牛莱公式
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2023年3月17日发(作者：有意义的英语)第1章集合、命题、不等式、复数
1、有限集合子集个数：子集个数：
2n个，真子集个数：12n个；
2、集合里面重要结论：
①
ABAAB
；②
ABABA
；③ABAB;④
ABAB
3、同时满足求交集，分类讨论求并集
4、集合元素个数公式：
()()()()nABnAnBnAB
5、常见的数集：Z：整数集；R：实数集；
Q
：有理数集；
N
：自然数集；
C
：复数集；
其中正整数集：1,2,3,ZN
6、均值不等式：若
,0ab
时，则
2;abab
若
,0ab
时，则
2;abab
7、均值不等式变形形式：222(,)abababR；
2(0)
ba
ab
ab
；
2(0)
ba
ab
ab
8、积定和最小：若
abp
时，则
22ababp
9、和定积最大：若abk时，则
22()
44
abk
ab
10、基本不等式：
222
11
22
abab
ab
ab
11、一元二次不等式的解法：大于取两边，小于取中间
12、含参数一元二次不等式讨论步骤：(1)二次项系数
a
；(2)判别式；(3)两根
12
,xx
大小比较；(4)
12
,xx与定义域的端点值作比较(常用韦达定理)
13、一元二次不等式恒成立：(1)若20axbxc
恒成立
0
0
a
(2)若20axbxc
恒成立
0
0
a
14、任意性问题：①
max
,()()xIafxafx
；
②
min
,()()xIafxafx
。
15、存在性问题：①
min
,()()xIafxafx
；②
max
,()()xIafxafx
。
16、距离型目标函数:22()()dxayb
可行域内的点
(,)xy
到定点
(,)ab
的距离；
17、斜率型目标函数:
yb
k
xa
可行域内的点
(,)xy
到定点
(,)ab
的斜率；
18、线性型目标函数:
zaxby
过可行域内的点
(,)xy
且斜率为
b
a
的直线截距的
b
倍；
19、
p
是
q
充分不必要条件：,pqqp
；则集合关系是：
p
q
20、
p
是
q
必要不充分条件：
,qppq
；则集合关系是：qp
21、
p
是
q
既不充分也不必要条件：
,pqqp
；则集合关系是：
,pq无包含关系
22、
p
是
q
充要条件：
,pqqp
；则集合关系是：
pq
23、全称命题及否定形式：
00
:,();:,();PxMpxPxMpx
24、特称命题及否定形式：
00
:,();:,();PxMpxPxMpx
25、命题否定形式的书写方法：任意变存在，存在变任意，条件不变，结论否定
26、共轭复数：zabi：(实部相同，虚部相反)，共轭复数的性质：22zzab
27、复数模长：22zabiab
28、复数的除法：112
2
22
zzz
z
zz
(分子、分母同乘分母的共轭复数)
第2章函数及导数
29、几个近似值：
21.414,31.732,52.236,3.142,2.718e
30、指数公式
(1)
n
m
n
maa
(2)
n
n
an
a
an
为偶数
为奇数
31、对数公式
(1).
NxNa
a
xlog
；(2).
NaN
alog
(3).
NMMN
aaa
loglog)(log
；(4).
NM
N
M
aaa
loglog)(log
(5).
MnM
a
n
a
loglog
(6).
nan
a
log
(7).
1loga
a
(8).
01log
a
(9).loglogn
ma
a
n
bb
m
log
(10).log
log
c
a
c
b
b
a
1
(11).log
loga
b
b
a
(12).logloglog1
abc
bca
32、函数定义域的求法
(1).分式的分母0；
(2).偶次方根的被开方数0；
(3).对数函数的真数0；
(4).0次幂的底数0；
(5).正切函数的自变量
2
k
；
(6).满足几个条件时列不等式组的求交集；
33、增函数的标志：①任意
12
xx
12
()()fxfx
；②导函数
()0fx
；③12
12
()()
0
fxfx
xx
；
34、减函数的标志：①任意
12
xx
12
()()fxfx；②导函数()0fx
：③12
12
()()
0
fxfx
xx
35、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减→减；减—增→减；
③.乘正加常，单调不变：④.乘负取倒，单调改变：
36、奇偶性的快速法：①.奇奇→奇；偶偶→偶；
②.奇()奇→偶；偶()偶→偶；奇()偶→奇；
37、常见的奇函数：2,,sin,tan,,(),ln(1)xx
k
ykxyyxyxyxyeeyxx
x
奇数
38、常见的偶函数：2,,cos,,,()xxyCyxyxyxyeeyfx偶数
39、函数的周期性：
()()xDfxTfx
，则称
()fx
为周期函数，其中T为函数的一个周期。
40、周期性标志：①.
