求极值的方法

求极值的方法

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2023年2月27日发(作者：频率副词有哪些)

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法

对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的

许多性质都可以通过图像客观地反应出来。因此，只要我们做出了函数图像，那

么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。下面，我就从几个方

面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数





n

i

bixaiy

1

的极值。很容

易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么

就可以准确的找出函数的极值点。

例1设－2≤x≤3，求函数

12xxxy

的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。作出函数图像

根据图像我们可以判断：当x=0,

min

y

3；当x=3,

max

y

8,对此类型问题的

思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图

像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题

的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图

像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来

并代入函数解析式求出其所对应的值。经过比较就得出了极值例如上题：f(－

2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、

3

min

y

、

max

y

=8，据此我们下面

给出解决这一类问题更一般的方法。

max

y

=max｛f(bi)、i=1、2、3……n｝,

min

y

=min｛f(－bi),i=1、2、3……n｝.

二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1.转化为求直线斜率的最值。

例2求函数





sin3

cos2





y

的最值

分析函数解析式非我们常见的函数模型。通过分析我们发现该函数可以看做

过点A（3、2）与B（sin、－cos）两点直线的斜率。而动点B的轨迹是圆

























)12(13

)01(3

)20(3

)31(2-3x

)(

xx

xx

xx

x

xf

y

x

o

3xy

3xy

13xy

13xy

x2+y2=1。因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的

斜率的最大值与最小值。通过图形观察，很容易判断动点B在什么位置时取得极

值。

2.转化为求距离的极值。

例3

4)2(36)(22xxxf

分析当函数关系可以改写为2222)20()2()60()0()(xxxf

由此可看出，我们很容易看出关系式的几何意义是在x轴上的动点（x、0）到两

定点（0、6），（2、2）的距离之差，根据三角形的性质，可以找出动点所处位置

使得函数取得极值。

3.将函数关系式转化为解析几何中曲线所对应的方程，从而将函数与解析

几何有机的结合起来。

例4求

tttf142)(

的最值。

分析此函数所表示的几何意义比较隐蔽。但经过分析后，如果我们令

42tx

ty1

经过消参以后，得

)60,30(1

36

22

yx

xy

此时函

数f(x、y)

yx

所表示的几何意义就椭圆在第一象限内的图像。所求极值问题

就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭

圆的参数方程解决。

例5若2x+4y=1求x2+y2的最小值

分析函数f(x、y)=x2+y2我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而动

点（x、y）在直线2x+4y=1上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，

使这一点到原点的距离最小的几何问题。其实质就是求直线到原点的距离。对于

此问题，我们就将复杂的二无函数问题转化为简单的解析几何问题。

例6若x2+3y2－4x+6y+3≤0，则x－3y的最值。

分析求二元函数f(x、y)=x－3y在题中约束条件下的最值，如果我们从纯代

数的角度入手，那么我们一般会将二元函数转化为一元二次函数，再根据约束条

件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解决

此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为

4)1(3)2(22yx

，它表示以x、y为坐标的动点必须在椭圆

4)1(3)2(22yx

内或边界。而函数f(x、y)=x－3y可以约束区域内有点在

直线上的情况下，直线系中哪条直线在y轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切

的位置，于是我们就将问题简化。

结论：在求函数极值的许多实例中，我们都可以用函数图像来解决这一类问

题，我们通常称之为数形结合的思想。用数形结合解决函数极值问题的关键在于：

深刻理解并挖决函数解析式所隐含的几何意义，能在坐标平面内大致勾画出与之

对应的图象，建立解析式与图像之间的对应关系。这种数与形的结合思想优点在

于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。

三、利用常见的不等式解决有关函数极值的问题。

这一类方法在求极值的广泛采用。但具有很强的技巧性，下面介绍几个常见

的不等式以及要此方面的运用。

1.如果a

1

，a

2

,……a

n

是非负数，则n

nn

aaanaaa........

