二叉树模型

二叉树模型

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2023年3月6日发(作者：绿荫镇)

可转债期权定价模型（二叉树模型）

业务说明

1、可转换公司债券定价的理论基础

可转换公司债券可以近似的看作是普通债券与股票期权的组合体。

首先，可转换公司债券的持有者可以按照债券上约定的转股价格，在转股期间内行使转

股权利，这实际相当于以转股价格为期权执行价格的美式买权，一旦市场价格高于期权执行

价格，债券持有者就可以行使美式买权从而获利。

其次，由于发行人在可转换公司债券的赎回条款中规定如果股票价格连续若干个交易日

高于某一赎回启动价格（该赎回启动价要高于转股价格），发行人有权按一定金额予以赎回。

所以，赎回条款相当于债券持有人在购买可转换公司债券时就无条件出售给发行人的一张美

式买权。当然，发行人期权存在的前提是债券持有人的期权还未执行，如果债券持有人实施

转股，发行人的赎回权对该投资者也归于无效。

第三，还有可转换债券中的回售条款规定，如果股票价格连续若干个交易日收盘价低于

某一回售启动价格（该回售启动价要低于转股价格），债券持有人有权按一定金额回售给发

行人。所以，回售条款相当于债券持有人同时拥有发行人出售的一张美式卖权。

综上所述，可转换公司债券相当于这样一种投资组合：投资者持有一张与可转债相同利

率的普通债券，一张数量为转换比例、期权行使价为初始转股价格的美式买权，一张美式卖

权，同时向发行人无条件出售了一张美式买权。所以，可转换公司债券的价值可以用以下公

式近似表示：

可转换公司债券价值≈纯粹债券价值+期权价值

2、二叉树法理论（BinomialTheroy）

根据衍生证券定价的二叉树法理论（BinomialTheroy），我们把衍生证券的有效期分为

很多很小的时间间隔∆t，假设在每一个时间段内股票价格从开始的S运动到两个新值

Su

和

Sd

中的一个。一般情况下u>1，d<1，因此S到

Su

是价格“上升”运动，S到

Sd

是价格“下

降”运动。价格上升的概率假设是P，下降的概率则为1—P。当时间为0时，股票价格为S；

时间为∆t时，股票价格有两种可能：

Su

和

Sd

；时间为2∆t时，股票价格有三种可能：2Su、

Sud

和2Sd

，以此类推，图1给出了股票价格的完整树图。在i∆t时刻，股票价格有i+1

种可能，它们是：

jijdSu，j=0,1,„..,i

图1：股票价格变动二叉树图

期权价格的计算是从树图的末端（时刻T）向后倒推进行的。T时刻期权的价值是已知

的。例如一个买权的价值为max（S

T

—X，0），而一个卖权价值为max（X—S

T

，0），其中S

T

是T时刻的股票价格，X是执行价格。由于世界是风险中性的，T-∆t时刻每个节点上的期

权价值都可以由T时刻期权价值的期望值用利率r贴现求得。同样，T-2∆t时刻的每个节点

的期权价值可由T-∆t时刻的期望值利用利率r贴现求得，以此办法向后倒推通过所有的节

点就可得到0时刻的期权价值。如果期权是美式的，则检查二叉树的每个节点，以确定提前

执行是否比将期权再持有∆t时间更有利。

在这里我们假设世界是风险中性的并利用风险中性定价原理，可以求出以上各个参数的

数值，其

计算公式为：

d

u

du

da

P

1

,







tr

t

t

ea

ed

eu

















其中：

r为无风险利率；

指可转债对应股票价格每年波动率；

Su

1-P

S

P

Sd

Sd2

S

Su2

∆t期权有效期的时间间隔；

u指二叉树图中股票价格向上运动的幅度；

d指二叉树图中股票价格向下运动的幅度；

可以验证，在极限情况下，即∆t→0时，这种股票价格运动的二叉树模型将符合几何

布朗运动模型。因此，股票价格二叉树模型就是股票价格连续时间模型的离散形式。

计算示例

（一）假设前提

1、利率期限结构是平坦的。

2、现金红利支付为零

3、不考虑违约风险对可转换公司债券收益的影响

4、公司理性地执行它的赎回期权

（二）模型中各参数的确定

1、实际上，r通常选择为等于衍生证券到期日相同的零息票债券的收益率；因此，理

论上说，中国财政部最近一期发行的三年期国债的收益率为最佳的选择。最近所发凭证式3

年期国债利率为2.42%，我们最终选择2.4%作为无风险利率r。

2、指可转债对应股票价格每年波动率，其计算公式为：

股价年波动率（StockPriceVolatility）=每交易日股价波动率×每年的交易日数

一般来说，数据越多，估计的精度越高。但是，太过长远的历史数据对预测可能作用不大。

