弯曲强度

弯曲强度

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2023年3月16日发(作者：ipo上市流程图)

第六章弯曲应力和强度

1、纯弯曲时的正应力

横力弯曲时，0Q

dx

dM

。

，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。

根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设：

（1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只

是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。

（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。

（2）物理关系

根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力

不超过材料的比例极限

P

时，可由虎克定律得到横截面上坐标为

y

处各点的正应力为

y

E

E





该式表明，横截面上各点的正应力与点的坐标y成正比，由于截面上



E

为常数，说

明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴z上各点的正应力均为零，中

性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。

（3）静力关系

截面上的最大正应力为

z

I

My

max

max



如引入符号

max

y

I

Wz

z



则截面上最大弯曲正应力可以表达为

z

W

M



max



式中，

z

W称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为3长度。

矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为：

高为

h

，宽为

b

的矩形截面：

6

2

122

3

max

bh

h

bh

y

I

Wz

z



直径为

d

的圆截面：

32

2

643

3

max

d

d

d

y

I

Wz

z









至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。

若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如

T

形截面。这时，应把

1

y和

2

y分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。

最大拉应力为：

z

tI

My

1)(

最大压应力为：

z

eI

My

2)(

2、横力弯曲时的正应力

z

I

My



对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的

弯曲正应力。

3、弯曲正应力强度条件

梁在弯曲时，横截面上一部分点为拉应力，另一部分点为压应力。对于低碳钢等这一类塑性

材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应

力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面。因此，弯曲正应力的强度

条件为：





















max

max

z

W

M

对于铸铁等这一类脆性材料，则由于其抗拉和抗压的许用应力不同，工程上常将此种梁

的截面做成如T字形等对中性轴不对称的截面（6-6b），其最大拉应力和最大压应力的强度

条件分别为



t

z

t

tI

My





















max

max

)(

和

c

z

c

cI

My





















max

max

)(

式中，

t

y和

c

y分别表示梁上拉应力最大点和压应力最大点的

y

坐标。



t

和

c

分别为脆性材料的弯曲许用拉应力和许用压应力。

4、弯曲剪应力

横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪

应力。同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条

件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应

力。

1．矩形截面梁的弯曲剪应力

（1）截面上任意一点的剪应力都平行于剪力Q的方向。

（2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与

y

坐标有关。

剪应力；顶面上有与互等的剪应力



。在左、右侧面上的正应力

1

和

2

分别构

z

z

bI

QS





由剪应力互等定理



，可以推导出矩形截面上距中性轴为

y

处任意点的剪应力计算公式

为

z

z

bI

QS



式中Q——横截面上的剪力

z

I——横截面

A

对中性轴z的轴惯性矩

b

——横截面上所求剪应力点处截面的宽度（即矩形的宽度）



z

S——横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积A对中性轴的静矩

矩形截面剪应力计算公式的具体表达式为

















2

2

42

y

h

I

Q

z



bh

Q

2

3

max



说明矩形截面上的最大弯曲剪应力为其平均剪应力

5.1

倍。

2．工字形截面梁的弯曲剪应力

工字形截面可以看做由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。

仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式

z

z

bI

QS

。

可得腹板上弯曲剪应力的计算公式































222

428

y

hh

hH

B

bI

Q

z



0y时，在截面中性轴上

















88

22

max

h

bB

BH

bI

Q

z



2

h

y时，在腹板与翼缘的交界处















88

22

min

BhBH

bI

Q

z



3.弯曲剪应力强度条件





















max

*

max

z

z

bI

QS

式中，为材料的许用弯曲剪应力。

利用剪应力互等定理，可推导出开口薄壁杆件横截面上距自由边缘为处的剪应力计算公式

为

5、提高弯曲强度的措

（1）合理安排梁的支承及载荷

（2）梁的合理截面

（3）等强度梁

z

z

tI

QS

