总体分布

发布时间：2023-06-12 作者：admin 来源：文学

总体分布

2023年3月17日发(作者：教学设计封面)

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一、引言

Bayes统计起源于英国学者托马斯.贝叶斯（ThomasBayes,1702～

1761）死后发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。在此论文中他提出

了著名的贝叶斯公式和一些归纳推理方法，随后拉普拉斯

（Laplace,P.C.1749～1827）不仅重新发现了贝叶斯定理，阐述的远比贝

叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医学统计以及法学问题。之

后虽有一些研究和应用但由于其理论尚不完整，应用中出现一些问题，致

使贝叶斯方法长期未被接受。直到二战后，瓦尔德(Wald,A.1902～1950)提

出统计决策函数论后又引起很多人对贝叶斯研究方法的兴趣。因为在这个

理论中，贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。在Savage,L.J.(1954)、

Jeffreys,H.(1961)、Good,I.J(1950)、Lindley,D.V(1961)、

Box,G.E.P.&Tiao,G.C.(1973)、Berger,J.O.(1985)等贝叶斯学者的努力

下，对贝叶斯方法在观点、方法和理论上不断的完善。另外在这段时期贝

叶斯方法在工业、经济、管理等领域内获得一批无可非议的成功应用。贝

叶斯统计的研究论文与著作愈来愈多，贝叶斯统计的国际会议经常举行。

如今贝叶斯统计已趋成熟，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的学派，开

始打破了经典统计学一统天下的局面。

贝叶斯统计是在与经典统计的争论中发展起来的,现已成为统计学中

不可缺少的一部分.贝叶斯统计与经典统计的主要区别就是是否利用先验

信息。贝叶斯统计重视已出现的样本观测值，对尚未发生的样本观测值不

予考虑。近几年来对贝叶斯统计的广泛应用，使得贝叶斯统计在可靠性问

题中起到越来越重要的作用。尤其是对产品的失效率以及产品寿命的检验

中，更是离不开贝叶斯统计。本文主要是探索串联系统和并联系统的可靠

性，以及可靠性增长模型的Bayes估计，这些都表现出了Bayes统计在可

靠性中的广泛应用。

二、绪论

（一）统计学及其发展历程

人类的统计活动源远流长，自从有了数的概念，有了计数活动，就有

了统计。但作为一门学科的统计学，它的出现却晚得多。英国学者配第

（）《政治算术》一书的问世，标志着统计学的开端。

概率论是统计学的重要起源之一。14世纪时，在工商业比较繁荣的意

大利以及地中海岸其他地区，由于游戏盛行和保险活动的萌起。人们

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对“机会”问题发生了兴趣。但真正意义上的概率论，是从17世纪开始的。