2121



当且仅当

a

1

=a

2

……=a

n

时才取等量号。

例7求函数

1

)8)(8(

)(

2







x

xxx

xf的极大值。

解：

1

)8)(8(

)(

22







x

xxx

xf

,4

)1(2

)8()8(22









x

xxx

4极大值是

2.不等式

a

x

a

x2

（x＞0a＞0）的应用。此不等式是均值不等式的推

广，它可以运用于形如

22

2

2

11)(

cxbxa

bxa

xf







)0,(

21

aa

，这一类函数的极值求

解问题。

例8求函数

2

1

2





xx

x

y

的最值。(x＞0)

分析通常对此函数采用判别式法求值域，但如果采用判别式法其运算复杂，

并且还不能保证所求极值对应的自变量为在定义域范围内。而此题我们经过换元

以后可以运用不等式求解。

解：令t=x+1,则函数为

22



tt

t

y

1

2

1





t

t

(t＞0)

,22

2



t

t

122

1

max

y

结论：在运用不等式解决极值问题时，我们应该熟练掌握一些基本不等式，

如：均值不等式，柯西不等式等，只有在熟练掌握这些不等式的前题条件下，我

们才能灵活运用。

四、用高等数学的方法解决极值问题。

近年来，随着高等数学与初等数学的联系日益紧密，用高等数学的方法解决

初等数学中函数极值问题被广泛运用。下面我们就从高等数学的观点讨论有关函

数极值问题。

1.解方程f`(x)=0,如果它的根x

1

,x

2

……x

n

是有限个，计算出

f(x

1

),f(x

2

)……f(x

n

);

2.计算出区间[a、b]两端点的函数值f(a),f(b);

3.比较＜f(x

1

),f(x

2

)……f(x

n

)，f(a),f(b)的大小，其中最大一个是最大

值，最小一个是最小值。

在实际问题中，如果在（a，b）内部f’(x)=0的根只有一个x1

,而且从实

际问题本身又可以知道在（a，b）内必定有最大值或最小值，那么，f(x1

)就是

所要求的最大值或最小值，不需要计算出f(a)和f(b)了。

例9求函数

13

3

1

f(x)23xxx

在[－2、4]上的极值。

解：f`(x)=x2－2x+3,令f`(x)≥0，解得其可能出现极值的点。

1

1

x

,

,3

2

x

,

3

35

)2(f,

3

10

)1(f,10)3(f

3

55

)14(f

比较可知最大值为

3

55

，最小值

3

35



例10设一边长为a的正方形的铁皮，从其各角截去同样的小正方形，做

成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？

解：设截的小正方形边长为x，则做成方盒容积为y=(x-2a)2x（0≤x≤a/2）

于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在x=a/6是盒子容积

最大。

五、利用平面几何图形求最值

例11求函数

42xy

542xx

的最小值。

分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为；

22200()0xy（22)10()2(x

则函数表达式显现为坐标平面上

两点间的距离之和。

设P（x,0）为x轴上的点。A（0，2），B（2，1），则

||||PBPAy

,于是

本题转化为在x轴上求一点P到点A、B距离之和最短。这就是将代数最值为体

转化为平面几何最值问题。由平面几何知识知道，只要作点A关于x轴对称点

A

)2,0('

连接

BA'与x轴的交点P即为所求。易知点P的坐标为（

0

3

4

，），则

||||PBPA

=BA'=

13

。所以当

x

3

4

时，y的最小值

13

。

例12求函数

xxy23

的值域。

解：因

5)2()3(22xx

，故令

cos53x

，

sin52x

（0

2





），故

xxy23

=

cos5

+

sin5

=

)

4

sin(10





，

10,5y

提示：从广义上讲，解数学题就是从提设中不断挖掘并利用隐含条件进行推

理和变形的过程。已知田间的变形应该是等价变形，相关元素的最值范围不可放

大或者缩小，而这是解题者易忽略的地方。

六、在复数中求极值的问题

例13复数

1

Z

满足

033

11

ZZ

，复数Z使

3

1





Z

ZZ

为纯虚数。求

Z

的

最大值。

解：因为

3

1





Z

ZZ

为纯虚数，所以复数

3

1





Z

ZZ

对应的点在虚轴上，故有

1

3

1





Z

ZZ

1

3

1







Z

ZZ

，即

)3()3(2

11

ZZZ

，有

)3(2

1

ZZ

32

1

ZZ

，故

323

11

ZZZ

，

10332

11

ZZZ

，

5Z

故

Z

的最大值为5。

前面着重介绍了六种最重要的求极值方法：数形结合，不等式的运用，导数

等。相比较而言，数形结合的方法比较容易理解，因为它能明确极值所包含的几

何意义，学生容易接受，并且计算过程非常简单。而对于不等式的方法，尽管过

程比较简单，但是需要很强的技巧性，需要学生有浑厚的基本功。而对于导数解

法，这种方法是最常用的方法，它广泛应用于求函数极值的问题中。当然，求极

值的方法远非以上几种，这需要我们不断的探索和总结，最终将此类问题简单化。