求极值

求极值

消毒液配比-一元二次不等式的解法

2023年3月16日发(作者：点亮小灯泡)

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函数极值的几种求法

──针对高中生所学知识

摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸

到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，

以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作

为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的

地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的

求解方法。

关键词：函数；单调性；导数；图像；极值

Abstract:helearningoflinear

equationinsixgrade,secondlythepreliminaryintroductionoflinearfunctionsandquadratic

functionsinjuniorhighschool,thenthemonotonicity,theperiodicity,themostvalueandthe

extremevalueoffunction,finallythelearningofthelogarithmicfunction,exponentialfunctionand

reenoughtoshowtheimportantstatueofthefunction

portantpropertiesoffunction,extremevaluehasanindispensable

statuswhetherinthecalendaryeartest,ticlewillmainlyexpoundthemethods

ofsolvingtheextremevalueofseverfunctionsinmiddleschool.

Keywords:function;monotonicity;derivative;image;extremevalue

“函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼

茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨

又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长

度等与曲线上的点有关的变量1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著

名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：

“凡式中含天，为天之函数”。显然，在李善兰的这个定义中的函数就是：凡是

公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。这样，在中国“函数”是指公式里含

有变量的意思。从1775年欧拉对函数定义之后，又有法国数学家柯西、俄国数学

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家罗巴契夫斯基等数学家不断对函数定义进行改进和完善。最后德国数学家黎曼

引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而

不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数”。虽然函数的定义在

不断变化但它的本质属性都是一样的。变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，

那就是这个函数取值范围中的每一个值，有一个唯一确定的y值和它对应，不管这

个法则是公式、图象、表格或其他形式。

对中学生来说常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、

三角函数，及由这几类函数中两类或多类形成的复合函数。中学生一般不采用定

义法去求函数的极值，中学生常用的是图像法和求导法。本文首先简单介绍高中

数学常见的函数类型和常用的求函数极值的方法，继而通过具体实例阐述求极值

方法和函数类型如何匹配。

1预备知识

定义1.12函数的极值

设函数()fx在

0

x附近有定义，如果对

0

x附近的所有的点，都有

0

fxfx，

则

0

fx

是函数fx

的一个极大值。如果附近所有的点，都有

0

fxfx，则



0

fx

是函数fx

的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

定义1.2一次函数

在某一变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成bkxy(k为一次项

系数0k，b为常数)的形式，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，

y是因变量。

定义1.33二次函数

把形如

cbxaxy2（其中cba,,是常数，0a）的函数叫做二次函数，其中

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a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