帕斯卡（）和费马()关于“得点问题”的讨论。这奠定

了概率论的基础。早期概率论的研究中，做出重要贡献的数学家有：莱布

尼茨（x），贝努利(li)，贝叶斯()，拉普拉斯

(e)，高斯()，贝塞尔()，新普森(n)，

布丰(on)，泊松(n)等，高斯和勒让格在误差研究过程

中，提出了有名的最小二乘法，高斯还导出了著名的正态分布曲线。随着

概率统计研究对象的不断复杂化，统计学进入了一个由“算术”水平向“数

理”阶段转化的新的发展时期。

近代的统计学主要有数理统计学派和社会统计学派。随着自然科学的

快速发展和技术的不断进步。人们对数理统计方面提出了进一步的要求，

统计学越来越多地应用概率论知识。这样，数理统计学就从统计学中分离

出来自成一派。由于这一学科主要在英美等国发展起来，故又被称为英美

数理统计学派。

从20世纪初到现在的数理统计时期，数理统计学发展的主流从描述统

计学转向推断统计学。推断统计学促使数理统计进入现代范畴，成为统计

学的重要组成部分。

（二）贝叶斯统计的形成与当前的研究进展

统计学中有两个主要学派：贝叶斯学派和经典学派。贝叶斯统计是在

与经典统计的斗争中发展起来的，贝叶斯统计分析往往与统计决策理论结

合在一起，贝叶斯统计推断与决策理论形成了一套完整的逻辑公理体系。

贝叶斯定理既适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量，它

形成了贝叶斯统计的基本原理和统计思想。贝叶斯统计与经典统计学的最

主要差别在于是否利用先验信息，贝叶斯统计重视已出现的样本观察值，

对尚未发生的样本观察值不予考虑。贝叶斯学派最基本的观点是：任一个

未知量都可看作一个随机变量，应用一个概率分布去描述的位置状况。

由于贝叶斯统计集先验信息、样本信息和总体信息于一身，更贴近实

际问题，并且由于在处理小样本问题时有其独特的优点。近年来开始在生

物统计、临床试验、质量控制、精算、图像分析、可靠性等领域被广泛应

用。在国防科技领域应用尤为突出：美国、前苏联早在60年代就把Bayes

方法列为使用手册，英国则将其列为国家标准。在我国，Bayes方法的研究

起步较晚，在工程上应用很少，在战术武器系统可靠性上的应用尚处于初

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步探索阶段。

在贝叶斯统计方面，做了大量奠基性的工作。如今,贝叶斯

统计无论在理论上还是在方法上，以及他们和实际的结合上,都得到了长足

的发展。SamuelKotz和方开泰把贝叶斯方法应用在“Symmetric

MultivariateandRelatedDistributions”。在国内，方开泰是较早从事

Bayes统计理论研究的著名统计学家；另外在Bayes统计理论方面比较有影

响的有华东师范大学的茹诗松教授和中国人民大学的吴喜之教授。而在

Bayes方法进展上，大都集中在应用统计领域。

(三)本文的工作

由于Bayes学派的最基本的观点是:任一未知量都可以看作随机变

量，可以用一个概率分布去描述，这个分布称为先验分布。因为任一未知

量都有不确定性，而在表述不确定性时，概率与概率分布是最好的语言。

关于未知量是否可以看作是随机变量，这在经典学派和Bayes学派间争论

了很久。如今经典学派已不反对这一观点，著名的美国统计学家

Lehmann.E.L.在他的《点估计理论》一书中写道:“把统计问题中的参数看

作随机变量的实现要比看作未知参数更合理些。”而现在两派争论的焦点

是：如何利用各种先验信息合理地确定先验分布。这在有些场合容易解决，

但在很多场合还是相当困难的。这时应加强研究，切不可简单处理，草率

地选用先验分布。

关于先验分布的合理确定问题，已经成为贝叶斯学派新的研究课题。

目前己经有了一些成功的方法。在文献[10]中有较为全面的叙

述。本文对贝叶斯统计中先验信息如何在实际中得以应用方面做了有益的

探索：认为Bayes方法在一般的小样本问题中应用时，通过未知参数(待估

参数)的特征，(比如非负性，有限性等)选取适当的分布函数做为先验分

布，并根据情况采用合适的Bayes方法(比如多层Bayes估计)，如果选取

的先验分布函数有待定参数(超参数)，还要根据先验信息对待定参数进行

数值逼近，或者根据实际问题专家意见给出，这带有主观概率的成分。由

于实际问题与理论的差异，这是允许的，也是根据实际情况所做的调整。

本文通过对Bayes统计基本原理及相关知识的了解，着重用了二项分布、

指数分布、威布尔分布等对Bayes统计在可靠性问题中的应用作了有益的

探索。尤其是运用以上分布来检验系统的可靠性，以及产品的失效率是本

文的重点。

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三、Bayes统计

（一）Bayes学派的观点

贝叶斯统计是在与经典统计的争论中发展起来的，他们争论的问题有：

未知参数是否可以看作随机变量？事件的概率是否一定要有频率解释?概

率是否可用经验来确定等等。在这些问题的争论中，贝叶斯学派建立了自

己的理论和方法。近50年来，贝叶斯统计的内容越来越丰富。

国际数理统计主要有两大学派：Bayes学派和经典学派。他们之间既有

共同点，又有不同点。经典统计学是基于总体信息（即总体分布或总体所

属分布族的信息）和样本信息（即从总体抽取的样本的信息）进行的统计

推断，而Bayes统计是基于总体信息、样本信息和先验信息（即在抽样之

前有关统计问题的一些信息，主要来源于经验或历史资料)进行的统计推

断，与经典统计的本质区别在于是否利用先验信息。

贝叶斯学派最基本的观点是：用一个概率分布任一个未知量都可看

作一个随机变量，应去描述对的未知状况。这个概率分布是在抽样前就

有的关于的先验信息的概率陈述。这个概率分布被称为先验分布。有时

还称为先验（Prior）。因为任一未知量都有不确定性，而在表述不确定性

程度时，概率与概率分布是最好的语言。例如产品的不合格品率是未知

量，但每天都有一些变化，把它看作一个随机变量是合理的，用一个概率

分布去描述它也是很恰当的。即使是一个几乎不变的未知量，用一个概率

分布去描述它的不确定性也是十分合理的。

Bayes统计存在的主要问题是先验分布问题。例如如何在具体的问题中

定出“合适的先验分布?先验分布是一个纯主观的随意性的东西，那还有什

么科学意义?到目前为止，Bayes统计未能提出一个放之四海皆准的确定先

验分布的方法,且看来在今后也难以做到这一点,因而,这确实是Bayes统计

的一个重大弱点。但在承认这一点的同时应清晰的看到，Bayes学赞成主观

概率，并不等于说可以用主观随意的方式去选取先验分布，而是要求研究

者对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这一方面的专家。

事实上,对如何确定先验分布Bayes学者做了不少的探讨,并且在实用范围

内，对一些常见的分布都己得到了较好的回答。

（二）Bayes公式

1、三种信息

随着贝叶斯统计的兴起和发展，贝叶斯统计得到了广泛的应用。在介

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绍应用前，先简单介绍一下三种信息：总体信息、样本信息和先验信息。

（1）总体信息，即总体分布或总体所属分布族给我们的信息，譬如，“总

体是正态分布”这句话就给我们带来很多信息：它的密度函数是一条钟行

曲线；它的一切阶矩都存在；有关正态变量的一些事件的概率可以计算；

由正态分布可以导出t分布和F分布等重要分布；还有许多成熟的点估计、

区间估计和假设检验方法可供我们选用。总体信息是很重要的信息，为了

获得此种信息往往耗资巨大。美国军界为了获得某种新的电子元器件的寿

命分布，常常购买成千上万个此种元器件，做大量的寿命实验，获得大量

数据后才能确认其寿命分布是什么。我国为确认国产轴承寿命分布服从两

参数威布尔分布前后液化了五年多的时间，处理了几千个数据后才定下来

的。又如保险费的确认与人的寿命密切相关，在保险业中，人的寿命分布

被称为寿命表，中国人的寿命表不同于外国人的寿命表，男人的寿命表不

同于女人的寿命表，北方人的寿命表不同于南方人的寿命表，当代人的寿

命表与50年前人的寿命表也是不同的，而要确定这些寿命表是一项耗资费

时的工作，至今我国还缺乏这种寿命表。

（2）样本信息，即从总体中抽取的样本给我们的信息。这是最“新鲜”

的信息，并且愈多愈好。人民希望通过对样本的加工和处理对总体的某些

特征作出较为精确的统计推断。没有样本就没有统计学而言。

（3）先验信息，即在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般说来，

先验信息主要来源于经验和历史资料。先验信息在日常生活中和工作中也

经常可见，不少人在自觉或不自觉的使用它。

基于上述三种信息进行的推断被称为贝叶斯统计学。它与经典统计学的主

要区别在于是否利用先验信息。在使用样本信息上也是有差异的。

2、贝叶斯公式

在初等概率中，讲述了贝叶斯公式的事件形式。这里用随机变量的密

度函数形式来叙述贝叶斯公式。

依赖于参数的密度函数在经典统计中记为;px，它表示在参数空

间={}中对应不同的分布。可在贝叶斯统计中记为|px，它表示在

随机变量给定某个值时，总体指标X的分布.根据参数的先验信息确定

先验分布。这样一来，样本x和参数的联合分布为

,|hxpx

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这个联合分布把样本信息、总体信息和先验信息都综合进去了。

