泛函数
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2023年3月16日发(作者：边际收益)泛函模型，隐藏在数学概念下的统⼀框架
定义
泛函是⼀种特殊的函数，输⼊⼀个函数，返还⼀个数值。泛函的作⽤确实很⼤，可以⽤来定义各种对象的特征量。
数学是定量的描述，所以这个量的定义就⾮常基本，量的运算可以视为代数的内容。⽽量的定义要更加奇妙，从具体的事物中提取出数学对象，从
数学对象中提取出量。
⼀个例⼦：⾯积
⽐⽅说图形的⾯积，就是数学对象的量，对象是图形，在⼆维情形下，可以是各种规则⼏何形，长⽅形，正⽅形，圆形，三⾓形，这些⼏何形可以
视为包含可变参数的函数，⽐如长⽅形就可以视为包含长和宽两个参数的函数，圆形就是包含半径⼀个参数的函数。
它们的⾯积是⼀个数，所以求他们⾯积的⽅法，就可以看作⼀个泛函，输⼊⼀个⼏何形的函数，得到⼀个数，就是⾯积。
通常，⾯积本⾝就被当做⼀个函数，关于⼏何形参数的函数，定义⼏何形的函数反⽽被省略了，泛函也被省略了，所以对⼏何形⾯积的计算就变得
很琐碎，对应⼀种形状就有⼀个公式，对于各种形状的⼏何形，需要记忆的公式⾮常多。
不过，学过微积分的⼈都应该知道如何计算任意形状图形的⾯积，只要对他们所占区域进⾏积分就可以了，区域本质上就可以视为⼏何形的定义函
数，⽽积分正好是⼀个泛函，这就是⼀个很好的泛函模型。统⼀了各种⼏何形的⾯积计算，或者说⾯积定义。
推⼴
从上⾯的例⼦，我们可以看出这个模型是⾮常有效的，对于任意的由参数定义的数学对象，我们都可以使⽤泛函模型来定义出特征量。
⽐如⽅阵的⾏列式，就是对⽅阵各元素乘积组合的加权求和，这就是⽅阵这个数学对象的特征量，输⼊⼀个⽅阵，获得⼀个数。
⽐如流形上的⼏何形的⾯积，就是对⼏何形定义区域的度规张量加权积分的结果。与平⾯相⽐较，也就多了⼀个度规张量反映了流形的⼏何性质，
扭转，拉伸，就⽐如⼀张弄皱的纸，它的⾯积还是不变的，但是形状却变得⾮常复杂，度规张量就体现了这种形状的复杂性。
还有很多很多的例⼦，只要涉及到了对离散量的加权求和，对连续量的加权积分，就可以使⽤泛函模型来解释。
更进⼀步
泛函模型还是有所限制的，是对特定函数指定⼀个数，我们都知道向量是数的推⼴，函数是向量的推⼴，所以我们当然可以对⼀个函数指定⼀个向
量，甚⾄⼀个函数。
同样让我们从泛函模型来理解这些新的运算，泛函模型是对⼀个函数指定⼀个数，向量是很多数放在⼀起，所以对⼀个函数指定⼀个向量就可以视
为很多个泛函组合在⼀起，构成了⼀个泛函向量(这个名称是我临时想的，不是通⽤的)。
⽐如，对于⼀个多元函数，求它在⼀点处的微分，获得的就是⼀个微分矩阵，矩阵就是⾼维的向量，每⼀个分量都是⼀个维度，所以，对多元函数
求⼀点处微分的运算就是⼀个泛函向量，输⼊⼀个函数，输出⼀个向量。
还可以再次推⼴
函数可以视为⽆穷维的向量，所以，我们可以进⼀步推⼴，对⼀个函数指定⼀个函数，可以视为⽆穷多个泛函组合在⼀起，构成⼀个泛函函数(这
个⼀般称为算⼦)。
⽐如，对函数的卷积运算，就是将⼀个函数转化为了另⼀个函数，类似的还有各种积分变换运算，如傅⾥叶变换，拉普拉斯变换，新的函数在每⼀
点处都可以视为对原函数的⼀个泛函作⽤。
总结
泛函模型是⼀种⾮常好的概念理解模型，可以将形形⾊⾊的运算纳⼊统⼀的框架下，数学对象定义为⼀个函数，⽽经各式各样的泛函的作⽤，变成
了数，随着泛函数⽬的增加，还可以变成向量，变成函数。分析中的⼏乎所有运算的含义都可以因此⽽变得清晰起来，不再是捉摸不透的⿊箱⼦。
这个想法来源于范畴论对数学结构的清晰描述，对卷积本质的思考，还有⼀本值得推荐的书《烧掉数学书，重新定义数学》，作者注意到了数学概
念下的泛函模型，并且尝试通过泛函模型，重建微积分。