函数极值
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2023年3月19日发(作者：爱茉莉旗下品牌)求函数最值的常用以下方法：
1．函数单调性法
先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函
数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．
例1设a>1，函数f(x)＝log
ax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为
1
2
，则a＝________.
【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值．
【解析】∵a>1，∴函数f(x)＝log
ax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为
log
a
2a，log
aa＝1.∴log
a
2＝
1
2
，a＝4.故填4.
【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就
容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m，n]上的最值：若函数f(x)在[m，n]上
单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数
f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．
2．换元法
换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数
学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活
选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代
换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
例2(1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．
【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)，
∴x＝1－t2，
∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t
＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，
∴当t＝1即x＝0时，ymax＝2.
方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－
1
1－x
，
由f′(x)＝0得x＝0.
0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．
x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.
(2)求函数y＝x＋4－x2的值域．
【解析】换元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则y＝2cosθ＋4－4cos2θ＝
2cosθ＋2sinθ＝22sin(θ＋
π
4
)，∵θ＋
π
4
∈[
π
4
，
5π
4
]
∴sin(θ＋
π
4
)∈[－
2
2
，1]，∴y∈[－2,22]．
3.配方法
配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
例3已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．
【思路】将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量ex＋e－x的二次函数．
【解析】y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2
＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．
∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，
∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；
当a<0时，ymin＝f(a)＝a2－2.
【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位
置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情
况分类解决．
4．不等式法
利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使
用的基本不等式有以下几种：
a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；
a＋b
2
≥ab(a≥0，b≥0)；
ab≤(
a＋b
2
)2≤
a2＋b2
2
(a，b为实数)．
例4设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则
y2
xz
的最小值为________．
【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．
【解析】因为x－2y＋3z＝0，
所以y＝
x＋3z
2
，所以
y2
xz
＝
x2＋9z2＋6xz
4xz
.
又x，z为正实数，所以由基本不等式，
得
y2
xz
≥
6xz＋6xz
4xz
＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
故
y2
xz
的最小值为3.故填3.
【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利
用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产
生失误．
5．平方法
对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解
决的函数最值问题．
例5已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则
m
M
的值为()
A.
1
4
B.
1
2
C.
2
2
D.
3
2
【思路】本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
【解析】由题意，得
1－x≥0，
x＋3≥0，
所以函数的定义域为{x|－3≤x≤1}．
又两边平方，得y2＝4＋21－x·x＋3
＝4＋21－xx＋3.
所以当x＝－1时，y取得最大值M＝22；
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，∴选C
【讲评】对于形如y＝a－cx＋cx＋b的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋
b)＋2a－cxcx＋b的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．
6．数形结合法
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这
种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、
提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的
解决之中．
例6对a，b∈R，记max|a，b|＝
a，a≥b，
b，a 函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________． 【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解． 【解析】 由|x＋1|≥|x－2|， 得(x＋1)2≥(x－2)2，所以x≥ 1 2 . 所以f(x)＝ |x＋1|，x≥ 1 2 ， |x－2|，x< 1 2 ， 其图像如图所示． 由图形易知，当x＝ 1 2 时，函数有最小值， 所以f(x)min＝f( 1 2 )＝| 1 2 ＋1|＝ 3 2 . 7．导数法 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内 的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法． 例7函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________． 【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值． 【解析】因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝1(舍去)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比 较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17. 【讲评】(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以 下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点． 8．线性规划法 线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步： (1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值． 例8已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么|OP| 的最小值等于________，最大值等于________． 【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值． 【解析】 由题意，得点P(x，y)的坐标满足 x＋y≤4， y≥x， x≥1. 画出可行域，如图所示． 由条件，得A(2,2)，|OA|＝22； B(1,3)，|OB|＝10； C(1,1)，|OC|＝2. 故|OP|的最大值为10，最小值为2.