我们的任务是要对未知数作出统计推断。在没有样本信息时，人们

只能据先验分布对作出推断。在有样本观察值1,2

,...,

xxxx

之后，我们

应该依据,hx

对作出推断。为此我们需把,hx

作如下分解：

,|hxxmx其中mx是x的边缘密度函数。它与无关，或者

说，mx中不含的任何信息。因此能用来对作出推断的仅有条件分布

|x。它的计算公式是





hxpx

pxd













(1.1)

这就是贝叶斯公式的密度函数形式。这个在样本x给定下，的条件

分布被称为的后验分布。它是集中了总体、样本和先验等三种信息中有

关的一切信息，而又是排出一切与无关的信息之后所得到的结果。故基

于后验分布|x对进行统计推断是更为有效，也是最合理的。

在是离散随机变量时，先验分布可用先验分布列

,

1,2,i

表示。这时后验分布也是离散形式。















1,2,i

(1.2)

假如总体X也是离散的，那只要把（1.1）或(1.2)中的密度函数|px

看作为概率函数|PXx即可。

（三）先验分布与共轭先验分布

一般来说，先验信息主要来源于经验和历史资料，这在日常生活和工

作中经常遇见人们也在自觉不自觉的实用它。根据先验信息确定先验分布

是Bayes理论的重要研究内容；先验分布分为无信息先验分布和有信息先

验分布两大类。

在没有先验信息的情况下确定的先验分布就叫做无信息先验分布。这

是Bayes分析诞生之初就面临的问题，是Bayes学派近30多年来获得的重

要成果之一。主要有贝叶斯假设位置参数的无信息先验分布，尺度参数的

无信息先验分布和Jeffreys先验分布。共轭先验分布就是一种有信息先验

分布，一般都含有超参数，而无信息先验分布一般不含超参数。

定义3.1总体分布中的参数(或参数向量)，是的先验密度函数，

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假如由抽样信息算得的后验密度函数与

有相同的函数形式，则称

是的共轭先验分布。

应着重指出的是，共轭先验分布是对某一分布中的参数而言的，离开

了指定的参数及其所在的分布去谈共扼先验分布是没有意义的。

共轭先验分布在许多场合被采用，它主要有两个优点：

（1）因为先验分布和后验分布属于同一个分布族，计算方便。

（2）后验分布使得一些参数可以得到很好的解释。

常用的共轭先验分布

表1

总体分布参数共轭先验分布

二项分布成功概率贝塔分布Be(

,

)

泊松分布均值伽玛分布Ga(

,

)

指数分布均值的倒数伽玛分布Ga(

,

)

正态分布（方差已知）均值正态分布N(2,)

正态分布（均值已知）方差倒伽玛分布IGa(

,

)

（四）似然原理

似然原理是统计学规范中大家都应遵守的公理。是统计学最一般的基

础原理。

似然原理的核心概念是似然函数，对似然函数和对联合概率密度的理

解是这样的：如果1,2

,...,

xxxx是来自总体x的一个样本，x的密度函数

是|px那么其乘积



pxpx



(1.3)

（1）当给定时，|px是样本x的联合密度函数。

（2）当样本x的观察值给定时，|px是未知参数的函数，|px

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是似然函数，记为L。

似然函数L强调：它是的函数，而样本x在似然函数中只是一组

数据或一组观察值。所有与试验有关的信息都被包含在似然函数之中，

使L=|px

大的比使L小的更“像”是的真值。特别地，使

L在在参数空间达到最大的

称为最大似然估计，假如两个似然函数

成比例，比例因子又不依赖于，则它们的最大似然估计是相同的，这是

由于两个成比例的似然函数所含的的信息是相同的，假如我们对采用相

同的先验分布，那么基于x对所做的后验推断也是相同的。

在贝叶斯学派看来，似然原理可以概括为以下两点：

(1)有了观测x之后，在做关于的推断时，所有与实验有关的信息

均被包含在似然函数L之中。

(2)如果有两个似然函数是成比例的，比例常数与无关，则它们关

于含有相同的信息。

（五）Bayes估计

1、点估计

（1）点估计

设是总体分布|px中的参数，从总体随机抽取一样本



,,,

XXXX，根据的先验信息取一先验分布，用贝叶斯算得

后验分布|x。作为的估计可选用后验分布|x的某个位置特征

量，如众数、中位数或期望值等。

定义3.2使后验分布|x达到最大的值

称为的最大后验估

计；后验分布的中位数

称为的后验中位数估计；后验分布的期望值



称为的后验期望估计，这三个估计都称为的贝叶斯估计，记为

。可根

据实际情况选用其中的一估计。

（2）贝叶斯估计的误差

设

是的一个贝叶斯估计，评定Bayes估计

的精确常用后验均方差

(或其平方根），具体定义如下：

定义3.3设参数的后验分布为|x，贝叶斯估计为

，则2ˆ



的后验期望

2

ˆˆ

MSExE





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称为



的后验均方差，而其平方根1

2ˆ

[|]MSEx称为



的后验标准差。当



为的后验期望

(|)

Ex

时，则

2

ˆˆ

ExE

MSExEVarx





称为后验方差，其平方根

2[|]Varx称为后验标准差。而且

2

ˆˆ

MSExE



=2

ˆˆˆˆ

xEEE

EVarx











可见，当

ˆˆ



时，后验均方差达到最小。本文就在后验均方差达到最

小的准则下，取后验均值作为参数的贝叶斯估计值。

2、区间估计

定义3.4设参数的后验分布为|x，对于给定的样本



,,,

XXXX和01，若存在统计量ˆˆ

x和ˆˆ

x

满足:

