矩阵合同和相似
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2023年3月16日发(作者：党课培训)。
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矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与
B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：
AB
.
{
PQ
AB
同型，且人r(A)=r(B)
存在可逆矩阵和，使得PAQ=B成立
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：
两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：
1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得ABPTAPB
成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则AB二
次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似
1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得1BPAP成立，
则称矩阵A,B相似，记为~AB。
2、矩阵相似的性质：
。
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~AB
11~,~,~(,)
|E-A|||,
()(),
TTkkABABABAB
EBAB
trAtrBAB
前提，均可逆
即有相同的特征值（反之不成立）
r(A)=r(B)
即的逆相等
|A|=|B|
3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()ABEAEB
二、矩阵相等、合同、相似的关系
（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵
12
(,,,)
n
AL，
12
(,,,)
m
BL
1、若向量组（
12
,,,
m
L）是向量组（
12
,,,
n
L）的极大线性无关
组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱
者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，
虽然()()rArB但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（
12
,,,
n
L）（
12
,,,
m
L）则有矩阵A,B
同型且()()~,,rArBABABAB;r()()ArBAB。
3、若r()()ABArB两向量组秩相同，两向量组等价，即有
1212
(,,,)(,,,)
nn
ABLL
综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为
三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系
。
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①相似等价：~ABA,B同型且()()rArBAB
②合同等价：,ABAB;同型且()()rArBAB
③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以
Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当
~AB时，||||EAEB二次型()TfxXAX与()TgxXBX有相同的
标准型，即二者有相同的正负惯性指数ABAB;
即有~ABABAB;
Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即TPPE使得TPAPB即AB;则有
1~TBPAPPAPAB即有~ABAB;
Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则
~AB时有~ABABAB;
Ⅳ、~()()ABrArB、()()ABrArB;、()()ABrArB
下面讨论()()rArB时~,,ABABAB;成立的条件。
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知
存在正交矩阵P时，有1TPP，则
()()TrPAPrA记TBPAP则()()rArB
此时~ABABAB;
即P为正交矩阵时，由()()~,,rArBABABAB;
（三）
1、矩阵等价：①同型矩阵而言
②一般与初等变换有关
③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的
。
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本质是秩相等
2、矩阵相似：①针对方阵而言
②秩相等是必要条件
③本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
②秩相等是必需条件
③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同
由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变
量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩
阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由
相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，
需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵
可看作同意线性变换在不同基下的矩阵
。
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