极值分布
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2023年3月6日发(作者：医患纠纷案例)分别用耿贝尔(Gumbel)极值分布和广义(GEV)极值分布拟合
五华县降水极值
赵立
【摘要】以五华县19a(1995—2013年)夏季(4—9月)逐日降水资料为研究对象,
分析五华县年小时极端降水量变化趋势可得:从1995—2013年,五华县的小时极端
降水量呈上升趋势,最大值出现在2010年,为103.5mm/h.分别用耿贝尔(Gumbel)
极值分布和广义(GEV)极值分布拟合该地降水极值,进而对两者的拟合效果进行比较,
结果表明GEV的拟合效果要优于Gumbel.
【期刊名称】《广东水利水电》
【年(卷),期】2017(000)010
【总页数】4页(P17-20)
【关键词】短时强降水;耿贝尔极值分布;广义极值分布
【作者】赵立
【作者单位】广东省五华县气象局,广东五华514400
【正文语种】中文
【中图分类】TV122+.1
近年来，极端气候事件造成的经济损失和人员伤亡在不断上涨，极端气候事件的频
繁发生引起了社会各界广泛关注。极端气候事件中，短时强降水是一种常常发生的
灾害性天气，也是造成城市内涝的主要原因[1-2]。根据中央气象台的定义，短时
强降水是指小时降水量≥20mm的降水。短时强降水出现的概率较小，但对人类
的生存环境和社会经济建设影响却很大。因其降水时段集中且时间短、雨量大，因
而常会引起洪涝灾害。当今城市化迅速发展，许多城市都承受着城市内涝困扰，而
短时强降水能给城市给排水系统造成严重的破坏，使城市交通瘫痪，工矿企业停产，
严重影响着人们生产生活甚至给人们生命财产带来威胁。不仅如此还能使农田受浸，
作物倒伏甚至绝收，水利设施被冲垮。因此，了解短时强降水事件的变化规律，并
采取积极防患措施是非常必要的。
2.1资料
本文选择五华县1995—2013年地面逐时降水资料作为研究对象，在此资料的基
础上进行统计分析。
根据模型建立的要求，本文分析数据采用五华县1995—2013年夏季(4—9月)的
随机降水值，满足研究对象的随机性和独立性，同时满足样本的大规模性。
2.2方法
2.2.1原始分布与耿贝尔(Gumbel)分布
假设X为某地的日降水量，而令x1,x2,…,xn作为X的随机样本，如果依据从小到
大顺序对样本进行排序，那么就能够写成：
其中，
计算其分布函数和密度，比较明显的是和的数值都是由n的数值以及原始变量X
的分布形式来决定的。下面用极大值作为案例，能够得到和的分布函数为：
Fn(X)=[P(X F1(X)=1-[1-P(X 20世纪20年代，Fisher与Tippett(1928)证明了当取样长度n趋向无穷时和的极 值是渐进分布函数，并概括了与原始分布对应的常出现的3种类型的极限概率分 布[3]。 第Ⅰ型(指数原始分布或双指数原始分布)分布函数为： F(x)=P(X (-∞ 其标准化形式为： (-∞ 这类模型又被叫做Fisher-Tippett型分布。开始是Gumbel(1960)在对水文学的 洪水极值进行计算时得出的，所以又可以叫做Gumbel分布[4]。 第Ⅱ型(柯西型原始分布)分布函数为： F(x)=P(X0) 其标准化形式为： (0 第Ⅲ型(有界型)分布函数为： F(x)=exp[-(-x)-α](α>0,x≤0) 其标准化形式为： 此型适用于极小值的分布，可以证明其为Weibull分布。 2.2.2广义极值(GEV)分布 由于Gumbel分布只有2个参数，故实际降水事件频率计算中常应用Gumbel分 布，而Gumbel分布的应用有较大局限性。为此，Jenkinson使用各种各样的理 论加以证明并且不断地改进，把3种类型的经典极值分布发展为1个通式，写成 1种统一的具有三参数的极值分布函数，当做经典极值分布的广义形式，后期简称 广义极值分布(简记为GEV)，其分布函数为[5]： 若令y=，则有标准化形式。当k≠0时则有： F(x)=exp{-[1-kx-β/α]1/k} 而当k=0时，则化为TippettⅠ型，即Gumbel分布： 也能够证明，对于k0时，则为Ⅲ型分布，也就是 Weibull分布。不仅如此，对于具有重现期T的分位数，应有分布函数： F(XT)=1- 所以能够得到的对应的分位数为： 1975年斯特芬提到第m个极值的分布，导出第m个极值的渐进分布，其分布函 数为： F(x)=exp[-mexp{-(x-βm)/αm}] 分布密度为： 2.3GEV、Gumbel分布模式及其参数估计 广义极值分布(GEV)的分布函数为： 式中α为尺度参数，β为位置参数，k为形状参数；当k=0时，GEV为Tippett Ⅰ型，即Gumbel分布；当k0时则为Ⅲ型分布， 即Weibull分布。 