ˆˆ

px

则称区间ˆˆ

为参数置信水平为1的贝叶斯双侧区间估计。满足：

ˆ

px

的

称为的置信水平为1的（单侧)置信下限。而满足：

ˆ

px

的

称为的置信水平为1的（单侧）置信上限。

对于区间估计，经典统计与贝叶斯统计存在本质的区别。在经典统计

中，把参数看成是一个常数，在寻求置信区间时要构造一个分布不含未

知参数的枢轴量，这一点比较困难，而且在解释置信水平和置信区间时也

产生困难。而在贝叶斯统计中，把参数看成是一随机变量，在寻求置信

区间时直接从后验分布推导即可，而且很自然的可把置信水平为1的置

信区间ˆˆ

解释为参数落入这一区间的概率为1。因此，在区间估计

问题上，贝叶斯方法具有处理简单和含义清晰的优点。

四、可靠性统计分析

（一）可靠性

可靠性是衡量产品在规定的条件和规定的时间内完成规定功能的能

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力。可靠性技术从开始应用于航天、航空、电子、核能工业中，发展到机

械、电气、冶金、仪器仪表等民用工业部门，可靠性理论和方法经过四十

多年的建立和发展的历程，今天已成为一门重要的新兴学科。可靠性学科

主要包括可靠性数学、可靠性物理和可靠性工程。可靠性数学为可靠性理

论的基础。在概率论和数理统计基础上建立起来的可靠性概率模型和统计

模型方法是可靠性研究的两个主要数学方法。可靠性数学中概率分布模型

的原理是从系统的结构及部件的寿命分布、修理时间分布等有关的信息出

发，对不同结构的系统、设备、零件、材料等可靠性研究对象建立概率模

型，并藉以推断出与寿命分布有关的可靠性定量指标，由此进一步讨论系

统等的最优设计，使用维修策略等。可靠性数学中数理统计模型及方法，

即从观测数据出发，通过分析、整理寿命试验数据，确定各部件或系统适

合分布的类型，进行分布参数估计，并检验寿命分布的确定性。各种概率

模型与统计模型的建立，均可采用解析方法及MonteCarlo模拟两种手段，

且运用经典、贝叶斯等不同学派的不同观点及方法来实现。可靠性物理就

是以研究失效机理为核心，通过建立物理模型和概率模型，将材料元器件

失效的微观本质与宏观的统计规律相结合的新的可靠性研究方法。可靠性

工程主要包括可靠性设计技术，可靠性评定技术，可靠性试验方法和可靠

性管理。可靠性评定是根据产品的可靠性结构（即系统与部件之间和可靠

性关系如串联、并联系复杂关系等）,寿命及维修模型，试验信息等，利用

概率统计方法，给出产品可靠性特征量的区间估计、点估计及优化结果。

（二）贝叶斯在可靠性的应用现状

贝叶斯可靠性分析就是将贝叶斯统计方法应用于可靠性问题中，所考

虑的参数认为是随机变量，其先验分布表达了对参数的先前的信念程度。

贝叶斯统计方法在可靠性中的应用，一直受到广泛关注。早在60年代，

就已有人将贝叶斯方法用于可靠性统计分析，到了80年代已有这方面的专

著，系统而详尽地总结可这一方向的工作。Martz&Waller详尽回顾了1982

年以前贝叶斯在可靠性中的应用，他们认为，贝叶斯方法在可靠性中的应

用具有以下优点：

（1）如果验前信息准确，贝叶斯推断更准确；

（2）可以减少测试时间和样本量，即贝叶斯方法适用于小样本情况；

（3）在贝叶斯统计推断中，不能接受的推断是来自不准确的假设（即

不准确的验前信息），而不是有问题的方法论；

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（4）可靠性特征函数的贝叶斯概率区间比经典置信限易于求得和理

解。

贝叶斯方法在可靠性中的应用，一是应用于可靠性评定，二是应用于

可靠性试验。可靠性评定是根据产品的可靠性结构（即系统与单元间的可

靠性关系）、寿命模型及试验信息，利用概率统计方法，给出产品可靠性特

征量的点估计和区间估计，如可靠性上限、失效率上限等。可靠性试验的

目的是确认产品是否符合合同规定的可靠性定量要求，发现产品可靠性薄

弱环节及提供产品的可靠性信息；是在产品研制生产阶段提高产品可靠性

的必要工作项目。可靠性试验从统计的观点看，可以分为两类：成败型与

连续型。成败型的试验就是每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。

例如卫星发射试验，只有成功与失败这两个可能的结果，有如打靶只有打

中与打不中这两个结果。连续型往往是与寿命试验相联系，试验的结果是

样品的失效时刻，即样品使用可多长时间发生失效，因此观测到的是n个

样品中第i个失效的时刻

t，显然一定有关系式：

,tttn



成

败型试验往往与二项分布有关，连续型试验往往与威布尔分布、对数正态

分布、极值分布有关。

在可靠性分析中，常用的寿命模型有二项分布、指数分布、Weibull

分布、Poisson分布、对数正态分布等。

可靠性统计分析提出了不少统计学中的新问题，它的主要特点是两个;

一是数据少，因为试验费用达，能得到的数据很少，样本量小到可以只有

一、二次试验的结果；二是数据不完全，因为可靠性试验往往与使用的时

间长短有关，不可能长期进行试验而不结束，这就使得数据分析比较困难。

并且可靠性统计分析的对象大都是比较精密、昂贵的设备，能做的试验少，

数据来之不易。但是贝叶斯方法正好可以利用经验的知识减少试验的量，

这就使得可靠性统计分析中越来越多的人对贝叶斯方法产生了兴趣。

（三）常用分布

1、二项分布

成败型试验最常用到的是二项分布，如果我们进行了n次独立试验，

每次试验结果只有成功与失败这两种可能的结果，成功的概率不随试验次

数改变，是一个参数，于是n次试验中恰好成功次的概率就是二项分布，

即1,0,1,,nk

pkkn

假定用共轭分布,ab作为的先验分布，则的后验分布为

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,aknkb，其中k是n次试验中成功的次数。可靠性统计分析不是

