函数的凹凸性
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2023年3月16日发(作者：质数公式)§6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用
教学目标:掌握讨论函数的凹凸性和方法.
教学要求:弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的
凸性证明某些有关的命题.
教学重点:利用导数研究函数的凸性
教学难点:利用凸性证明相关命题
教学方法:系统讲授法＋演示例题
教学过程:
引言
上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较
精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关
系.
什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函
数yx所表示的曲线是向上凸的,而2yx所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的
称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线
上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两
点所得的弦在曲线的下方.
如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？
设函数
()fx
在区间
I
上是凸的（向下凸）,任意1
x
,2
xI
（12
xx
）.
曲线
()yfx
上任意两点11
(,())Axfx
,11
(,())Bxfx
之间的图象位于弦
AB
的下方,即任意
12
(,)xxx
,
()fx
的值小于或等于弦
AB
在
x
点的函数值,弦
AB
的方程
21
11
21
()()
()()
fxfx
yxxfx
xx
.
对任意12
(,)xxx
有
21
11
21
()()
()()()
fxfx
fxxxfx
xx
,整理得
21
12
2121
()()()
xxxx
fxfxfx
xxxx
.
令
2
21
()xx
t
xx
,则有
01t
,且12
(1)xtxtx
,易得
1
21
1
xx
t
xx
,上式可写成
1212
[(1)]()(1)()ftxtxtfxtfx
.
一、凸函数定义以及与连续性的关系
(一)凸（凹）函数的定义
定义1设函数f为定义在区间I上的函数,若对I上任意两点
1
x、
2
x和任意实数
(0,1)
总
有
1212
((1))()(1)()fxxfxfx,则称f为I上的凸函数.反之,如果总有
1212
((1))()(1)()fxxfxfx,则称f为I上的凹函数.
注易证：若一f为区间I上的凸函数,则f为区间I上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的
性质即可.
定义2设曲线y＝f(x)在点(
00
,()xfx)处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两
侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(
00
,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.
必须指出；若(
00
,()xfx)是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点
0
x的导数不一定存在,如
3yx在x＝0的情形.
(二)凸函数的特征
引理f为I上的凸函数对于I上任意三点
123
xxx总有：
32
21
2132
()()
()()
fxfx
fxfx
xxxx
(3)
()fx
严格凸函数
上式严格不等式成立.
证
记
32
31
xx
xx
,则
01
及213
(1)xxx
,由
f
的凸性知
213
()()(1)()fxfxfx
32
21
13
3131
()()
xx
xx
fxfx
xxxx
(4)
从而有
312321213
()()()()()()xxfxxxfxxxfx
即322212321213
()()()()()()()()xxfxxxfxxxfxxxfx
整理即得
(3)
式.
13
,xxI
13
()xx
,
(0,1)
记213
(1)xxx
,则123
xxx
,
32
21
xx
xx
由必要性的推导步骤可逆,从
(3)
式便得
(4)
式.故
f
为凸函数.
同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123
,,xxxI
,123
xxx
,有
31
21
2131
()()
()()
fxfx
fxfx
xxxx
()fx
严格凸函数
上式严格不等式成立.
定理设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且
在上连续．
证明(证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可
选取中的四点满足：
．
如图所示,再在中任取两点.应用引理得到
．
令
,
则
,．
显然,上述L与中的点无关,故在上的每个内闭区间上满足利普希茨
条件．
由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．
如果f是I上的可导函数,则进一步有：
二、凸函数与导数的关系
定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：
（1）f为I上的凸函数；（2）
f
为I上的增函数；（3）对I上的任意两点
12
,xx总有
21121
()()()()fxfxfxxx
证(i)(ii),并取,使
据定理3.12,有
由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到
．
所以是上的递增函数．
(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得
当时,也有相同结论．
(iii)(i),并记,则有
,
由(iii)可得
.
注定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下
方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可
微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．
如果f在I上二阶可导,则进一步有：
定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函
数()0fx
（
()0fx
）,
xI
.
f
为严格凸
1）
()0fx
；2）
()fx
不在
I
上的任一子区
间上恒为零.
此定理说明：
f
为严格凸,则曲线中不含有直线段（
()0fx
）.对于凹函数情形,也有类似
的定理（因为
f
凸,则
f
凹）.
可导函数
f
有如下相互等价的论断：
1）
f
为
I
上凹函数.
2）123
,,xxxI
,123
xxx
有
32
21
2132
()()
()()
fxfx
fxfx
xxxx
.即割线斜率递减.
3）
()fx
为
I
上递减函数.
4）0
xI
,有000
()()()()fxfxfxxx
,
xI
.当
f
在
I
上二阶可导时,下述论断与
1）,2）,3）,4）相等价.
5）在
I
上
()0fx
.
