ces函数

发布时间：2023-06-11 作者：admin 来源：文学

ces函数

2023年3月6日发(作者：网络安全教案)

一、生产函数基础知识

二、经济增长理论

三、生产者行为理论

四、消费者行为理论

五、完全竞争市场和一般均衡

六、不完全竞争市场

七、博弈论

八、要素市场

九、市场失效和公共选择

生产函数

一、生产函数的概述

（一）生产函数的概念

生产函数是生产过程中投入与

其产出之间的一种函数关系。即，一

定时期内，在技术水平不变的情况

下，投入生产要素的某种组合与其所

能产出的最大产量之间的关系，一般

可以写为

Y=f(K,L,A,„)

其中，Y—产出；K—资本；L—

劳动力；A—技术。

（二）生产函数的特性

1.生产函数：y=f（x1，x2，„，

222

1121

222

()n

nnnn

yyy

xxxxx

yyy

xxxxxx



































xn），递增的凹函数

yx

凹函数：H=

为负定对称阵

2.齐次性与规模报酬

为了简便，常常假定只有资本和

劳动力两种投入要素，那么生产函数

变为

),(LKfY

规模报酬：又称规模收益，研究

当要素量扩大相同倍数，产出量扩大

的情况。

固定规模收益：对所有t0，

f（tx）=tf（x）都成立，生产函数

是一阶齐次的。

规模收益递减：如果产出增加的

比例小于各投入要素增加的比例，对

所有t>1都有f（tx）

规模收益递增：如果产出增加的

比例大于各投入要素增加的比例，对

所有t>1都有f（tx）>tf(x)

在长期生产过程中，企业的规模

报酬一般都会经过这样三个阶段的

变化，即：规模报酬递增→规模报酬

不变→规模报酬递减。

3.等产量曲线

等产量曲线是指在技术水平不

变的条件下生产同一产量的两种生

产要素投入量的所有不同组合的点

的轨迹。以常数Q表示既定的产出水

平，则相应的生产函数为

Y=f(K,L)=Q

等产量曲线具有三个特点：①平

面内有无数条曲线，且离原点越远代

表产量水平越高；②各曲线不相交；

③各曲线凸向原点，即曲线上各点的

斜率为负且斜率的绝对值逐渐减小。

等成本和等产量

等成本线是在既定的成本和生

产要素的价格下，生产者可以购买到

的两种生产要素的各种不同数量组

合的点的轨迹，用方程可以表示为：

KLC。其中，C—既定的成本支

出；



—既定的劳动价格（工资率）；

—既定的资本价格（利息率）。

等成本线是一组平行的直线，斜

率为





，最优的生产要素组合条

件为：











K。

4.总产量、平均产量、边际产

量和边际生产力

一定的生产要素的投入量所带

来的最大产出量称为总产量（记作

TP），),(LKfTP；

平均产量为总产量与所使用的

生产要素投入量之比（记作AP），

，

；

边际产量为一种生产要素不变

的情况下，另一种生产要素增加一单

位，产出的增加量（记作

），

L







，

K







。

随着一种生产要素投入量的增

加，产出一般也会增加，即边际生产

力大于零，0





L，0





K。

但持续增加某生产要素所带来的产

量的增量是减少的，也就是边际生产

力递减规律，0





f，0





f。

5.边际技术替代率

技术替代率（TRS）

在维持产量不变的条件下，增加

一单位某种生产要素投入量时所减

少的另一生产要素的投入数量称为

边际技术替代率。

K

L

边际技术替代率

在n种投入要素的情形中，技术

的边际替代率是等产量面的斜率。

两种投入要素时，y=f（x1，x2），

技术的边际替代率是等产量线的斜

率。当要素x1变动时，怎样调整x2，

能保持产出为常数

技术替代率推导：

隐函数法：设x2是x1的函数，则

两种要素的生产函数可写为：

121

(,())yfxxx，两边对x1求导：

121

()()()

fxfxxx

xxx







，整理得：

2111

122

()()/

()/

xxfxxMP

xfxxMP







全微分法：对生产函数y=f（x1，

x2）进行全微分得：12

()()