耿贝尔分布(Gumbel)的分布函数为： F(x)=exp{1-exp[-a(x-u)]} x∈(-∞,+∞) 式中a、u为待定系数。 令则根据矩法得： 式中γ=0.5772156，欧拉常数。 由式(15)知，F(x)与T有如下关系： F(x)=1-=1-P′=p=e-e-a(x-u) 则对于待定的XP值，有: XP=u-ln(-ln(1-)) 于是，对于不同的重现期T可估算极值XP。 3.1极值趋势分析及各历时最大降水量 由五华县年小时极端降水量趋势变化可知(见图1)，从1995—2013年，五华县的 小时极端降水量呈上升趋势，最大值出现在2010年，为103.5mm/h。 表1列出了1995—2013年3h、6h和8h最大降水量和滑动最大降水量，这里 3h最大降水量是逐3h最大降水量(1+2+3，4+5+6…)，1d有8个数据，而3 h滑动最大降水量是连续3h最大降水量(1+2+3，2+3+4…)，1d有22个数据， 3h滑动最大降水量必然要比逐3h最大降水量大。 3.2转移概率的讨论 定义降水发生的概率为P(WW)和P(DW)，从中可知：第i-1个小时是具有降水的， 在这之后的第i小时也还是具有降水的，概率是P(WW)；第i-1个小时代表的是 没有降水，在这之后的第i小时会发生降水的概率是P(DW)。P(WW)的数值越大， 代表着降水将会保持的时间也就越长，P(DW)越大，也就反映在这之前不存在降 水，但是在这之后降水的概率是十分大的。 如图2所示，五华县的P(WW)在7月达到最小，说明了7月五华县降水的持续时 间短，而P(DW)在6月是最大的时候，也就代表着在这个时候降水的发生更加突 发。在6月份降水的时间在很短，突发性也非常强烈，这与五华县6月分的降水 特点相符，在这个时间段当中非常容易出现极值。 3.3GEV和Gumbel两种模型对五华县极值的拟合 3.3.1拟合效果检验及分析 选用相关系数R、柯尔莫哥洛夫-斯米尔洛夫(K-S)检验及均方误差SS为检验指标。 其中： R= S= 式中xi为理论频率，yi为经验频率；为理论频率的平均值为经验频率的平均值。 当时表示通过K-S检验表示信度为0.05的临界值。 选出每年1h、3h、6h和8h降水量极大值以后，对两样模型综合，再使用极值 样本对参数进行计算，能得出表2当中的数据。通过后期的验证，通过相关系数、 K-S检验值可知，除1h降水外，GEV模型都要好于Gumbel模型。 3.3.2给定重现期极值的推算 通过GEV模型推算出的五华县50年和100年一遇极端降水量，结果如表3所示。 本文利用五华县1995—2013年4—9月的逐时降水资料，首先对五华县短历时 强降水的极值进行分析，然后用GEV和Gumbel两种模型对各历时(1h、3h、6 h和8h)极端降水量做了拟合和比较，最后推算出给定重现期的各历时的最大降水 量，得到如下结论： 1)1995—2013年五华县的小时极端降水量呈上升趋势，五华县短历时强降水的 极值容易出现在6月。 2)五华县短历时强降水的极值符合GEV和Gumbel分布，但除1h降水极值外 GEV拟合的相关系数、K-S检验值都要好于Gumbel，精度比Gumbel模型高。 3)五华县50年一遇1h极端降水量为116.0mm，100年一遇为138.0mm。 【相关文献】 [1]MeehlGA，KarlTR，EasterllingDR，oductiontotrendsinextreme weatherandClimateevents:observations，socioeconomicimpacts，terrestrial ecologicalimpacts，andmodelprojections[J].BulletinoftheAmericanMeteorological Society，2000，108(3):46-51． [2]EasterllingDR，EvansJL,GroismanPY,edvariabilityandtrendsinextreme climbevents:abriefreview[J].BulletinoftheAmericanMeteorologicalSociety，2000， 81(3):417-426． [3]FlsherRA，ngformsofthefrequencydistributionandacritical appraisalofmemberofasample[J].ProcCambridgePhilosSoc，1928,24(2):180-190． [4]ariateextremedistributions[J].BullIntStatInst,1960,39(2):471-475． [5]quencydistributionoftheannualmaximum(orminimum)ieal elements[J].ol.1955(81):158-171．