()()fxafxbTab
；②.
()()2fxafxTa
；
③.
1
()2
()
fxaTa
fx
40、对称轴标志：()()fxafbx对称轴为
22
axbxab
x
；如常见的对称轴有：
(1)(1)fxfx对称轴为
1x
；()(2)fxfx对称轴为
1x
41、对称中心标志：()()fxafbx对称中心为
(,0)
2
ab
；如常见的对称中心有：
()()fxafax对称中心为
(0)a，
；(1)(1)fxfx对称中心为
(10)，
；
42、奇函数的周期是对称轴的4倍：以
sinyx
为例；
43、偶函数的周期是对称轴的2倍：以
cosyx
为例；
44、函数图像平移规则：横加左减右，纵加上减下；
45、函数图像翻折变换：
()fx
：偶函数，右不变，右翻左；
()fx
：上不变，下翻上；
46、函数图像伸缩变换：
()fwx
：纵不变，横为原来的
1
w
倍；
()Afx
：横不变，纵为原来的A倍；
47、零点存在性定理：函数
()yfx
在区间
(,)ab
有零点
1、函数
()yfx
在区间
(,)ab
连续；2、
()()0fafb
48、解与零点的关系：方程
()0fx
的解
函数
()yfx
的零点；
49、零点与交点的关系：函数
()()yfxgx
的零点个数
方程
()()0fxgx
的解的个数；
方程
()()fxgx
的解的个数；
函数
12
(),()yfxygx
图像交点的个数；
注意：两个函数
12
(),()yfxygx
图象可画，两函数为常见函数。
50、常函数的导数：
()fxC
，则
()0fx
；
51、幂函数的导数：
()fxx
，则1()fxx
；
52、正弦函数的导数：
()sinfxx
，则
()cosfxx
；
53、余弦函数的导数：
()cosfxx
，则
()sinfxx
；
54、指数函数的导数：
()xfxa
，则
()lnxfxaa
；（特别地：
()xfxe
，则
()xfxe
）
55、对数函数的导数：
()log
a
fxx
，则
1
()
ln
fx
xa
；（特别地：
()lnfxx
，则
1
()fx
x
）
56、和差求导数法则:
(()())()()fxgxfxgx
57、乘法求导数法则:
[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx
58、商的求导数法则：
2
()()()()()
()()
fxfxgxfxgx
gxgx
59、复合函数求导法则：若
[()]yfgx
，令
()tgx
，则
()yft()[()]()yfttfgxgx
60、切线l的方程：
))((
000
xxxfyy
，其中切点：
00
(,)Pxy
；斜率：
0
()kfx
61、切点的三大性质：(1).切线的斜率等于该点的导函数值；即
0
()kfx
(2).切点在曲线()yfx上；
(3).切点在切线l上
62、常见的不定积分表
函数名被积函数原函数
常函数
()fxc()FxcxC
幂函数()(1)fxx1
1
()
1
FxxC
反比例函数
1
()fx
x
()lnFxxC
正弦函数
()sinfxx()cosFxxC
余弦函数
()cosfxx()sinFxxC
63、积分的性质
(1).()()kfxdxkfxdx；
(2).[()()}()()fxgxdxfxdxgxdx
64、积分的几何意义：面积就是积分值。
定义在,ab上的函数()fx与x轴，,,()xaxbyfx构成曲边梯形的面积就为()fx在,ab的
定积分值。()b
a
Sfxdx
65、求积分的三种思路：(1)牛莱公式；(2)奇偶性质；(3)转圆求面积。
66、奇偶函数求积分：(1)奇函数对称区间上积分为0；(2)偶函数对称区间上积分为0,a的两倍。
67、转圆求积分：(1)222
1
2
a
a
axdxa
(半圆)；(2)2
22
0
1
42
4
xdx(四分之一圆)。
68、牛顿-莱布尼茨公式：()()()()b
b
a
a
fxdxFxFbFa.其作用：计算曲边梯形的面积。
69、不等式任意性：
max
,()()xDafxafx
；
min
,()()xDafxafx
70、不等式存在性：
min
,()()xDafxafx
；
max
,()()xDafxafx
71、不等式相同性：任意
xD
，证明：
()()fxgx
min
()()()0()0hxfxgxhx
存在
xD
，证明：
()()fxgx
min
()()()0()0hxfxgxhx
72、不等式相异性：任意
12
,xxD
，证明：
12maxmin
()(),()()fxgxxDfxgx
