三对角行列式

三对角行列式

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2023年3月16日发(作者：我的中国心吉他谱)

第一章行列式

一、单项选择题

1.行列式D非零的充分条件是(D)

(A)D的所有元素非零(B)D至少有n个元素非零

(C)D的任何两行元素不成比例

(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解

2．二阶行列式

12

21





k

k

≠0的充分必要条件是（C）

A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠3

3．已知2阶行列式

2

2

1

1

b

a

b

a

=m,

2

2

1

1

c

b

c

b

=n,则

22

2

11

1

ca

b

ca

b



=（B）

+n（m+n）

4.设行列式

111

10

3

4

222

,1

111

304

zyx

zyx

则行列式（A）

A.

3

2

D.

3

8

5．下列行列式等于零的是(D)

A.

100

123

123

B.

031

010

300

C．

100

003

010

D．

261

422

613

6．行列式

0111

1011

1101

1110









第二行第一列元素的代数余子式

21

A

=（B）

A．-2B．-1C．1D．2

8．如果方程组

















04

04

03

32

32

321

kxx

xx

xkxx

有非零解,则k=（B）

9．（考研题）行列式

00

00

00

00

ab

ab

cd

cd

=（B）

A.2adbcB.2adbcC.2222adbcD.2222bcad

二、填空题

1.四阶行列式中带负号且含有因子

12

a和

21

a的项为

44332112

aaaa。

2.行列式

111

234

4916

中（3，2）元素的代数余子式A

32

=___-2___.

3.设

7343

6902

1111

8751







D，则5A14+A24+A44=_______。

解答：5A

14

+A

24

+A

44

=150

1343

0902

1111

5751









4．已知行列式0

111

032

12





a

，则数a=____3______.

5．若a,b是实数，则当a=___且b=___时，有







101

0

0

ab

ba

0。

解答：

0)(

101

0

0

22









ba

ab

ba

ab

ba

a=0,b=0

6.设

1312

4321

322

)(









x

x

x

xf，则2x的系数为23。

7.五阶行列式

62003

57020

38100

23000

31000

___________。

解答：42

3

2

1

23

31

)1(

62003

57020

38100

23000

31000

32





8.（考研题）多项式

21

11

1

1

)(

321

321

321

321









xaaa

axaa

aaxa

aaa

xf的所有零

点为0

1

x，1

2

x，2

3

x。

9、（考研题）设

xdcb

dxcb

dcxb

dcbx

xf)(

，则方程0)(xf的根为x。

【分析】)(xf是关于x的四次多项式，故方程0)(xf应有四根，利

用行列式的性质知，当dcbx,,时，分别会出现两行相等的情况，所以

行列式为零，故dcbx,,是方程的三个根。

再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为

dcbx，所以当)(dcbx时，满足0)(xf，所以得方程的

第四根)(dcbx。

故方程的四个根分别是：)(,,,dcbdcb。

二、计算题

1、计算

00010

00200

02012000

20130000

00002014

D。

【分析】方法一：此行列式刚好只有

n

个非零元素

nnnnn

aaaa,,,,

112211

，故非零项只有一项：

nnnnn

taaaa

112211

)1(



，其中

2

)2)(1(



nn

t，

因此

(20141)(20142)

2(1)2014!2014!D





方法二：按行列展开的方法也行。

2、计算行列式

3214

2143

1432

4321

D。

分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将

各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加

法).

解这个行列式的特点是各列4个数的和为10，于是，各行加到第一

行，得



3214

2143

1432

10101010

3214

2143

1432

4321

D10

1111

2341

3412

4123

1111

0121

10

0121

0321









160

4000

0400

1210

1111

10









3．计算

n









222

2322

2222

2221

的值。

解：

2020

0120

0020

0021

222

2322

2222

2221







nn



















202

012

002





n







=)!2(2n

4、计算5阶行列式：

40003

08070

00900

06050

20001













aa

aa

a

aa

aa

D的值。

【分析】仿照上题的思路。

12

56

(9)

78

34

12

34

(9)

56

78

1256

(9)4(9)

3478

aa

aa

Da

aa

aa

aa

aa

a

aa

aa

aaaa

aa

aaaa



























5、计算行列式

1111

1111

13927

1248





的值。

分析经过仔细观察会发现，这个行列式是个4阶范德蒙行列式的转置，

所以利用范德蒙行列式的结论就可轻松算出行列式的值为240。

6、行列式

41000

34100

03410

00341

00034

=。

分析对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。

按第一列展开，有

344

12

5

34

410

341

034

34

4100

3410

0341

0003

)1(

4100

3410

0341

0034

4DDDD

故有53

12

3

23

2

3445

3)4316(3)(3)(3)(3DDDDDDDD

于是

36433333]3)3[(3)3(35432

1

543

2

54

3

5

45

DDDDD

7.求行列式

1111

1111

1111

1111









x

x

x

x

的值。

【分析】利用行列式的性质，将第2，3，4列加到第1列上得

4

00

0

0

000

00

00

1111

1111

1111

1111

1111

111

111

111

111

1111

1111

1111

1111

x

x

xx

xx

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

















































8、计算

n

阶行列式

abbbb

babbb

bbabb

bbbab

bbbba

D

n















。

【分析】行列式特点是各列（各行）元素之和都是bna)1(，故可

把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子bna)1(，然后各

行再减去第一行：

abbbb

babbb

bbabb

bbbab

bnabnabnabnabna

D

n











)1()1()1()1()1(



ba

ba

ba

ba

bna

abbbb

babbb

bbabb

bbbab

bna











0000

0000

0000

0000

11111

])1([

11111

])1([

























1)]()1([nbabna

9.计算行列式

n

n

a

a

a

D









111

111

111

2

1









，其中

0

21



n

aaa

【分析】方法一：利用行列式性质，将原行列式化为上三角行列式。

)

1

1(

00

00

11

1

1

0

0

111

1

21

2

1

11

1

21

1























n

i

i

n

n

n

i

i

n

na

aaa

a

a

a

aa

aa

aa

a

D

















方法二：利用加边的方法

11

122

1

1

12

1

2

11111111

0111100

0111100

011111000

1

1111

000

1

(1)

000

0000

n

nn

n

i

i

n

n

i

i

n

aa

Daa

aa

a

a

aaa

a

a

a





















10.计算行列式

4444

2222

1111

dcba

dcba

dcba

D的值。

【分析】利用范作范德蒙行列式

44444

33333

22222

1

11111

xdcba

xdcba

xdcba

xdcba

D，则行

列式D就是行列式

1

D元素3x的余子式

45

M，即

45

MD

又))()()()()()()()()((

1

abbcaccdbdaddxcxbxaxD

此式3x的系数是

))()()()()()((abbcaccdbdaddcba也为

1

D中

元素3x的代数余子式

45

A，因为

4545

AM

所以，

))()()()()()((

1111

4444

2222

abbcaccdbdaddcba

dcba

dcba

dcba

D。