fxfx

dydxdx







解得：要素技术替代率：

()/

dxfxx







劳动替代资本的边际技术替代

率，记为

MRTS

LK



；资本替代劳动

的边际技术替代率，记为

MRTS

KL



；

最优的生产要素组合为







MRTS。

由于在维持产量不变的情况下，

增加一种投入要素所带来总产量的

增量与减少一种投入要素所带来的

总产量的减少量必定相等，所以有

MPLMPK，





。同时

也有

LKMP

MRTS，即两种要素的

边际技术替代率等于边际产量之比。







LKMP

MRTS。

6.替代弹性

技术替代弹性：等产量线的曲

率。技术替代弹性是在产出量不变

时，要素比率变动的百分比除以技术

替代率变动的百分比。设21

(/)xx是

要素比率的变化，TRS是技术替代

率的变化，替代弹性：

(/)

TRS







。

说明等产量线斜率变化时，要素比率

如何变化。若等产量线斜率的小变化

引起要素比率的大变化，则等产量线

是相当平坦的，也说明替代弹性是大

的。

市场经济中，往往一种生产要素

价格的提高会带来该种生产要素投

入数量的减少和与之相应的另一种

生产要素投入数量的增加，从而引起

生产要素之间的替代。

希克斯（）于1963年

提出工资率（）对利息率（



）

之比变化百分之一所带来的资本数

量对劳动数量之比变动的百分之几

来衡量资本与劳动之间的替代弹性，

可表示为

)ln(

)()(

MPMPd

LKd

LKLKd









一般情况下，



增加带来资本

数量

增加，所以上式中分子大于

0；同时，



增加带来劳动数量L的

减少，所以

MP增加，从而分母大于

0，因此替代弹性



大于0。

当替代弹性



=0时，即任何情况

下LK/不变，要素之间不可替代。

当替代弹性





时，即任何情

况下KL

MPMP不变，要素之间具有

无限替代性。

7.产出弹性

产出弹性是指产量对某一种生

产要素变化的反应程度，是在其他生

产要素不变时，某一种生产要素增长

百分之一所引起的产出变化的百分

之几。用

E表示资本的产出弹性，









；

E表示劳动的产出

弹性，









。

(三)生产函数模型的发展

1928年，Cobb和Douglas建立

了Cobb—Douglas生产函数，简称C

—D生产函数，也是目前应用较为广

泛的生产函数，即，KALY，（1）；

1937年，Douglas等建立了C—D生

产函数的改进型，即，KALY，

（1）；1957年，Solow建立了

C—D生产函数的改进型，即，

KLtAY)(；1961年，Arrow等建立了

具有不变替代弹性的CES(Constant

elasticityofsubstitution)生产函数，





LKAY



))1((，由于该生产函

数的许多优点，目前应用也较为广

泛；1968年，Sato和Hoffman建立

了具有可变替代弹性的VES(Variable

elasticityofsubstitution)生产函数；

1973年，Christensen和Jorgenson建

立了超越对数生产函数。

二、具体的生产函数

1.线性生产函数模型(Linear

P.F.)

LKY



由于边际技术替代率









MRTS

LK为常数，所

以

)ln(

MPMPd

LKd

=



，即要素之

间具有无限替代性，也就是说在保持

产量不变的情况下，一种生产要素可

以被另一种生产要素完全替代。

2.固定投入比例生产函数（列昂

惕夫生产函数）

固定投入比例生产函数是指在

每一个产量水平上，任何一对要素投

入量之间的比例都是固定的。该生产

函数的一般形式为

),min(

Y

其中，u，v分别表示单位产出的

劳动投入量和资本投入量，他们是投

入对产出的固定比例。产出量Y所需

要的劳动投入量为L=uY，所需要的资

本投入量为K=vY，两者之比

uvLK//

为常数，即)/(LKd=0，也就是

)ln(

MPMPd

LKd

=0，也就是在保持产量

不变的情况下两种生产要素之间完

全不可以替代。

该生产函数的等产量曲线是直

角的（如下图），点A和点B分别代表

生产产量

Q和

Q的最小组合。

1.3.柯布-道格拉斯

固定投入比例生产函数

（Cobb-Dauglas）生产函数(C—D

生产函数)