存在
12
,xxD
，证明：
12maxmin
()(),()()fxgxxDfxgx
73、函数有零点
maxmin
()0()0fxfx且min
max
()0
()0
fx
fx
74、函数无零点
maxmin
()0()0fxfx或
75、抽象函数具体化：若构造一个具体的特殊函数满足所有的已知条件，那么这个具体函数一定
是符合所求问题的一个函数。
76、抽象函数对数型：若
()()()fxyfxfy
，则
()log
a
fxx
；
77、抽象函数指数型：若
()()()fxyfxfy
，则
()xfxa
；
78、抽象函数正比型：若
()()()fxyfxfy
，则
()fxkx
；
79、抽象函数一次型：若
()fxc
，则
()fxcxb
；
80、抽象函数导数型：若
()()fxfx
，则
()xfxke
或
()0fx
;
81、指数不等式：
1(0)xexx当且仅当时“”成立
82、对数不等式：ln1(1)xxx当且仅当时“”成立
83、指对综合不等式：
1
ln(1)1(0)
ln1
x
x
ex
xxex
xx
当且仅当时“”成立
85．绝对值不等式：ababab；
86、函数绝对值不等式：
12maxmin
()()()()fxfxafxfxa
*87、柯西不等式：①.向量模型：
abab
；②.数字模型：2222
11221212
xyxyxxyy
*88、伯努利不等式：
(1)
(1)1
nn
n
xxnx
xnx
1
01
n
n
*89、洛必达法则：
()()
()()
limlim
xaxa
fxfx
gxgx
(当
()0
()0
fx
gx
或
时使用)
90、恒成立问题：
maxmin
(1)()();(2)()()afxafxafxafx
91、证明
()()fxgx
思路：思路1：
(1)()()()()0hxfxgxhx
（常规首选方法）
思路2：
minmax
()()fxgx
（思路1无法完成）
第3章数列
92、等差数列通项公式：
1
(1)
n
aandknb
(一次函数模型)
93、等差数列通项公式：2
1
1
()
(1)
22
n
n
naa
nn
SnadAnBn
(二次函数模型)
94、等比数列通项公式：1
1
n
n
aaq
95、等比数列通项公式：1
1
(1)
11
n
n
n
n
aaq
aq
SAAq
96、等差数列的性质：若
mnpq
，则
mnpq
aaaa
97、等比数列的性质：若
mnpq
，则
mnpq
aaaa
98、等差中项：若
,,aAb
成等差数列，则
2Aab
99、等比中项：若
,,aGb
成等比数列，则2Gab
100、裂项相消法1：若
111
(1)1nnnn
，则有
1
1
11n
n
T
nn
101、裂项相消法2：若
1111
(2)22nnnn
，则有
1111
(1)
2212n
T
nn
102、裂项相消法3：若
11
1111
nnnn
aadaa
，则有
11
111
()
n
n
T
daa
103、裂项相消法4：若
1111
(21)(21)22121nnnn
，则有
11
(1)
221n
T
n
104、分组求和法：
1111111
(1)(3)(5)[(21)](1321)()
2482242n
nn
Snn
*105、错位相减法求和通式：1
11
2
()
1(1)1
nnn
n
dqbbabq
ab
T
qqq
106、自然数的平方和：2222
(1)(21)
123
6
nnn
n
107、自然数的立方和：
22
3333
(1)
123
4
nn
n
108、去
n
S
留
n
a
思想：()
nn
Sfa
11
()
()
nn
nn
Sfa
Sfa
)()(
11nnn
afafa
109、去
n
a
留
n
S
思想：
()
nn
afS
11nnn
aSS
1
()
nnn
SSfS
第4章三角函数
110、三角函数的定义：正弦：
sin
y
r
；余弦：
cos
x
r
；正切：
tan
y
x
；其中：22rxy
111、诱导公式：倍加减名不变，符号只需看象限；半加减名要变，符号还是看象限。
112、和差公式：①
sin()sincoscossin
（伞科科伞，符号不反）
②
cos()coscossinsin
（科科伞伞，符号相反）
③
tantan
tan()
1tantan
（上同下相反）
113、二倍角公式：①sin22sincos
②2222cos2cossin12sin2cos1
③
2
2tan
tan2
1tan
114、平方关系：①.22sincos1
②.2(sincos)1sin2
115、齐次式求值：①.
