分数与小数的互化
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2023年3月16日发(作者：教育学论文题目)浦信教育学科教师辅导讲义
学员姓名：宋书峰年级：六辅导科目：数学
授课次数：授课时间：10-25学科教师：吴国忠
课题分数与小数的互化；分数、小数的四则混合运算
教学目的1、分数与小数的互化，2、分数、小数的四则运算，3、分数的运用。
重难点
重点：分数、小数四则运算的顺序及分数的运用；难点：分数与销售的互化；分数、小数的四则运
算及分数的运用。
教学内容
第一课时：
问题：有两个月饼，小红和哥哥一人一个，可是两个月饼重量不一样，一个
5
6
千克，一个
7
8
千克，哥哥想让着小红，
吃个小的，但是不知道大小，你能用数学的方法告诉哥哥哪个重吗？
【认识新知识】
【知识精讲】
知识点1小数化成分数
1、以小数的位数多少分类：小数的位数有限的叫有限小数；小数的位数无限的叫无限小数，即
5
6
千克
7
8
千克
有限小数
分数与小数
的互化
小数化分数
分数化小数
无限循环小数
无限小数
有限小数
哪个大呢？
2、小数化成分数的方法：
小数可以直接写出分母是10,100,1000，…的分数，原来有几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小
数去掉小数点作分子，化成分数后，能约分的要约分。
【例1】把下列小数化成分数：,,
【例2】将下列小数分别化成最简分数：（1）；（2）；（3）.
[解析]：如果是纯小数，原来有几位小数，就在1后面添几个零作分母，原来的小数去掉小数点作分子；如小数点后有一位小数，则
分母是10，小数点后有两位小数，则分母是100，以此类推然后再把分数化成最简分数；如果是混小数，原来有几位小数，就在1后
面添几个零作分母，原来的小数部分作分子，原来的整数部分作带分数的整数部分。
【知识点2】分数化成小数
1、任何一个分数都可以通过分子除以分母化成小数或整数。当分母是10,100，1000，···的分数化成小数，可
以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。
2、什么样的分数能化成有限小数？
一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数，否则就不
能化成有限小数。
【例3】把下列分数化成分数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数：
7
4
，
2
1
5
，
13
24
，
8
3
35
.
【知识点3】循环小数
1、一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。
2、一个循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的第一个最小的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
3、什么样的分数能化成循环小数？
分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。
【说明】为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆
点，如···的循环节为“32”，写作，对于一个分数来说，它总可以化为有限小数或循环小数；反之，有限小数和循
环小数也总可以化为分数。
【例4】下列个数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？
小数
有限小数
无限小数
循环小数
无限不循环小数（即无理数）
（1）；（2）23···；（3）343334···.
【例5】将下列分数化成循环小数：
（1）
8
33
；（2）
5
12
；（3）
83
2
600
.
【例5】把
1
27
化成循环小数，并指出循环节
【知识点4】分数与小数的大小比较
比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。
【例7】比较下列各组中两个数的大小
（1）
37
1
80
与；（2）
13
0.6
6
20
•
与.
[点拨]本例中的分数都可以化为有限小数，因此可用小数大小来比较。
【应用与提高】
【例1】将下列分数化为小数
1
4
，
3
10
，
6
25
，
5
6
，
7
15
，
9
15
.
[点拨]从本例可以归纳总结出分数化有限小数的一般规律：对于一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，没有其他素因数，那
么这个分数可以化为有限分数；否则就不能化为有限分数，而是无限循环小数。
【例2】将下列数字按从大到小的顺序排列：
3
8
，
11
32
，.
【例3】比较大小：
（1）
3
7
和；（2）3.
21
••，
23
3
99
和.
【例4】在数轴上画出以下各数所对应的点：
,,.
【例5】师徒两人加工一批零件，师傅12分钟做了106个零件，徒弟15分钟做了130个零件，谁的工作效率高？
【解析】：先求出每人的工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间，然后比较工作效率的高低。
【探究与创新】
【例6】将0.
6
•化成分数。
【解析】先设x=0.
6
•，再把x扩大10倍，得10x=6.
6
•，然后把两者相减，把循环节去掉，得到9x=6，解得x。
【解决疑难问题】
1、将分数化成小数时应注意什么？
答：分数化成小数时，若不能化成有限小数，应按要求保留小数位数；若没有要求，一般要将分数化成无限循环小数。
2、在计算时一定要将数统一成固定形式吗？
答：在解决关于数的问题时，数的呈现形式要根据数字本身的特点以及问题的要求特点，自己选择，便于解决问题即可。
【方法规律总结】
1、一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不
能够化成有限小数。
2、有限小数化成分数：
如果是纯小数，原来有几位小数，就在1后面添几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能够约分的
就约分；
如果是混小数，原来有几位小数，就在1后面添几个0作为分母，原来的小数部分作分子，原来的整数部分作为
带分数的整数部分。
3、一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字重复不断出现，这个小数叫做循环小数。
4、一个循环小数中的小数部分依次不断重复出现的一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。···的循环节
是“3”，写作0.