（1）模型形式

y=A12

xx

（2）模型特点

1）技术替代率。

aAxx









，1

Axx









212

121

dxyxx











2）产出弹性

参数,具有明确的经济意义。

根据要素的产出弹性定义，











KAL

KLA

...1











KAL

KLA

...1

即,分别为劳动和资本的

产出弹性，10，10。

3）规模报酬

齐次函数：f（tx）=tkf(x):k次

齐次函数。位似函数：一阶齐次单调

递增函数。

C-D函数具有阶齐次性，

且决定规模报酬

),()()(),(KLfKALKLAKLf

α＋β>1,称为递增报酬型，表

明按现有技术用扩大生产规模来增

加产出是有利的。

α＋β<1,称为递减报酬型,表

明按现有技术用扩大生产规模来增

加产出是得不偿失的。

α＋β＝1,称为不变报酬型，

该生产函数具有一阶齐次性,表明生

产效率并不会随着生产规模的扩大

而提高，只有提高技术水平，才会提

高经济效益。

4）要素替代弹性1

根据

KAL





1和

KAL





1，

有

MRTS

LK.









，即

))ln()(ln(

)ln(

)()(







LKd

MPMPMPMPd

LKLKd

KLKL





由于C—D生产函数的参数具有

明确的经济意义，并且与要素之间具

有无限替代弹性的线性生产函数和

要素之间完全不可以替代的固定投

入比例生产函数相比较，C—D生产函

数的替代弹性为1，更加贴近现实生

活，所以该生产函数应用广泛。

改进的C-D生产函数：

()YAtKL

(1)tYArKL

tYAeKL

生产函数（不变替代弹性

生产函数）

（1）模型形式

1961年，Arrow等建立了具有不

变替代弹性的CES(Constant

ElasticityofSubstitution)生产

函数：





LKAY



))1((

其中，A——效率参数，反映技

术进步程度，A>0。



——分布参数，反映资本

密集程度，0<



<1。



——替代参数，



>-1。

——规模报酬参数，v=1，

表示规模报酬不变；

>1，表示规

模报酬递增；

<1，表示规模报酬

递减。

（2）模型特点

①与线性生产函数和C—D生产

函数的关系

线性生产函数是CES生产函数在

具有完全替代弹性且规模报酬不变

时的特例，即，当

=1，



=-1，也

就是=时，))1((LKAY。

C—D生产函数是CES生产函数在

具有替代弹性为1且规模报酬不变时

的特例，即，当v=1，0

，也

就是

1时，对CES生产函数两边

取对数))1(ln(lnln



LK

AY，经过变形

可得到)1(LAKY。

②CES生产函数的替代弹性为常

数

由于)1(

)1(











LYAv

MPvv

L，

)1(













KYAv

MPvv

K，

)1(

1





















MPMP

则













))ln()1()1(ln(

)ln(

)()(

LKd

MPMPMPMPd

LKLKd

KLKL

③CES生产函数的产出弹性不是

不变的，而是随时间的变化而变化

的，是动态的，受到资本和劳动之间

的比值的影响













)(

)1(

))(1())1()((.)1(

)1(

LLK



























)(

)1(

)())1()((.)1(

)1(

KLK















由以上分析可以看出，CES生产

函数隐含着可变的生产弹性，引入了

规模参数v，并且打破了C—D生产

函数的要素替代弹性1的限制，扩

展了生产函数的研究领域。

CD生产函数和CES生产函数有

一个共同点,它们都是希克斯

（Hicks）中性生产函数(即具有y=

AF(K,L)的形式)。同时,CD生

产函数是CES生产函数的一种特殊

情况。

在CD生产函数中,弹性是恒定

的,而在CES生产函数中,弹性是

可变的,并与资金装备率(即所谓的

技术系数)K/L有关。就这一点而言,

CES生产函数要比CD生产函数要合

乎实际。

在CD生产函数中,不仅隐含假

定了替代弹性不变,而且恒为1,即

所谓的单位替代弹性。而在CES生产

函数中,虽然也隐含替代弹性不变

的假设,但并不一定等于1。

（3）参数估计

第一种方法，由







MP和

)1(

1





















MPMP

KL有：)1(

1























L，

将其变形为：

































ln)1(

lnln











其中，









0，1

1。

对其应用OLS即可求得参数,，

再将其代入关系式

lnlnln((1))