对严格凹的情形可类似得出等价论断.
二、拐点
定义2设曲线y＝f(x)在点(
00
,()xfx)处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两
侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(
00
,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界
点）
必须指出；若(
00
,()xfx)是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点
0
x的导数不一定存在,如
3yx在x＝0的情形.
定理3（拐点必要条件）若f在
0
x二阶可导,则(
00
,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点的必要条件
是
0
()0fx
.
综上知：(
00
,()xfx)的拐点,则要么（1）
0
()0fx
；要么（2）f在
0
x点不可导.
定理4设f在点
0
x可导,在某邻域
0
()Ux内二阶可导,若在
0
()Ux
和
0
()Ux
上
()fx
的符号相
反,则(
00
,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.
例1讨论函数
()arctanfxx
的凸性与拐点.
解
22
2
()
(1)
x
fx
x
,因而当
0x
时,
()0fx
；当
0x
时,
()0fx
,从而函数
f
为
(,0]
上的凸函数,在
[0,)
上为凹函数.而
()fx
在原点连续,故原点为曲线
()yfx
的拐点
例2若
f
在
(,)ab
内可导、凸（凹）函数,则0
(,)xab
为
f
的极小（大）值点
0
()0fx
.
即0
x
为
f
的稳定点.
证
）费马定理.
）因
f
凸,故
(,)xab
有000
()()()()fxfxfxxx
.因0
()0fx
,故
(,)xab
总有
0
()()fxfx
.即0
x
为
f
的极小值点.
例3设
f
在开区间
I
上为凸（凹）函数,证明
f
在开区间
I
内任一点0
x
都存在左、右导数.
证只证凸函数
f
在0
x
存在右导数,其它情形同理可证.
令12
0hh
,记101
xxh
,202
xxh
,则012
xxx
（取2
||h
充分小使02
xhI
）,
由
(3)
式得：
010020
12
()()()()fxhfxfxhfx
hh
记
00
()()
()
fxhfx
Fh
h
(0)h
则有21
()()FhFh
即
()Fh
为单调递增函数.取4
xI
且40
xx
,则
0400
04
()()()()fxfxfxhfx
xxh
,
从而
()Fh
递增有下界,从而0
lim()
h
Fh
存在,即0
()fx
存在.
注对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为
.由第五章§1习题10知（若
f
在0
x
的左、
右导数都存在,则
f
在0
x
连续）,若
f
在为开区间
(,)ab
内的凸（凹）函数,则
f
为
(,)ab
内的连续
函数.（但不一定可导,如
()||fxx
）
三、詹森(Jensen)不等式
定理(詹森(Jensen)不等式)设
f
为
[,]ab
上的凸函数,
[,]
i
xab
,
0
i
(1,2,,)inL
且
1
1
n
i
i
,则有
11
()()
nn
iiii
ii
fxfx
（6）
成立.若
f
为严格凸函数,
(1,2,,)
i
xinL
不全相等,则上式严格不等式成立.
证用归纳法：
2n
时命题由凸函数定义显然成立.假设
nk
时命题成立,即
0
i
(1,2,,)ikL
,1
1
k
i
i
，
则有11
()()
kk
iiii
ii
fxfx
.要证
1nk
时命题成立.设
0
i
(1,2,,,1)ikkL
,
1
1
1
k
i
i
1
11111
111
1
()()[(1)]
1
kkk
ii
iiiikkkkk
iii
k
x
fxfxxfx
（由归纳法可知,当1
1
n
i
i
,
(,)
i
xab
时1
n
ii
i
x
(,)ab
,
因为1
1
1
k
i
i
k
,故
1
1
1
k
ii
i
k
x
(,)ab
）
111
1
1
(1)()()
1
k
i
kikk
i
k
fxfx
111
1
1
(1)()()
1
k
i
kikk
i
k
fxfx
1
1
()
k
ii
i
fx
结论成立.
注由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数
的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．
对具体的函数套用Jensen不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式
的方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.
例4证明:对
,,Ryx
有不等式)(
2
1
2
yx
yx
eee
.
例5设
0
i
x
(1,2,,)inL
,则
12
12
12
111
n
n
n
n
xxx
n
xxx
n
xxx
L
L
L
当且仅当所有i
x
全相等时等号成立.
证所有i
x
全相等时,等号显然成立.只须证i
x
不全等时,有严格不等号成立即可.
取
()lnfxx
,则
f
在
(0,)
上严格凸,由例4知
1
12
12
1
1
ln(ln)ln()
n
n
in
i
xxx
xxxx
nn
L
L
即
12
12
lnlnn
n
n
xxx
xxx
n
L
L
因
lnx
严格增,故有
12
12
n
n
n
xxx
xxx
n
L
L
又i
x
不全等
1
i
x
不全等,故