定义1.44指数函数

把形如)10(yaaxa且的函数叫做指数函数，其中x是自变量。

定义1.54对数函数

把形如)10(logaayx

a

且的函数叫做对数函数，其中自变量是x。

2求极值方法在各种函数类型中的应用

函数是高中数学重要的内容,而函数的性质是高考命题的重点,又是高考命题

的热点之一,利用导数方法研究函数的单调性,确定单调区间,研究函数的极值问

题比传统的方法要简捷得多,因此在求极值时应把导数法作为主要研究方法5。除

了求导法另一种常见的方法就是图像法。图像法适合简单的可以画出图像的一些

函数，对于中学生来说遇到的函数80%都可以画出图像。函数图像画出后我们可以

根据图像所表示的纵坐标再结合极值的定义观察函数的极值。求导法是先求出所

求函数的导数，然后根据导数与零的大小关系判断函数的单调性，继而判断极值，

求导法对一些复杂的函数特别是复合函数非常的适用。下面我们通过具体实例阐

述方法和函数类型如何匹配。

2.1一次函数bkxy（bk,0为常数）

一次函数比较简单在整个定义域内是整体单调递增或整体单调递减。对形如

bkxy的一次函数的导数为ky'，由此可知一次函数的单调性主要和k值有关，

0k则函数单调递增，0k函数单调递减。

例2.1求函数52yx的极值

法一求导法

52yx这个函数的k值为2，显然02也就是说该函数单调递增，现在函数

的极值就和其定义域有关。当自变量x最大时函数有极大值，当自变量x最小是函

数有极小值，若自变量无最大值最小值则函数没有极值。

①我们假设该函数的定义域是40,3-，那么当3x时函数有极小值

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1-53-2

极小值

y,当40x时函数有极大值855402y

极大值

。

②假设该函数的定义域为，-则函数无极大值极小值。

③若函数的定义域位40-，函数无极小值，在40x时取得极大值

855402y

极大值

④若定义域为，3-函数无极大值，有极小值1-53-2

极小值

y。

法二图像法

一次函数bkxy的图像都是一条直线。函数52yx的图像如下：

图2-1

52yx图像

通过察我们发现函数值y随自变量x的值增大而增大，也就是说x最大时函数

有极大值，x最小时函数有极小值。

一次函数相对来说比较简单，我认为求极值最好的方法是看k值。当

0k

时

自变量x最大时函数有极大值，自变量x最小时函数有极小值。当0k时自变量x最

大时函数有极小值，自变量x最小时函数有极大值，若自变量x无最值则函数无极

值。在此还有一点要提醒的就是通常所说的正比例函数，反比例函数都属于一次

函数，故其极值的求法可用一次函数的方法。

2.2二次函数

cbxaxy2（其中cba,,是常数，0a）

二次函数较一次函数复杂的多，但其极值的求法和一次函数大同小异，最常

见的也是求导法和图像法。当用求导法来求极值时，需先求出导数然后判断导函

数在那个区间范围内大于（等于）零，在那个区间范围内小于（等于）零，当导

数大于等于零时原来的二次函数在该区间单调递增，当导数小于零时原来的二次

函数在该区间单调递减，知道了单调性再来求极值就轻而易举了。图像法就是画

出函数的图形，根据图形结合极值定义求出函数极值。下面我针对具体函数

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7-822xxy其定义域为]2,4-（这个二次函数来详细阐述这两种方法。

例2.2求函数7-822xxy]2,4-（x的极值

法一求导法

通过计算我们知道该函数的导数为84'xy我们令其导函数大于等于零即

084x解得2x也就是说函数7-822xxy在2,2-x上单调递增，当2x时y

有最小值，当x=2时y有最大值。同理我们可以知道函数7-822xxy在2-4-，（由

于在递增区间上已经取过-2，所以此处的-2不能再取，只能用圆括号）上单调递

减，因为-4和-2前为圆括号，也就是说自变量x不能等于-4和-2，所以函数在上

2-4-，无最小值也无最大值。综上所诉函数7-822xxy在]2,4-（上有最小值

15-7-2-82-22

最小值

y，最大值177-28222

最大值

y.因为该函数在]2,4-（上

连续所以其最小值等于其极小值，最大值等于其极大值。所以此函数在]2,4-（上有

极小值-15，极大值17。

法二图像法

二次函数的图像为一条抛物线函数7-822xxy]2,4-（x的图像如下图所示:

图2-27-822xxy]2,4-（x图像

通过观察可知，函数在点B取得极小值-15，在点A取得极大值17。

2.3指数函数)1a0(且aayx

此类函数比较简单，单调性在定义域内是整体的，无论是求导还是画图都很

容易发现函数的单调性与a值得大小有关。在1a时函数在整个定义域内单调递

增，和一次函数像似自变量x取最大值时函数有极大值，自变量x取最小值时函数

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有极小值。在

10a

时函数在整个定义域内单调递减，在自变量x取最大值时函数

有极小值，自变量x取最小值时函数有极大值。下面我们通过一个具体的函数来操

作一下。

例2.3求函数xy2

1

和x

y















2

1

2

(x取值范围是]3,2[)的极值

对

1

y这个函数来说其2a，1a，根据上面结论我们知道函数在整个定义域

内单调递增，当2x是函数

1

y有极小值

4

1

，当3x时函数

1

y有极大值8。对

2

y它

的

2

1

a，10a函数在整个定义域内单调递减当2x是函数

2

y有极大值4，当

3x时函数

2

y有极小值

8

1

。我们可以通过图像来观察下我们的结论是否正确如下图

2-3为xy2

1

的图像，图2-4是x

y















2

1

2

的图像：

图2-3xy2

1

图像

图2-4

x

y















2

1

2

图像

通过图像我们可以很明显的发现上述结论的正确性。

2.4对数函数00logaayx

a

且

对数函数和指数函数情况一样，函数的极值和a与1的大小有关。在1a时函

数在整个定义域内单调递增，自变量x取最大值时函数有极大值，自变量x取最小

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值时函数有极小值。在

10a

时函数函数在整个定义域内单调递减，在自变量x取

最大值时函数有极小值，自变量x取最小值时函数有极大值。在这里我们就不举例

子来阐述了。

2.5三角函数

三角函数的类型比较多但做法相似，在这里我仅详细阐述正弦函数xysin的

极值的求法。三角函数是周期函数，所以它的极值有多个。下面我们来看

xy3sin)4,2(x这个函数。

例2.4求函数xy3sin)0-，（x的极值

法一求导法

求函数xy3sin导数xy3cos3'令其大于等于0解得



kxk

3

2

663

2

，再结

合x的定义域我们知道当导函数大于0时x的取值范围是















6

3

-

6

5

-，，













0,

6

-



，也

就是xy3sin)0-，（x的递增区间是















6

3

-

6

5

-，，













0,

6

-



。再令导函数小于0同理函

数的递减区间为















6

5

--，，













6

-

6

3

-



，。为了简单明了的求出极值我们把得到的数

据填在表2.1里

表2.1

x取值















6

5

--，



6

5

-













6

3

-

6

5

-，

6

3

-











6

-

6

3

-



，

6















0,

6

-



单调性递减递增递减递增

极值极小值极大值极小值

由上表可知函数有两个极小值，一个极大值。

法二图像法

函数xy3sin)0-，（x的图像如图所示

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图2-5xy3sin)0-，（x图像

通过图像可以快速的观察出函数有两个极大值，有一个极小值。

通过比较我们不难发现第一种方法较复杂，第二种简单明了。但是画图过程

少不了第一种方法中的计算，所以我建议对于三角函数类问题的极值数形结合最

好。

2.6复合函数

最后我们来看一个复合函数

x

xf

xln

的极值

例2.56求函数

x

xf

xln

的极值

法一求导法

函数的定义域是,0，导函数

2

'

ln1

x

xf

x

当0)('xf时

ex0

函数单调

递增，当0)('xf时xe函数单调递减。所以函数在ex时取得极大值

e

1

法二图像法

图2-6

x

xf

xln

图像

显然函数

x

xf

xln

在M点处取得极大值

e

1

。

复合函数的图像如果不借助电脑软件，画起来非常的复杂，所以我个人意见

对复合函数求极值求导法最好。

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3求不同类型函数极值方法总结

结合上述例子我们发现对于一次函数和指数函数、对数函数来说求极值问题

可直接利用结论。一次函数看k值，指数函数和对数函数看a值。二次函数求导或

画图都比较简单。三角函数极值问题，数形结合较好。复合函数求导判断单调性

较好。

4求函数极值的实际应用价值

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，尽管具有极强的抽象性

逻辑性，却能在现实生活中找到数学原型，而数学知识能赋予这些数学原型更深

的内涵,在经济高速发展的今天，面对日趋复杂的经济现象，人们仅仅依靠经验来

认识它们已经远远不够了7。生活中一些以函数为背景的实际问题,可通过函数建

模转化为求函数的最值问题。

例4.18某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。

为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,市场决定采取适当的降价措施.经调查发

现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.问每件衬衫降价多少元

时,市场平均每天盈利最多?最多是多少?

解设每件衬衫应降价x元,根据题意得

)22040(xxy（）800602-2xx

)400(x

去掉括号后，我们发现它是一个二次函数，根据前面阐述的方法我们很容易求出

在15x时

y

有极大值1250，所以当15x时,商场盈利最多,最多盈利是1250元。

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5结束语

“函数”是高中数学中最基本、最重要的概念。函数所包含的内容十分广泛，

它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分，因此它又是进一步学习的重要

基础9。函数极值作为函数性质的一个重要分支和基本工具在数学与其他科学领域

都有广泛的应用。本文只针对高中所学知识，简单浅显的谈了几种基本函数常用

的求极值的方法，以及函数极值在实际生活中的应用。由此，我们可以更加了解

函数的极值及其应用。

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