只求一个点估计，而更为重要的是求出相应的置信限或下置信限。由于



分

布与F分布有密切的联系，我们可以由F分布表给出相应的置信限，这里

需要如下一个定理。

定理4.1设~,,2,2~2,2

ababFFab











均为自然数，则。

由于k,n均为自然数，因此只要共轭分布中的a与b选成自然数，上

述定理的条件自然满足，这样就可以用F分布给出的置信限。选定



knk作为先验分布，则参数的后验密度是

00

kknnkk，即00

|~,

kkknnkk

,k当时



0

000

~2,2

Fkknnkk









n+n



10200

2,2,nkknnnkk记就有

2

1212

,,|1

pFnnFnnk

n



















12112

2121

21,21

FnnnFnn

nFnnn























即p

就得到的置信下限



及置信上限分别是



1122112

nFnnnnFnn























，，

容易看出，如果要求单侧的置信下限

或置信上限*，只需在与的表

示式中将



换成就可以了。

例：设对一批产品进行抽样检查，抽了5件，3件合格，2件不合格，

即有n=5，k=3。又从这批产品生产的工厂中，了解到近期检查过10件，有

9件合格，1件不合格，即可以认为

n=10，

k=9，于是“不合格品率”，

-13-

相应的后验分布为

kknnkk=12,3。选0.10后，要求

出的上、下置信限



与



，就必须查F表，此时相应的



221224nkk，

200

2236nnnkk因此要查



0.100.90

0.050.95

24,3,24,6

24,6,24,6

这四个值，才能算出双侧的和单侧的置信限。然而通常的F表上，只能查

到

0.90

24,6F，

0.95

24,6F，另外两个查不到。一般的用1/2.82和1/3.84

分别代另外两个值，然后进行计算。于是分别算出四个值如下：

的双侧置信限



24/6240.5102

3.843.84









243.846243.840.9389

的单侧置信限



24/6240.5301

2.822.82









*242.82/6242.820.9185

这样我们就给出了一个完整的例子。

2、指数分布

现在考虑指数分布的可靠性统计分析。指数分布的分布函数是

1tFte，当指定时间为T，则在T以后才失效的概率是pT，当

~()Ft时，pTte，它就是在指定时间内完成任务的可靠度，这

是一个重要的参数。设对n个样品进行了试验，测得前个失效的时刻是

,tttn



，问如何进行估计？

首先要求出

,tttn



这个次序统计量的联合密度。它们的

联合密度与截尾的方式有关，对于定数截尾试验，

,tttn



的联

-14-

合密度是





Ftft













，其中f(t)是F(t)相应的分布密度。

将1tFte及tfte，t>0代入上式，得似然函数为



1

|,,

ltte









，

0,0t

现在选用几个不同的先验分布，看看所得的结论有多大的差别。

（1）杰弗莱准则

今似然函数的对数是



ln|,,,lnltttct





其中c是一个常数。因此



ln|,,,

ltttt

lttt























于是信息量

ln|,,,IElttt















。这样先验密度



,0



，相应的后验密度是



|,,,,0t

httte











它正好是,t。由此可得点估计

|,,,Ettt







（2）共轭分布

从似然函数就可以知道，的相应的共轭先验分布是,db，选定d与

b后，对

,,,ttt



的后验密度是

11

|,,,bt

dbtdhttteee









此时点估计是

|,,,

Ettt











，d与b的统计意义是十分明显

的，它相对于过去做了试验，b相对于总的有效时间，a是失效数，把这组

数据与现在的结果,t合并，总的失效数是a，总的使用时间是bt，

-15-

于是平均失效率是





，它的倒数





是平均故障时间。

现在来讨论如何估计可靠度tRte，它的对数lnRTT是的

线性函数，因此知道了的后验分布时，就可以求得lnRT或RT对应

的后验分布，从而给出RT的点估计或区间估计。

3、威布尔分布

（1）威布尔分布

威布尔分布是在1939年由瑞典人威布尔为了描述材料的疲劳程度而提

出的。在应用概率统计和可靠性分析中，威布尔分布是最广泛使用的模型，

许多类型的产品，在涉及寿命问题时都广泛提倡用威布尔分布。Kececioglu

给出了该模型的一系列实际应用，如电子管、继电管、电容器等的失效时

间，受疲劳应力的固体失效，汽车前悬横梁的失效等的寿命分布。在生物

医学上，威布尔分布也被广泛的应用。

两参数威布尔分布的分布函数是：

1exp





















(

0,,0tm

)