sin2costan2
3sincos3tan1
②.
222
sincostan
sincos
sincostan1
116、辅助角公式:22sincossin().(tan,,0)
b
awxbwxabwxab
a
117、三角函数不等式：
sintanxxx
，当
(0,)
2
x
时恒成立;
118、
sinyx
单调性：增区间：
2,2,
22
kk
；减区间：
3
2,2,
22
kk
119、
cosyx
单调性：增区间：2,2,kk
；减区间：2,2,kk
120、tanyx单调性：增区间：
,
22
kk
121、对称轴方程：(1)
sinyx
对称轴方程：
2
xk
；(2)
cosyx
对称轴方程：
xk
122、对称中心：(1)
sinyx
中,0k
；(2)
cosyx
中
,0
2
k
；(3)tanyx中
,0
2
k
；
123、周期性：(1)
sinyx
中
2
T
w
；(2)
cosyx
中
2
T
w
；(3)
tanyx
中
T
w
；
124、正弦定理：
2
sinsinsin
abc
R
ABC
125、余弦定理：①
222
222cos2cos
2
bca
AabcbcA
bc
②
222
222cos2cos
2
acb
BbacacB
ac
③
222
222cos2cos
2
abc
CcababC
ab
126、射影定理：
coscos,
coscos,
coscos,
aBbAc
aCcAb
bCcBa
127、边大角大思想：大角对大边，大边对大角。sinsinabABAB
128、边变角思想：(1)、公式：
2sinaRA
；
2sinbRB
；
2sincRC
(2)、“=”两边为边、角(正弦)同次式；
(3)、正余弦的混合组；
129、角变边思想：(1)公式：
sin
2
a
A
R
；
sin
2
a
A
R
；
sin
2
a
A
R
(2)“=”两边为边角(正弦)同次式;
(3)只有一个余弦(
cos
)
130、正弦定理使用情况：已知条件为：AAS、ASA、边角同次式、角多用正弦
131、余弦定理使用情况：已知条件为：SSS、SAS、边的二次式、边多用余弦
132、三角形两角和关系：
sin()sin;cos()cos;tan()ABC
133、正弦值双相等：若
sinsinABAB
等腰三角形；
134、正余弦值相等：
sincos
2
ABAB
直角三角形；
222
ABAB
钝角三角形；
135、余弦值双相等：
coscosABAB
等腰三角形；
136、二倍正弦值相等：sin2sin2AB22AB等腰三角形；；
22
2
ABAB
直角三角形；
137、余弦值正负号：
cos0A
锐角三角形；
cos0A
直角三角形；
cos0A
钝角三角形；
138、三角形最值原理：三角形中一个角及其对边已知时，另外两边或两角相等时周长取得最小
值，面积取得最大值；
第5章平面向量
139、向量加法的作图：上终下起，中间消去；
ABBCAC
140、向量减法的作图：起点相同，倒回来读；
ACABBC
141、向量平行的判定：(1)向量法:
//=abba
;(2)坐标法:
1221
//0abxyxy
142、向量垂直的判定：(1)向量法:0abab;(2)坐标法:
1212
0abxxyy
143、向量的数量积公式：(1)向量法:
cosabab
;(2)坐标法:
1212
=abxxyy
144、向量的模长公式：(1)向量法:22(2)abab
(先平方，再根号);(2)坐标法:22
11
axy
145、向量的投影：(1)a在b方向的投影：
cos
ab
a
b
；(2)b在a方向的投影：
cos
ab
b
a
；
146、向量的夹角公式：(1)向量法:
cos=
ab
ab
;(2)坐标法:1212
2222
1122
cos=
xxyy
xyxy
147、a方向上的单位向量:(1)向量法:
a
e
a
;(2)坐标法:11
2222
1111
=,
xy
a
e
a
xyxy
148、证明A、B、C三点共线两种方法：(1)两个向量
,ABAC
共线且有一个公共点A；
(2)
(1)PAxPByPCxy
第6章立体几何
149、线线平行三方法：