3
•，3636··的循环节是“36”，写作0.
36
1
••
•。
第二课时：
小华体重60千克，由于生病体重减轻了
1
12
，后来经过一段时间的调养，体重又增加了
1
12
，
此时小华的体重已恢复到60千克了吗？如果不是，那么小华的体重是多少千克？
【认识新知识】
【知识精讲】
混合运算
运算顺序
运算定律
【知识点1】分数和小数的四则混合运算
分数和小数的四则混合运算顺序和正整数的四则混合运算顺序相同。整数的运算定律和运算性质都可以推广到分
数和小数，同样适用于分数和小数的四则混合运算。
（1）运算顺序
同级运算，从左到右依次进行运算；
不同级的运算，先乘、除，后加、减；
含括号的运算，先算小括号，再算中括号。
（2）运算定律（字母a、b、c表示整数、小数和分数）
交换律：
,abbaabba
；
结合律：,abcabcabcabc；
分配律：abcabac.
（3）运算性质
减法运算性质：,abcabcabcabc；
除法运算性质：,abcabcabcacb.
(4)在分数、小数的四则混合运算中，应注意以下几点：
①在进行运算之前，应考虑是把分数化为小数，还是把小数化为分数。如果分数能够化为有限小数的，那么化为小
数运算比较简单，如果分数不能化为有限小数的，那么只能化为分数运算。
②在计算之前，要考虑运算顺序，即先算什么，再算什么。
③计算时，要认真审题，看清运算符号和数的特点，灵活选择合理的计算方法，数学中的运算性质、运算律在这方
面有较大的作用。通常在分数的计算中，两个分数相加、减时，能“凑整”的可以先算。可用分配律使分母简化的则
用分配律计算。乘法中可用交换律的则先用交换律。总之，要根据题中具体数字来考虑如何使运算过程简便，要能运
用各种运算律来进行计算。
【例1】计算：（1）
4
0.5
5
；（2）
1
0.40.25
6
；（3）
34
129.38
77
.
[点拨]：分数、小数的加、减法混合运算的关键是根据题目中各数的特点，选择科学合理的方法进行计算。一般情况下，如果分数能化
成有限小数，可把分数化为有限小数后，再进行加、减法的运算较为方便。此外，还要注意观察数的特点，考虑使用运算定律简便运算，
如第（3）小题。
【例2】计算：
（1）
272
34
3153
；（2）
1111
71
31133
.
【例3】计算：
（1）
161
25
925
；（2）
0.320.250.125
；
（3）
61
0.125
77
；（4）÷14×21.
[点拨]:乘、除运算属同级运算，一般情况下应当依次计算，否则容易发生差错。如解本例（1），有的学生这样计算：
1611616
251
92599
。这时忽略了运算顺序而出现的差错，应当引以为戒。避免这类差错最好的办法是把乘、除混合运算转化为
连乘运算，这样做不但不容易出错，而且还能避免本例（4）解题过程中的矛盾：如果按顺序计算，在计算÷14时出现除不尽的情况。
如果把除以14转化成乘以
1
14
，再运用乘法结合律计算，那么就能得到准确的结果。
【例4】计算：
12511
23522
57755
【应用与提高】
【例1】计算：
11641
8.430.9
425153
.计算：
323
1.51.2
434
1
1
[点拨]：分数与小数的混合运算，可以把小数化成分数进行运算，也可以把分数化成小数进行运算。要根据具体情况来确定是化成小数
还是化成分数进行运算，关键是要使运算简便。
【例2】化肥厂第一季度生产化肥425吨，比第二季度产量少
4
6
5
吨，第三季度的产量是第二季度产量的
1
1
17
倍，
求第三季度生产化肥多少吨？
[答]：第三季度生产化肥
1
457
5
。
【例4】小刚两天看了一本书的30页，第一天看了比全书的
3
10
多8页，第二天看了10页，求这本书共有多少页。
[答]：全书共有40页。
【探究与创新】
【例3】计算：
（1）
5
7.82.83
7
；（2）
13
1922.625
98
；（3）
4
45.63.87.63
5
；（4）
31
5.24.625515.6
85
.