其中m为形状参数，为特征寿命。

相应的可靠度函数为：1exp

RtFt





















失效率函数为：



1mft

Rt









显然，当m

1时，rt递增，01m时，rt递减，而1m时，即为指

数情形。

（2）寿命试验数据的基本类型

在工程和生命医学许多研究中，由于种种条件的限制，象试验时间、

费用等，不可能获得完全样本。特别是随着科学技术的迅猛发展，产品的

可靠度得到很大的提高，不可能将试验做到所有的元件都失效。在此情况

下，我们只能采用截尾的方式得到一组不完全样本。截尾就是指被观测体

中只有一部分的寿命确切知道，而剩余部分的寿命只知其超过某一特定值。

-16-

基本类型如下：

1、定数截尾

n个独立同型产品从t=0开始进行寿命试验，试验在固定时刻

t终止，

若在规定的时间内有

个失效，则获得的寿命数据

12r

tttrn

2、定时截尾

n个独立同型产品从t=0开始进行寿命试验,试验在固定的时刻

t终止,

若在规定的时间内有

个失效，则获得的寿命数据

120r

ttttrn

3、随机截尾

设

,,,

TTT独立同分布，截尾时间

L是随机的，假定只能观测到

min,

iii

yTL

1,2,,in

其中

L为常数。上式表明若

T>L，则第i个产品在

L后失去观察。

五、基于Bayes统计的可靠性分析应用

（一）引言

可靠性统计分析的一大应用是评定系统的可靠性。当然最方便的办法

是拿整个系统进行试验，根据试验结果作出评定，这在实际上是难以办到

的。通常的方法是对元件进行试验，然后根据：(1)元件试验的结果；（2）

系统与元件之间的关系，然后对系统可靠性作出评定。本节只是简单扼要

的介绍一下这方面的内容。

我们只引入元件与系统这两个概念，不再分很多层次，如元件、部件、

子系统、系统等等，实际上每两个相继的层次均可视为元件、系统这样两

层结构，所以只需讨论清楚这一类的问题。

系统是由元件组成的，但其结构往往很不相同，最重要的是这里所谈

的结构是指从可靠性的联系来讨论它的结构。由于可靠性技术与电子工业

的发展有密却的联系，因此很多术语都是从电子工业来的，但不能狭隘的

理解为就是电子工业的术语。

（二）一种系统可靠性模型

-17-

若一系统由n个元件组成，其中一个失效就导致系统失效，并且n个

元件是独立工作的，这样的系统就称为n个独立元件组成的串联系统。如

系统可靠度R(t)表示t时刻以前系统有效的概率，

Rt表示第i个元件t

时刻以前有效的概率，则有关系式



RtRt



（5.1）

若一系统由n个元件组成，其中一个有效就导致系统有效，并且n个元

件是独立工作的，这样的系统就称为n个独立元件组成的并联系统。用刚

才规定的符号，就有

RtRt



（5.2）

如果用Rt表示

1()Rt

，即系统的不可靠度，类似地()1()

RtRt，则

（5.2）可以改写成

()()

RtRt



（5.3）

比较（5.1）与（5.3）两式，马上就可以看到，串联系统中的可靠度若均

改为不可靠度，相应的关系式就是并联系统的关系式，因此以下只需讨论n

个独立元件的串联系统。

如果从元件的试验结果已经估计出各个元件的可靠度是

()

Rt，于是系

统的可靠度

()Rt

的估计值由

ˆˆ

()()

RtRt



获得。然而元件可靠度往往是由

参数估计值利用关系式算得的，此时我们可以直接从参数的估计值算出系

统相应参数的估计值，然后再得出可靠度。以指数分布为例：

第i个元件的可靠度()i

Rte，其中

是第i个元件相应的实效率参

数，由（5.1）得系统可靠度（注意到独立性）

()()

RtRteee























其中





。这表明系统可靠度还是指数分布，其相应的参数





，

因此用

的估计值

，就可以算得的估计值

，由

可以求得可靠度te。

这样没有使用贝叶斯方法，现在来看如何使用贝叶斯方法。

假定每个元件都用共轭先验分布,,1,2,,,

ain第i个元件的试

-18-

验结果为失效次数

x，失效后立即修复，总的试验时间为

T，于是

,1,2,,ii











于是













（5.4）

我们看一个数字的例子。设有四个元件，在试验过程中有三个阶段报告，

其结果如表5.1

试验报告表

表5.1

报告顺序123

元件号

失效数

x试验时间

21101201100

如果先验分布中各元件的参数已知为表5.2，

元件参数表

表5.2

元件号1234

0.021.260.0099（0.01）

那么用(5.4)可以根据各次试验的结果逐步调整。如果不使用报告的资料，

此时

0.021.2

ˆˆ

0.0004,0.0067

50180

，

60.0099

ˆˆ

0.006,0.00011

100090



因此（考虑1单位时间的可靠度(1)R）

-19-



0.01321

0.01787

0.00040.00670.00600.000110.01321

ˆˆ

10.9869

0.0201.21600.010

0.01787

5159020

ˆˆ

10.9823

RRe





















根据第一阶段报告调整估计用5.