①、线面平行的性质：一条直线和一个平面平行，过这条直线的平面和已知平面相交的交线和已知直线平行；
②、面面平行的性质：第三个平面与两个平行平面相交，则两条交线平行；
②、线面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行；
150、线线垂直两方法：线面垂直的性质：一条直线垂直一个平面，这条直线垂直这个平面内的所有直线。
151、线面平行两方法：①、线面平行的判定：线线平行线面平行（一内一外一平行）
②、面面平行的性质：两个平面平行，一个平面内任意直线平行第二个平面
152、面面平行两方法：①、面面平行的判定：线面平行面面平行（两内一交两平行）
②、面面平行的推论：两个平面内两组相交直线分别对应平行，则这两个平面平行
153、线面垂直两方法：①、线面垂直的判定：线线垂直线面平行（两内一交两垂直）
②、面面垂直的性质：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线必垂直第二个平面
154、面面垂直一方法：①、面面垂直的定义：两个平面的二面角为90
②、面面垂直的判定：线面垂直线面平行（一内一垂直）
155、证明四点共面三方法：①两平行条线确定一个平面；
②两条相交直线确定一个平面；
③直线及直线外一点确定一个平面；
156、证明三点共线原理：两个平面有一个公共点，那么两个平面有且仅有一条过该点的直线。
157、证明三点共线方法：①A分别属于两个平面
,
：
,AA
②B,C在平面
,
的交线
l
上：
,,lBCl
③
Al
即：
,,ABCl
即A,B,C三点共线；
158、法向量行列式公式：111111
222222
,,.
yzxzxy
m
yzxzxy
其中
ab
adbc
cd
159、线线角向量法公式：
cos
ab
ab
；其中
0,
2
160、线面角：(1)向量法公式：
sin
am
am
；(2)几何法公式：
sinx
h
a
；其中
0,
2
161、二面角：(1)向量法公式：
cos
mn
mn
；(2)几何法公式：
cos
S
S
射影
原图
；其中0,
162、点面距：(1)向量法公式：
x
mAB
h
m
；(2)几何法公式：11
2
x
Sh
h
S
163、不定点设法：(1)P在线段AB上：(0,1)APtABt
(2)P在直线AB上：
()APtABtR
164、多面体的内切球半径：
12
33
n
VV
r
SSSS
表
165、长方体的外接球半径：2222Rabc
166、直棱锥的外接球半径：
222()
2
2
sin
h
Rr
a
r
A
(直棱柱，圆柱也满足)
167、正棱锥的外接球半径：
222()
2
sin
RrhR
a
r
A
(正四面体，圆锥也满足)
168、正三角形的性质：高：
3
2
ha
，面积：2
3
4
Sa
169、正三角形与圆：内切圆半径：
3
6
ra
，外接圆半径：
3
3
Ra
，且
2
1
R
r
170、正四面体的高：斜高：
3
2
ha
斜
，正高：
6
3
ha
正
171、正四面体与球：内切球半径r，外接圆半径R，且
3
1
R
r
且
rRh
正
第7章解析几何
172、圆的定义:若PAPB，则P的轨迹为以AB为直径的圆
173、椭圆的定义:若
1212
2(2)PFPFaaFF,则P的轨迹为以
12
FF为焦点,2a为长轴的椭圆
174、双曲线的定义:若
1212
2(2)PFPFaaFF
,则P的轨迹为以
12
FF为焦点,2a为实轴的双曲线
175、抛物线的定义：到定点(,0)
2
p
F和到定直线：
2
p
x的距离相等的点P的轨迹为抛物线
176、求曲线方程常见的方法：①直接法；②代入法；③定义法；④待定系数法
177、直线的斜截式方程：bkxy；直线过
y
轴上点为(0,)Bb且不竖直于
x
轴
178、直线的横截式方程：
xmya
；直线过x轴上点为(,0)Aa且不平行于x轴
179、直线平行：
)(//
212121
bbkkll
；或
0
1221
BABA
180、直线垂直：
1
2121
kkll
；或
0
2121
BBAA
181、点点距公式：2
12
2
12
)()(yyxxAB
182、点线距公式：
22
00
BA
CByAx
d
183、线线距公式：12