【解决疑难问题】
在分数、小数的混合运算中，怎样处理数字才能使计算更方便？
答：在分数、小数的混合运算中，加减法一般将分数化为小数计算较为方便，乘除法一般将小数化为分数较为方便。
此外，在混合运算中要科学合理、正确地使用运算定律，这样才能使运算简便、准确。
【方法规律总结】
1.掌握分数加减混合运算法则、规律：同时化为小数或者同时化为分数后再计算；如果分数不能够化成有限小数，
应同时化为分数。
2.带分数加减运算时，可以整数部分与分数部分分别计算，再合并到一起。
3.分数、小数乘除的混合运算法则即运算律：
（1）带分数化为假分数计算方便；（2）某数除以一个数等于乘以这个数的倒数；
（3）乘除混合运算顺序从左到右；（4）能够约分的先约分。
4.运算规律歌：
第三课时：分数运算的应用
2008年中国将举办北京奥运会，2004年中国政府提出了“节俭办奥运”的新理念，将建造国家体育馆的预算资金调
整为26亿元，比原预算节约资金
7
20
，问建造国家体育馆原来的预算资金为多少亿元？
【认识新知识】
【知识精讲】
【知识点1】一般数量关系
分数运算的应用
一般数量关系
两个量的倍数（或几分之几）关系）
综合应用
把握大方向，算准小地方；
运算顺序首先看，乘方乘除后加减；
同级运算左到右，乘除混合多留心；
能约先约计算快，乘法分配妙处多。
1、逆运算姑息
加法：加数+加数=和，和-加数=另一个加数；减法：被减数-减数=差，减数+差=被减数，被减数-差=减数；
乘法：因数×因数=积，积÷因数=另一个因数；除法：被除数÷除数=商，除数×商=被除数，被除数÷商=除数。
上述关系不必死记硬背，最基本的关系式是“加数+加数=和”，“因数×因数=积”，其他的可以通过列最简方程得到。
2、数量关系
路程问题：速度×时间=路程；买卖问题：单价×数量=总价。
【例1】一根桥桩全长12米，打入河底部分
4
2
5
米，露出水面部分比打入河底部分多米，水深多少米？
[点拨]画示意图是分析解答分数应用题的好帮手，理解题意后可以分步列式解应用题；在此基础上，逐步学会列综合式解答。这样做
可以逐步提高分析和综合的能力。
【知识点2】两个量的倍数（或几分之几）关系
1、求乙是甲的几倍（或几分之几）?乙数÷甲数=
a
b
.
2、求甲数的
b
a
是多少？甲数×
b
a
=乙数.
3、已知甲数的
b
a
是乙数，求甲数。乙数÷
b
a
=甲数.
上述关系式也不必死记硬背，最基本的是甲数×
b
a
=乙数，其他两个关系式都可以用逆运算关系或者通过列最简方程
得到。
【例2】六（1）班有男生24人，女生26人，问：
（1）男生人数是女生人数的几分之几？（2）女生人数是男生人数的几分之几？
水
面
河
底
B
C
D
A
？
4
2
5
米
【应用与提高】
【例1】一桶油，用去了
3
5
，还剩下30千克，求桶里原来有多少油？
【例3】小雨正在看一本关于世博会的画册，这边画册有240页，第一天看了全书的
1
8
，第二天看了全书的
1
12
，
还剩几分之几没有看完？两天一共看了多少页？
【例4】一件衣服原价500元，第一次降价
1
10
，第二次提价
1
9
，求现价。
【例5】今年小金的年龄是12岁，妈妈的年龄是36岁，多少年以后小金的年龄是妈妈的年龄的
1
2
？
【探究与创新】
【例6】某班级有学生人数48人，其中女生占
3
8
，现在女生增加若干人，这样女生就占全班的
2
5
，求增加女生的
人数。
【解析】方法一是算术方法：整个过程中，男生的人数始终没有发生变化，但是随着全班人数的变化，男生所对应的几分之几发生了改
变，原来是全班的
3
1-
8
，增加人数后，男生是全班人数的
2
1-
5
，所以可以用男生人数来求出增加后全班有多少人。男生人数：48×
3
1-
8
，再用求得的男生人数÷
2
1-
5
，就是增加后的全班人数了。
方法二是代数方法：先寻找等量关系，由于男生人数是个不变量，所以可以列出：
增加女生前的男生人数=增加女生后的男生人数。
【解决疑难问题】
如何才能正确解答有关分数的应用题？
答：解决关于分数的应用题要根据不同的条件，正确理解每一个数量的意义以及数量与数量之间的关系，弄清有单位的分数与无单位的
分数的实际含义，并用算式将数量之间的关系逐一表达清楚，问题便可得到解决。
【方法规律总结】
1、通过关键词语，找出总体1是哪一个量。
2、通过列方程可方便解决分数的应用题。
【创新探究——练习】
2008年，小明想去北京观看奥运会比赛，他作了一份预算：
（1）上海到北京的机票原价为1100元，假设能够买到六折机票，能剩下多少元？
（2）小明准备花费1500元住宿，占了所带钱的
3
16
，他共要带多少钱？
（3）在买不到打折机票情况下，他准备用剩下的钱的
2
5
购买比赛门票，他花费了多少钱观看比赛？他在观看比赛
上花的钱比在住宿上花的钱多了几分之几？