以调整后的信息作为先验信息，于是可以根据第二阶段报告再调整，根据

第三阶段的报告再调整，这样获得最终的估计值，这里不再计算。

现将这三个报告分头同时处理，根据同一个先验分布各自用（5.4）调

整，所得结果如表5.3

试验结果表

表5.3

报告号123



0.017870.017920.1396

0.98230.98220.9861

将这三个结果与逐次调整后的结果再加以比较，就可以对可靠性的变

动情况有一具体的印象。随着逐次的调整可以看到，最后的估计值可靠度

是最大的。这说明调整后的最终值比较可信。

（三）一种可靠性增长模型的Bayes估计

1、引言

假定X和Y为两个随机变量，分别有累计分布函数F(x)和F(y)。如果

设X为系统的强度，Y为负荷，则可靠性为R=P(X

火箭燃烧室的压力，Y为燃烧室可承受的压力，这时只有X

才不会爆炸;这时R为其正常工作的概率。我们称仅有一个元件的系统为简

单系统，否则成为复杂系统。如果有P个元件的系统运行的充要条件是至

少有k个元件正常，则该系统称为k/p系统(koutofpsystem)。特别地，

在k=p时称为串联系统，k=1时为并联系统。

在可靠性增长模型中，一般要进行若干阶段试验，且在每一阶段试验

得到改进后，再进行下一阶段试验，在成败型试验中，对于那些成功率很

-20-

高而试验费用昂贵的产品，试验次数不可能很多，因此，经过多次试验改

进后，失效的试验数据可能是0或1。我们关心的是产品最后试验阶段的可

靠性（或成功率）。但只用最后阶段的试验数据对产品的可靠性进行估计，

显然是不恰当的，这里提到把最后试验阶段以前的试验数据作为先验数据

再结合最后阶段的试验数据，采用多次Bayes估计法做统计分析。

2、可靠性增长模型的Bayes估计

（1）传统的Bayes方法

假设每以阶段都抽出n件产品做试验，其失效率分别记为

12m

k,k,,k,

和k。每一阶段的失效率（失败率)分别为

12m

p,p,,p,p（k,p最后阶段的

失效数和失效率）。传统的Bayes方法是用共轭分布a,b作为

p的先验分

布，逐阶段进行估计。

设

p~a,b，则后验分布密度为



1

11111

|,1~,

nbkhpkpaknbk

Baknbk





再把

|hpk作为

p的先验分布，同样得到



221212

|~,2hpkakknbkk，依次进行下去，得到

112

|~,1

hpkakkkmnbkkkk在平方损失

下，p的Bayes估计ˆ

为：



1ˆ

akkk

pEhpk

mnab











从式中可以看出，每一阶段的失效数据

k在ˆ

p中起的作用是同等的实际上，

越是最初阶段，其重要性越低，而最后阶段的试验数据最重要。传统的方

法没有体现这种情况。特别是在失效数据很少的情况下，更显得不足。所

以，这里提出的一种方法是在最后阶段用Bayes方法进行处理，我们用其

余阶段的数据作为先验数据来确定p的先验分布。

（2）p的Bayes估计

设p在2

112

0,,1

pFss

sp























内变化，用Bayes方法假

定，即

-21-





1Bayesp































其他

在最后阶段件产品中有件失效，其联合分布概率函数为

n,p

与先验分布（）式结合，根据公式，得到的后验分布为















,pBayes

k=0

|0,,0

1[11]

2[11]

|1,,0

111

2221

Lnp

Lnpdp

pLnpdp

pEhpk

Lnpdp

hpnp

nnpp

hpnp

nnn











































k=0

k=1

hp|k,n

在平方损失下的估计为

当时

故p

当=时







21111

,(,)(,)

(,)

nnnnn

LnLnpdppLnpdp

Lnpdp











































式（）对求导，得：

所以，式（2），（3）关于递增。这说明越小，失效率的估计就越

小。通常的Bayes法假设，取

ˆˆ

n2n2



k=0k=1

=，得pp。

但由于产品的失效率很低，故p的先验取值范围不可能接近于1，而应比1

小得多，p的先验取值范围可能用最后阶段以前的试验数据来确定。

（3）的选取

-22-

为了选取适当的我们来利用先验数据

12m

k,k,,k。取共轭分布

a,b作为先验分布，逐阶段采用Bayes方法，可得



12m11

|k,k,,k~...,...

mmm

hpakkmnbkk

其中：

,1abab可取

。

我们又设1

mnbk



















，由于

mnbk



，



都是正整

数，所以得：

~2,2

FFakmnbk



















令

2,2

SakSmnbk











，

就有：

2

FSS

Sp

给定置信度1，



1[11]

2[11]







k=0

2

112

pFSS

Sp















，可得

p的置信上限

p为



1112

2112

SFSS

SSFSS











（4）

由（4）式表明，在最后阶段试验前，失效率

p落入（0，

p）的概率是1。

所以把（0，

p）作为p的先验取值范围，即取

p。这样，就得到最后

阶段产品的失效率p的估计为



1[11]

2[11]







k=0

-23-

而





22211

21111

mmm

npnnpp

nnpnp















k=1

（四）威布尔分布的可靠性验证试验

1、引言

在生产商和使用方签定订购合同时，都有对产品的可靠性指标的要求，

譬如在一定的置信水平下，产品的可靠度要符合一定的要求，同时双方要

协商一种验证试验方案。如果该试验通过双方可断言该产品的可靠性指标

符合合同中的规定，为减少试验时问和费用，常采用无失效试验，即已知

产品的可靠寿命分布，假如要求产品的某个可靠性指标达到某种要求，那

么产品无失效的试验时间应多长?这属于可靠性验证问题。

可靠性验证试验综合考虑生产商和用户的利益，以及试验费用等诸多

因素，在可靠性工程中具有重大的实际应用价值。MartzandWaller以失

效率作为考核指标，用Bayes方法讨论了指数寿命型的可靠性验证问题。

何基报和茹诗松以平均寿命作为考核指标，讨论了对数正态寿命型的可靠

性验证问题。本文将利用Bayes方法，以可靠度作为考核指标，讨论威布

尔寿命型的可靠性验证试验问题。

问题的提出：

设某种产品的寿命服从威布尔分布,Wm，其分布函数为

1exp





















(

0,,0tm

)

随机的从中抽取n个产品进行定时截尾试验，截尾时间为t，失效数为r。

对于给定的

,R，可靠性验证问题指标为



|01pRtRr（5.5）

其中"0"r表示无产品失效，1表示置信水平，

R为可靠性验证指标。

问题是如何确定无失效试验时间？即确定截尾时间t使得（5.5）式成立。

（5.5）式只是从使用方的角度考虑的，本文同时兼顾到生产方的利益，分

以下两种情况设计可靠性验证试验方案。

-24-

1、

已知，



未知；

2、

，



均未知。

2、

已知，



未知时的可靠性验证试验

设产品的寿命

服从威布尔分布,Wm

，其中m已知，



未知，则可

靠度函数为：

exp





















（5.6）

若令m，则（5.5）式等价于

expmRtt

（5.7）

（1）的后验分布

取的共轭先验分布,Gaab，其中

01,0ab

，其值可由专家给出。

即：1abe（5.8）

n个产品进行定时截尾试验，截尾时间为t，则失效数服从二项分布。

在无失效的情况下，的似然函数为：

0|expLT(5.9)

其中mTnt。

由（5.8）和（5.9）两式，根据贝叶斯公式，的后验密度为

|00|L

1abTee

1

ae



,GaabT



1











（5.10）

定理5.1证明形如（5.10）式的的后验密度是的减函数。

-25-

证明（5.10）两端对求导得：





21

bTbT

aebTe

























21

eabT















显然，当

01,0ab

时，

|0











，所以，命题成立。

（2）截尾时间t的确定

因可靠度函数expmRtt

是的单调递减函数，故可靠性验证问

题（5.5）式可变为

|01











根据的后验密度（5.10）式得：

















（mTnt）（5.11）

可见，（5.11）式是关于t的方程。对于给定的

,R，即可求得t值.