22
CC
d
AB
184、直线方程：（1）斜截式：bkxy；（2）点斜式：
)(
00
xxkyy
；
（3）截距式：1
b
y
a
x
；（4）一般式；0CByAx；
185、平行直线系：
0()AxByC
；(
,AB
相同，
C
不相同)
186、垂直直线系：
0BxAy
；(
,AB
互换，符号变反)
187、交点直线系方程：
111222
()0AxByCAxByC
188、直线一般式与斜截式的互换：
B
A
k,
B
C
b
189、直线的斜率公式：
tank
,
12
12
xx
yy
k
190、斜率取值范围确定：过定点，作垂线；有交点，两k外；无交点，两k间；
191、圆与圆的位置关系
相离：rRd外切：rRd相交：rRdrR
内切：rRd内含：rRd0
192、通用弦长公式：22
1212
1()4lkxxxx
,]4)[
1
1(
21
2
21
2
yyyy
k
l
193、圆的弦长公式：222lrd
194、椭圆的离心率公式：
2
2
1(01)
cb
e
aa
，
195、双曲线的离心率公式：
2
2
2
11(1)
cb
ek
aa
渐
，
196、离心率范围：(1)椭圆：
(0,1)e
；(2)双曲线：
(1)e，
；(3)抛物线：1e
197、双曲线的渐近线方程：
x
a
b
y
198、双曲线的焦渐距为：
b
(虚半轴)
199、通径公式2t：(1)椭圆、双曲线：
22
2
b
t
a
；(2)抛物线：
22tp
*200、焦半径公式（带坐标）：圆锥曲线上点
00
()Mxy，到焦点F的距离
(1)椭圆中：
0
MFaex
；(2)双曲线：
0
MFexa
；(3)抛物线：
20
p
xMF
*201、焦半径公式（倾斜角）：
(1cos)
t
e
(t:半通径；:焦点弦倾斜角；e:离心率)
(1)椭圆中：
2
(1cos)
b
ae
；(2)双曲线：
2
(1cos)
b
ae
；(3)抛物线：
1cos
p
*202、焦点弦公式（倾斜角）：
22
2
(1cos)
t
e
(t:半通径；:焦点弦倾斜角；e:离心率)
(1)椭圆中：
2
22
2
(1cos)
b
ae
；(2)双曲线：
2
22
2
(1cos)
b
ae
；(3)抛物线：
2
2
sin
p
203、切线方程：(1)椭圆：00
22
1
xxyy
ab
；(2)双曲线：00
22
1
xxyy
ab
；(3)抛物线：
00
()yypxx
204、抛物线的焦点弦长：
2
12
22
222
sin
kp
lxxpp
k
205、特殊弦长公式：(1)圆的弦长公式：222drl；(2)抛物线焦点弦长：
pxxl
21
206、焦点三角形面积：(1)椭圆中：
2
tan2
21
bS
MFF
；(2)双曲线：
2
cot2
21
bS
MFF
(3)通用面积：sin
2
1
21
21
ddS
MFF
*207、圆锥曲线的离心率公式：
1
cos
1
e
208、抛物线焦点弦圆：以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切；
209、抛物线焦点弦性质：
112
,
AFBFp
210、抛物线焦点直线的韦达定理：
22
2
12121212
2
22
,,,
4
pkp
xxxxpyypyy
kk
211、点差法的斜率公式：
22
00
22
000
,,
bxbx
p
kkk
ayayy
双
椭抛
212、解析几何中的向量问题：
2121
yyxxOBOA,
1212
(,)OAOBxxyy
213、向量与夹角问题：(1)AOB钝角0OAOB;
(2)
AOB锐角0OAOB;
(3)
AOB直角（OAOB）0OAOB
214、向量与圆的问题：P与以AB为直径的圆的位置关系：
(1)P在圆内：APB钝角0PAPB;
(2)P在圆上：APB直角0PAPB;
(3)P在圆外：APB锐角0PAPB;
215、坐标轴平分角问题：
1212
0kkkk
216、定点与定值问题：特殊位置，锁定答案；设而不求，再作验证；
217、均值思想：当两个正数变量的和或积为定值时求另一个量的最值，当这两个正数变量相等
时，则所求变量取得最值；
第8章概率统计
218、简单随机抽样：随机数表法、抽签法(抓阄法).
