抛物线的弦长公式

抛物线的弦长公式

电脑远程控制软件-观月记原文及翻译

2023年3月16日发(作者：专家费用标准)

弦长公式

若直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),,

2211

yxByxA（则

弦长2

21

2

21

)()(yyxxAB

2

21

2

21

)]([)(bkxbkxxx

21

21xxk

21

2

21

24)(1xxxxk同理：

|AB|=

12

2

1212

2

4)(||

1

1yyyyyy

k



特殊的，在如果直线AB经过抛物线的焦点，则|AB|=?

P48第7题

例题1：已知直线1xy与双曲线1

4

:

2

2

y

xC交于A、B两点，求AB的弦长

解：设),(),,

2211

yxByxA（

由















1

4

1

2

2

y

x

xy

得224(1)40xx

得23250xx

则有



















3

5

3

2

21

21

xx

xx

得，

2

3

8

3

20

9

4

24)(1

21

2

21

2xxxxkAB

练习1：已知椭圆方程为1

2

2

2

y

x

与直线方程

2

1

:xyl相交于A、B两点，求AB的

弦长

练习2：设抛物线xy42截直线mxy2所得的弦长AB长为53，求

m

的值

分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长

解：设),(),,

2211

yxByxA（

联立方程



















1

2

2

1

2

2

y

x

xy

得03462xx

则



















2

1

3

2

21

21

xx

xx

3

112

)

2

1

(4)

3

2

(24)(12

21

2

21

2xxxxkAB

解:设),(),,

2211

yxByxA（

联立方程:











mxy

xy

2

42

得0)44(422mxmx

则















4

1

2

21

21

m

xx

mxx

53)1(54)(122

21

2

21

2mmxxxxkAB

4m

例题2：已知抛物线

32xy上存在关于直线0yx对称相异的两点A、B，求弦长

AB

分析：A、B两点关于直线0yx对称，则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为1且AB

的中点在已知直线上

解：BA、关于0:yxl对称

1

ABl

kk1

l

k

1

AB

k

设直线AB的方程为bxy，),(),,

2211

yxByxA（

联立方程











32xy

bxy

化简得032bxx

1

21

xxAB中点)

2

1

,

2

1

(bM在直线0yx上

1b022xx

则











2

1

21

21

xx

xx

238)1(24)(12

21

2

21

2xxxxkAB

小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解

过程中一般采取步骤为：设点



联立方程



消元



韦达定理



弦长公式

作业：

（1）过抛物线24yx的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，且

3

16

AB

，

求



的值

（2）已知椭圆方程1

2

2

2

y

x

及点)2,0(B，过左焦点

1

F与B的直线交椭圆于

C、D两点，

2

F为椭圆的右焦点，求

2

CDF的面积。

弦长公式的应用

1.弦长问题

例1.已知点），，（和，03)03(BA动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，

点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长。

解：设点Cxy（，），则

||||CACB2，

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线

x

a

y

b

2

2

2

2

1

由，得

，

22223

1222

acAB

ab





||

故点C的轨迹方程是

x

y

2

2

2

1

由

，

得

x

y

yx

xx

2

2

22

1

2

460

















因为0，所以直线与双曲线有两个交点。

设DxyExy()()

1122

，，，，则



xxxx

DExx

xxxx

1212

2

12

12

2

12

46

11

2445







，

故

,

||||

()

2.求曲线的方程

例2.已知点A()14，，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，直线

lyx：22与抛物线C交于MM

12

、两点，若||||||AMMMAM

1122

、、成等比数列，

求抛物线C的方程。

解：设抛物线CypxpMxyMxy：，，，，，2

111222

20()()()

显然点A在直线l上，

由

，

得

ypx

yx

22

22











ypxp220，

所以yyp

12

，

yyp

12

2

由图1，知yy

12

44，，

图1

又||||||MMAMAM

12

2

12

，即

1

1

2

1

1

2

41

1

2

4

4

416

82416

28

2

12

2

2

1

2

2

12

2

12

1212

2

























||

()()

()

()

yy

yy

yyyy

yyyy

pppp

pp

，

亦即

，

，

解得或（舍去）

故抛物线C的方程为yx24。

例3.已知F是定点，l是定直线，点F到直线l的距离为pp()0，点M在直线l上

滑动，动点N在MF延长线上，且满足

||

||||

FN

MNMF



1

，求动点N的轨迹方程。

解：如图2所示，以点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。

图2

设Nxyxk

y

xFN

()().，，则0

由于||||||MNMFNF，

根据公式，得

111

0

2

2

2

2

2

2

22





y

x

xp

y

x

p

y

x

x

pxyxpx

()

()

，

化简，得，

平方整理，得点N的轨迹方程为

()()pxpypxpx222221200.

3.范围问题

例4.过椭圆

x

m

y

m

m

2

1

125







()的左焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆及

其准线的交点从左至右依次为A、B、C、D，记fmABCD()||||||，求fm()的取值范围。

图3

解：由条件，知直线lyxxm：，椭圆准线：1，

AmmDmm()().，，，11

设BxyCxy()()

1122

，，，，

其中mxxm

12

，则

|||()|

()

||||()

()||||||||.

.

().

ABxm

xm

CDmxmx

fmABCDxx

yx

x

m

y

m

mxmxmm

m































11

2

112

2

1

1

1

21220

25

2

1

1

2

22

12

22

22

，

，

由得

因为

所以

，

fm

m

m

m

m

m

()







































2

2

21

22

21

21

1

21

102

9

42

3

练习：

设双曲线

x

a

y

b

ab

2

2

2

2

100()，的右顶点为A，P是双曲线上的一个动点（异于

顶点）。从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点。

图4

（1）证明无论P点在什么位置，总有||||||OPOQOR2（O为坐标原点）；

（2）求T

AP

AQAR





||

||||

2

的取值范围。

（答案：T

b

ab

T





2

22

1且）