斯托克斯公式
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2023年3月16日发(作者：浅层气浮机)第1页共2页
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯定理（英文：Stokestheorem）是微分几何中
关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的
几个定理，以斯托克斯爵士命名。
斯托克斯公式，指的是根据斯托克斯理论建立的计算大
地水准面上及其外部空间扰动位的公式。
公式简介
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的
推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上
的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间
的联系。
公式内容
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分
片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数
P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面Σ（连同边界Γ）上具有一
阶连续偏导数，则有
旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任
何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通
量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，
边界以红色显示。
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流形上的斯托克斯公式
令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的
n−1 阶 C1 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并
以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则
这里 dω 是 ω 的外微分,只用流形的结构定义。这个公
式被称为一般的斯托克斯公式（generalizedStokes'
formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－
奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者
的简单推论。
该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流
形中的子流形的情形。
定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合
上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一
个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可
以配对的基础。