219、系统抽样：按等差数列通项抽取,其中第
i
个编号为
1
(1)
i
aaid
.
220、分层抽样：按比例抽取3
12
123
n
nnn
NNNN
.
221、频方图的频率=小矩形面积：i
iii
n
fSyd
N
；频率=频数/总数.
222、频方图的频率之和：
12
1
n
fff
；同时
12
1
n
SSS
.
223、频方图的众数：最高小矩形底边的中点.
224、频方图的平均数：
123
123
n
n
xxfxfxfxf
中中中中
.
123
123
n
n
xxSxSxSxS
中中中中
.
225、频方图的中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x的值.
226、频方图的方差：2222
12
12
()()()
n
n
sxxfxxfxxf
中中中
.
227、线性回归方程：
ˆ
ˆˆ
ybxa
.11
222
11
()()
ˆ
()
nn
iiii
ii
nn
ii
ii
xxyyxynxy
b
xxxnx
,
ˆ
ˆ
aybx
.
228、线性回归直线方程必过样本中心：
(,)xy
.
229、斜率
ˆ
b
的意义：
ˆ
0:b
正相关；
ˆ
0:b
负相关.
230、残差：
ˆˆ
iii
eyy
(残差=真实值—预报值).分析：ˆ
i
e
越小越好.
231、残差平方和：2222
1122
1
ˆˆˆˆ
()()()()n
iinn
i
yyyyyyyy
.分析：越小越好.
232、拟合度(相关指数）：
2
2
1
2
1
ˆ
()
1
()
n
ii
i
n
i
i
yy
R
yy
.分析：①.20,1R
的常数；②.越大越好.
233、线性相关系数r：11
2222
1111
()()
()()()()
nn
iiii
ii
nnnn
iiii
iiii
xxyyxynxy
r
xxyyxxyy
.
234、相关系数r分析：
①.
[1,1]r
的常数；
②.
0:r
正相关；
0:r
负相关
③.
[0,0.25]r
,相关性很弱;
(0.25,0.75)r
,相关性一般;
[0.75,1]r
,相关性很强；
235、独立性检验2×2列联表：
236、独立性检验公式：2
2
()
()()()()
nadbc
k
abcdacbd
.
237、独立性检验步骤：①．计算观察值2k
，②．查找临界值
0
k
，③.下结论.
238、常见的排列问题：任职问题、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题.
239、排列公式：
(1)(1).m
n
Annnm
240、常见的组合问题：产品抽查问题、一次性抽取问题.
1
x
2
x
合计
1
ya
bab
2
yc
dcd
合计acbdnabcd
241、组合公式：
(1)(1)
(1)321
m
n
nnnm
C
mm
.
242、常见排列组合顺口溜：
特殊元素先考虑，特殊位置先安排;
分类讨论找特殊，分类复杂对立法;
相邻问题捆绑法，相隔问题插空法;
定序问题除阶乘，定序限制乘比例;
染色问题多到少，对角之时须讨论;
平均分组除阶乘，非平分组即组合;
先分后排须谨记，后排即乘全排列。
243、古典概型公式：
()A
n
PA
n
.
