反比例图像
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2023年3月6日发(作者：日语助词用法总结)1
年级：初三科目：数学
课题反比例函数
教学内容
一）巧用规律，快速运算
（1）反比例函数y=的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON
=2，
则k的值为
（2）如图2，已知点P在函数y=（x＞0）的图像上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的
面积为.
（3）如图过反比例函数)0(
2
x
x
y图像上任意两点A、B分别做X轴的垂线，垂足分别为C、D连接OA、O
B，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S
1
,S
2
,比较它们的大小，可得（）
A、S
1
＞S
2
B、S
1
＝S
2
C、S
1
＜S
2
D、大小关系不能确定
（4）、反比例函数
x
y
5
的图像如图所示，P是函数图像上任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构
成OAPB，点D是对角线op上的动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是
2
A
B
D
E
Y
OC
X
（三）把握规律，图形变换
1、平移变换
（1）等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A
曲线y=
x
k
(k≠0)点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双
与△ABC的边有交点，则k的取值范围是（）
A．1＜k＜2B．1≤k≤3
C．1≤k≤4D．1≤k＜4
)0(x
x
k
y的图像上。将正方形ABCDD的边BC置于x（3）已知点（1，3）在函数
轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图像又经过A,E两点，则点E的横坐标为
2、旋转、轴对称变换：
（1）如图，将Rt△AOB放置于平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90º，点A的坐标为(1，2)．将△AOB
绕点A逆时针旋转90º，点O的对应点C恰好落在双曲线(x＞0)上，则k＝（）
A．2B．3C．4D．6
（2）四边形OABC是面积为4的正方形，函数的图像经过点B.
①求K的值
②将正方形OABC分别沿直线AB,BC翻转，得到正方形MABC、MABC.设线段MC、
NA分别与
函数的图像交于点E、F，求线段EF所在直线解析式。
3、相似变换
（1）如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上，则点E的坐标是（，）.
x
k
y
)0(x
x
k
y
3
（2）如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、……均为等腰直角三角形，直角顶点P1、
P2、P3、……在函数
4
y
x
（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、……在x轴的正半轴上，则
点P2010的横坐标为
.
4、组合图形的放置
（1）如图，正方形OAPB、等腰直角三角形ADF的顶点A，D，B在坐标轴上，点P，F在函数)0(
9
x
x
y的
图象上，则点F的坐标为（）
A、)
2
353
,
2
353
(
B、)
2
728
,
2
728
(
C、)
2
353
,
2
353
(
D、)
2
728
,
2
728
(
1.如图所示，已知
1
1
,
2
Ay
，B（2，y
2
）为反比例函数
1
y
x
图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，
当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）
A．
1
,0
2
B．
1,0
C．
3
,0
2
D．
5
,0
2
图1图2图3
4
2.如图2，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、B两点，若反比例函数
k
y
x
（x＞0）
的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）
A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤8
3.如图3，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数
4
y
x
的图象相交于C，D两点，分
别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．
其中正确的结论是（）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④
4，如图，双曲线
k
y
x
经过点A（2，2）与点B（4，m），则△AOB的面积为（）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，点P是双曲线
1
k
y
x
（k
1
＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B
两点，交双曲线
2
k
y
x
（0＜k
2
＜|k
1
|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S
1
。（用含k
1
、k
2
的式子表示）
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S
2
=S
△
PEF
-S
△
OEF
，S
2
是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
5
6．（2009•绥化）直线
3
6
4
yx
与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运
动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的
坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当
48
5
S
时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
7．（2007•益阳）如图1，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线
MP扫过正方形所形成的面积为Y，点P运动的路程为X，请解答下列问题：
（1）当x=1时，求y的值；
（2）就下列各种情况，求y与x之间的函数关系式：①0≤x≤4；②4＜x≤8③8＜x≤12；
（3）在给出的直角坐标系（图2）中，画出（2）中函数的图象．
6
8．（2009•邵阳）如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从
原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间
为t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S
1
；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S
2
；
①当2＜t≤4时，试探究S
2
与之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S
2
为△OAB的面积的
5
16
？
7
9．（2007•台州）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将
边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠
3
55
4
CEtanEDA，且
．
（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形
相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14，A（16，0），C（0，2）．
（1）如图①，若点P、Q分别从点C、A同时出发，点P以每秒2个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒4个单
位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t秒（0≤t≤4）．
①求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？
②求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，并求出此时直线PQ的解析式．
（2）如图②，若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点（不与线段BC、AO的端点重合），且四边形OQPC面
积为10，试说明直线PQ一定经过一定点，并求出该定点的坐标．
8
11（2010•密云县）附加题：已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数
k
y
x
的图象交于点A（3，2）（1）
试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比
例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴
于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
12．（2008•湖州）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示
的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数
k
y
x
（k＞0）的图象与AC
边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S=S
△
OEF
-S
△
ECF
，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
9
13．（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的
一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例
函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请
求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为
邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．