()fx不存在两个零点．

若

2

e

a,则ln(2)1a,故当(1,ln(2))xa时,'()0fx；当(ln(2),)xa

时,'()0fx．因此()fx在(1,ln(2))a单调递减,在(ln(2),)a单调递增．又当1x

时,()0fx,所以()fx不存在两个零点．

综上,a的取值范围为(0,)．

（）不妨设

12

xx,由Ⅰ知

1

(,1)x,

2

(1,)x,

2

2(,1)x,()fx在(,1)上单调递减,

所以

12

2xx等价于

12

()(2)fxfx,即

2

(2)0fx.

由于2

2

2

222

(2)(1)xfxxeax,而2

2

222

()(2)(1)0xfxxeax,所以

22

2

222

(2)(2)xxfxxexe.

设

2()(2)xxgxxexe,则2()(1)()xxgxxee

.

所以当1x时,()0gx



,而(1)0g,故当1x时,()0gx.

从而

22

()(2)0gxfx,故

12

2xx.

22．⑴设圆的半径为

r

,作OKAB于K

∵120OAOBAOB，

∴30sin30

2

OA

OKABAOKOAr，，

Q

P

N

M

A

B

∴AB与O⊙相切

⑵方法一：

假设CD与AB不平行

CD与AB交于F

∵ABCD、、、四点共圆

∴FCFDFAFBFKAKFKBK

∵AKBK

∴22FCFDFKAKFKAKFKAK②

由①②可知矛盾

∴ABCD∥

方法二：

因为,,,ABCD四点共圆，不妨设圆心为T,因为

,OAOBTATB，所以,OT为AB的中垂线上,同

理,OCODTCTD，所以OTCD为的中垂线,所以ABCD∥．

23．⑴

cos

1sin

xat

yat











t均为参数

∴2

221xya

①

∴

1

C为以01，

为圆心,

a

为半径的圆．方程为222210xyya

∵222sinxyy，∴222sin10a即为

1

C的极坐标方程

⑵

2

4cosC：

两边同乘得22224coscosxyx，

224xyx

即2

224xy

②

3

C：化为普通方程为2yx

由题意：

1

C和

2

C的公共方程所在直线即为

3

C

①—②得：24210xya

,即为

3

C

∴210a∴1a

24．⑴如图所示：

⑵

41

3

321

2

3

4

2

xx

fxxx

xx

























，≤

，

，≥

当1x≤,

41x

,解得5x或3x

当

3

1

2

x,

321x

,解得1x或

1

3

x

1

1

3

x∴或

3

1

2

x

当

3

2

x≥,

41x

,解得5x或3x

3

3

2

x∴≤或5x

综上,

1

3

x或13x或5x

1fx∴

,解集为

1

135

3









，，，