244、几何概型公式：
()AAAA
lSV
PA
lSV
.
245、几何概型中面积问题：积分问题、双变量问题、线性规划问题.
246、任意事件概率公式：
()()()()PABPAPBPAB
.
247、互斥事件概率公式：
()()()PABPAPB
.
248、对立事件概率公式：
()1()PAPA
(题目含有“至多、至少等关键词”).
249、条件概率公式：
()
()
()
AB
A
n
PAB
PBA
PAn
.
250、独立事件概率公式：
()()()PABPAPB
.
251、独立事件的性质：若A与B独立，则A与
B
、
A
与B、
A
与
B
也独立.
252、独立事件至少有一个发生概率公式：
()1()PABPAB
.
253、超几何分布的概率公式：
()
knk
MNM
n
N
CC
Pxk
C
.
254、超几何分布的均值公式：
()
M
EXn
N
.
255、无放回抽取：①一次性抽取
超几何分布；②逐一抽取
独立事件.
256、有放过抽取：等可能性
二项分布.
257、二项分布的概率公式：
()(1)kknk
n
PxkCpp
.
258、二项分布的性质：有限性、等可能性、独立性.
259、二项分布的均值与方差：
()EXnp
；方差：
()(1)DXnpp
.
260、均值公式：
nn
pxpxpxXE
2211
)(
261、方差公式：222
1122
()[()][()][()]
nn
DXxExpxExpxExp
262、正态分布2(,)XN
：
:
期望
)(XE
，
:标准差()DX
.
263、正态分布对称性：图像关于直线x成轴对称.
264、正态分布全区间概率：
1)()(
dxxRxP
.
265、正态分布半区间概率：
5.0)()(
dxxxP
.
266、正态分布3区间概率：
9973.0)33(
9545.0)22(
6826.0)(
xP
xP
xP
.
267、二项式定理展开式：11()()()()nonnknkknn
nnnn
axbCaxCaxbCaxbCb
.
268、两个系数：其中
()naxb
展开式中第1r项为：
1
()rnrrrnrrnr
rnn
TCaxbCabx
.
(1)、二项式系数：r
n
C
(2)、项的系数：rnrr
n
Cab.
269、所有二项式系数为2n：0122nn
nnnn
CCCC
.
270、所有奇数项、偶数项二项式系数为12n：024113512;
nnnnnn
CCCCCC
271、展开式系数：设23
0123
()nn
n
axbaaxaxaxax
的展开式中.
272、各项系数和：令1x时，
01
()n
n
aaaab
①
274、奇偶项系数和：令1x时，
0123
()naaaaab
②(将①、②相加减即可得到)
275、其他赋值：令
1
2
x
时，3
12
0
1
()
24822
n
n
n
aa
aa
aab
276、系数前提：求导后令
1x
时，1
123
23()n
n
aaanaanab
第9章极参方程
277、极坐标方程与直角方程互换：
22
222
,tan
cos,sin,
y
xy
x
xyxy
278、极坐标点
(,)M
的意义：
,OMxOM
279、过原点且倾斜角的直线极坐标方程：
()R
280、过原点且倾斜角的射线极坐标方程：
或
(0)
281、极坐标方程为
()R
的直线上两点的距离公式：
1212
,,ABOAOB
282、圆的参数方程：
cos
sin
xar
ybr
（
为参数）
283、直线的参数方程：
cos
sin
xat
ybt
（
t
为参数）
284、椭圆的参数方程：
cos
sin
xa
yb
（
为参数）
285、参数方程的意义：
()
()
xf
yg
（
为参数）上的任意点
P
的坐标可表示成：
((),())Pfg
286、直线参数
t
的意义1:
12
,PAtPBt
287、直线参数t的意义2:
12
PAPBtt
288、直线参数t的意义3:2
121212
()4ABtttttt
289、直线参数t的意义4:1212
12
1212
tttt
PAPBtt
tttt
、同号
、异号