YAKL





可得到

Av,。

第二种方法，直接估计法。将CES

生产函数：



LKAY



))1((两边取

对数，得))1(ln(lnln



LK

AY，再将

))1(ln(LK在0处按泰勒

级数展开，取到二阶项，得：

2)))(ln(1(

ln)1(lnlnln

vLvKvAY

该式是一个线性方程式，可运用最小

二乘法求出)1(

,)1(,,lnvvvA，

进而求出vA,,,。

三、技术进步分析

只考虑劳动和资本两种投入要

素，不符合生产的发展状况，在生产

函数中加入技术要素可以体现技术

提高所带来的各种效用，它表现为劳

动者技能的提高、资源的合理配置和

产业结构的升级等等，是生产效率提

高的一种宏观度量，称为广义技术进

步。

考虑技术进步的生产函数的一

般形式为

(,,)YFLKT

其中，T—时间，K，L随时间

而变化。

如果生产函数的变化使劳动和

资本之间的边际技术替代率不变，而

只是简单的使既定投入量所达到的

产出量增加或减少，这种变化称为中

性技术进步。

中性技术进步：技术进步后，利

润和工资在总产出中的份额保持不

变；

资本节约型技术进步：技术进步

后，利润在总产出中的份额减少；

劳动节约型技术进步：技术进步

后，工资在总产出中的份额减少。

判断中性技术进步的三种标准：

希克斯中性技术进步：资本与劳

动比不变，资本与劳动的边际产出比

不变；Y=A（t）f（K，L）。“产出

增长型”技术进步；资本与劳动同等

密集型技术进步。

哈罗德中性技术进步：资本产出

比不变，资本边际产出不变；Y=f（K，

A（t）L）。“劳动增长型”技术进

步；劳动密集型技术进步；

索洛中性技术进步：劳动产出比

不变，劳动边际产出不变；Y=f（A（t）

K，L）。“资本增长型”技术进步；

资本密集型技术进步。

（2）改进的C—D生产函数及其

应用

TinBergen在1942年就提出了

在生产函数中加入时间趋势项以测

定技术进步。1957年，Sollow将希

克斯中性技术进步采用C—D生产函

数形式，给出了C—D生产函数的改

进型

KLtAY)(

①模型的意义

上式两边对时间

求导，然后两

边同除以Y，写成微分的形式得到：

...













由产出弹性



，





我们可将上式变形，写成增量的形式

为：















这就是著名的索洛增长方程。

Y

—产出增长率，

L—劳动增长率，

K—资本增长率，

A—技术进步增

长率，常常被称为“索洛余值”。

上式表明产出增长率为技术进

步增长率、劳动增长率和资本增长率

的加权平均数。其中技术进步增长率

的权数为1，劳动增长率和资本增长

率的权数分别为各自的产出弹性。

令

T



，

LL



，

KK



，将上式变形为：

1

KLT

。

——技术进步对

产出增长的贡献率；

——劳动力

增长对产出增长的贡献率；K

——

资本增长对产出增长的贡献率。

②)(tA的形式

通常)(tA的形式有两种，即，

tAtA)1()(

或teAtA

)(。因此，含有技

术进步因素的生产函数形式也有两

种：KLAYt)1(

和KLeAYt

，



代

表技术进步程度，但的经济意义却

不明确。但当技术进步速度很慢时，

由于可以将)1ln(近似为



，

tAtA

ln)(ln且

tAtA

ln)(ln

，所以

可以把看作技术进步速度。

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