从上面的验证试验中可看出水平只考虑了使用方的利益，从生产方

的角度考虑，则希望在t时间内n个产品在无失效场合下的无条件概率

0pr越大越好。若此概率过小，也就是说在受试时间内发生无失效的

概率很小，生产方是难以接受的，这时生产方和使用方可进行协商，适

当的调整，再从(5.11)式求出t值，计算0pr，直到求出的t值

同时满足使用方和生产方的要求为止，即求出的t值使得

|0pRRr的

值达到使用方可接受的范围，同时使得无条件概率0pr的值达到生产

方可接受的范围，这时t值就是试验中的截尾时间。

当m已知，未知时的无条件概率







abT























=

bTbnt











（5.12）

-26-

综上所述，通过(5.11)和(5.12)两式，综合考虑生产方和使用方的利

益，适当的调整



直到双方都可接受为止,这时求得的值就是该验证试验中

的截尾时间。直观上要增大无条件概率0pr必须适当的缩短截尾时间

t,实际上这一点从(5.12)式很容易看出，分析(5.11)式要使t减小，



值

须减小。

（3）可靠性验证试验方案的具体步骤

1、先确定m的后验分布密度；

2、对于给定的

,R，用(5.11)式解出t值；

3、把第二步中解出的值带入(5.12)中，计算无失效概率0pr，若

此概率过小达不到生产方可接受的范围，则在使用方允许的范围内适当的

调整，再重复步骤2直到解出的值使得0pr的值达到生产方的可接

受的范围为止；

4、由步骤3确定的t值就是该验证试验中的截尾时间。

于是，若产品的寿命T服从威布尔分布,Wm,其中m已知，未知，

可靠性验证试验可以如下进行：随机的抽取n月个产品同时独立地进行寿

命试验.截尾是为t，(由步骤3确定的)，如果在此规定的时间内无一失效，

则可断言(5.5)式成立。

3、m，均未知时的可靠性验证试验

设产品的寿命T服从威布尔分布,Wm，其中m，均未知，则可靠

度函数为：

exp





















（5.13）

若令m，则（5.9）式变为

expmRtt

（1）,m

的联合后验分布

取形状参数m的无信息先验分布为均匀分布





12

mmm

-27-

其中

,mm的值可根据工程经验或专家确定。

在给定

的前提下，取的共轭先验分布,Gaab







其中

,ab

的值可根据前面的方法确定。

,m

的联合后验分布密度为

,|mmm



mma





0,

mmm（5.14）

n个产品独立地进行定时截尾试验，截尾时间为t，在无失效的情况下，

相应的似然函数为

0|,expmLmnt

（5.15）

由（5.14）和（5.15）两式，根据贝叶斯公式得

,m

的联合后验分布

密度为





,0|,

,|0

,0|,

mLm

mLmddm













abnt

mma

eeddm

mma























2

bnt

eddm





















2

bnt

bntdm













0,

mmm（5.16）

（2）截尾时间t的确定

因可靠度expmRtt，故由（5.16）式得,Rm的联合分布密度

为

-28-



1lnln

exp

,|0lnln

bnt

RmtRt

bntdm

























2

lnln

lnexp

tbnt

bntdm



















R的边缘密度为：



lnln

lnexp

tbntdm

bntdm





















（5.17）

对于给定的，由可靠性验证问题（5.17）式得，通过以下方程得t值。



|01

RdR（5.18）

如同前面（5.12）式下面的文字说明，再从生产方的利益考虑，适当

的调整，直到双方都可接受为止，这时求得的t值就是该验证试验方案的

截尾时间。当m，均未知时的无条件概率







,0|,

,|0

mLm









2

abnt

bnt

mma

bntdm























2

bntdm









（3）验证试验的具体步骤

(1)确定,m的联合后验分布密度；

-29-

(2)根据（5.18）式求解关于t的方程；

(3)计算无一失效发生的无条件概率0pr。若此概率极小，达不到

生产方接受的要求，则在使用方允许的范围内可以适当地调整



，在重复

步骤2，直到t使得概率值0pr达到生产方可接受的要求为止；

(4)由步骤3确定的t值就是该验证试验方案的截尾时间。

于是，若产品的寿命服从威布尔分布,Wm，其中m，



均未知，可

靠性验证试验可以如下进行:随机地抽取n个产品，同时独立地进行寿命试

验截尾时间为t(由步骤3确定)，如果在此规定的时间内无一失效，则可断

言(5.5)式成立。

六、结束语

本篇论文主要是关于贝叶斯统计及其在可靠性中的应用性研究。

本文从贝叶斯统计与经典统计的区别入手，简要介绍了贝叶斯统计的

观点、贝叶斯公式、以及先验分布、点估计和区间估计等。这些基本原理

为下面介绍贝叶斯统计在可靠性中的应用打下基础。贝叶斯可靠性分析就

是将贝叶斯统计方法应用于可靠性问题中，所考虑的参数认为是随机变量，

其先验分布表达了对参数的先前的信念程度。本文列举了贝叶斯可靠性分

析中常见的几个分布：二项分布、指数分布、威布尔分布。并分别从这三

个分布出发，以先验信息为基础，对不同结构的系统、设备、零件、材料

等可靠性研究对象建立概率模型，并藉以推断出与寿命分布有关的可靠性

定量指标，由此进一步讨论系统等的最优设计，使用维修策略等。在这个

过程中，先验信息起了重要的作用。选取适当的先验分布也是试验成功的

关键。

-30-

参考文献

[1]茹诗松.贝叶斯统计[M].中国统计出版社.

[2]张尧庭，陈汉峰.贝叶斯统计推断[M].科学出版社.

[3]SamuelKotz,吴喜之.现代贝叶斯统计学[M].中国统计出版社.2000

[4]周源泉.可靠性评定[M].科学出版社.1982

[5]陈希孺.数理统计分析引论[M]

[6]陈希孺.非参数统计教程[M].上海华东师大出版社.

[7]何迎晖,阂华玲.数理统计[M].高等教育出版社.

[8]俞钟祺，马秀兰。失效率的贝叶斯估计[J].天津工业大学学报。2001

[9]Martz,ler,anReliabilityAnalysis[J],John

Wiley,1982

[10]

York.1985

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