实践中通常使用最近90天到180天的每日股票收盘价格。（具体算法参见B-S模型的需求文

档）。

3、某公司发行期限为9个月的可转换公司债券，债券面值为100，债券可以在存续期

内的任何时刻转换为2股公司股票，也可以在任何时刻以115元的价格赎回。可转债发行时，

公司股票价格为50元，股票波动率为30％。市场无风险收益曲线为水平，年收益率为10％。

该公司债券的收益率曲线也为水平，收益率为15％。

（1）投资人美式买权价值的计算

设定计算步长为1年，将下列数据

25.0,75.0%,4.2%,30tyearsTr

代入公式，可求得以下参数：

5467.0

0060.1

8607.0/1

1618.125.03.0



















du

da

p

ea

ud

eeu

tr

t

二叉树上每个节点旁边有三个数字，上面的数字代表股票价格，中间的数字代表从后

面节点递推得到的折现率，下面的数字代表可转换债券的价格。根据这些参数和当前股票价

格我们可以首先计算出图中所示各个节点的股票价格。

下面我们来计算各个节点上债券的价格。在二叉树末端节点G、H、I、J上债券的价格

分别记为

JIHG

QQQQ、、、，则：







10088.312,100max

10004.432,100max

18.11609.582,100max

84.15642.782,100max









J

I

H

G

Q

Q

Q

Q

由于在节点D之后，投资者肯定会将债券转化为股票，因此D点的折现率就是无风险

收益率10％。

为了求节点D的债券价格，我们需要计算由节点G、H递推得到的债券价格，并和节

点D的赎回价格、债券评价比较。我们将由节点G、H递推得到的债券价格记为

1D

Q，则：

98.13418.1164533.084.1565467.025.01.0

1

eQ

D

50

11.59%A

104.85

58.09

11.09%

116.18B

43.03C

13.51%

98.00

67.49

10%

134.98D

37.0F

15%

96.32

50

12.27%

E

105.56

78.42

10%

G156.84

58.09

H10%

116.18

43.04

I15%

100.00

31.88

J15%

100.00

赎回价格记为

2D

Q，则：

115

2



D

Q

债券平价记为

3D

Q

98.13449.672

3



D

Q

节点D的债券价格记为

D

Q，则：

98.134}98.134),115,98.134max{min(}),,max{min(

321



DDDD

QQQQ

由于递推得到的债券价格与平价（转换价值）相等，因此是否将债券转股对投资者无

所谓。公司对是否赎回债券也无所谓。

在节点E，折现率为

0.5467×10+0.4533×15=12.27%

由节点H、I递推得到节点E的债券价格记为

1E

Q，则：

56.1051004533.018.1165467.025.0%27.12

1

eQ

E

赎回价格记为

2E

Q，则：

115

2



E

Q

债券平价记为

3E

Q，则：

100502

3



E

Q

节点D的债券价格记为

E

Q，则：

56.105}100),115,56.105max{min(}),,max{min(

321



EEEE

QQQQ

显然，在这个价格水平，债券既不会转股，也不会被赎回。

在节点F之后，由于投资者肯定持有债券到其后赎回，因此，F点的折现率就是债券

的收益率15％。

由节点I、J递推得到节点F债券的价格记为

1F

Q，则：

32.9610025.015.0

1

eQ

F

赎回价格记为

2F

Q,则：

115

2



F

Q

债券平价记为

3F

Q，则：

08.7404.372

3



F

Q

节点D的债券价格记为

D

Q，则：

32.96}32.96),115,32.96max{min(}),,max{min(

321



FFFF

QQQQ

在节点B，折现率应当是节点D和E折现率的加权平均值，即

0.5467×10＋0.4533×12.27=11.03%

由节点D、E递推得到债券的价格记为

1B

Q，则：

34.118)56.1054533.099.1345467.0(25.0%03.11

1

eQ

B

赎回价格记为

2B

Q，则：

115

2



B

Q

债券平价（转换价格）记为18.11609.582

3



B

Q

节点B的债券价格记为

B

Q，则：

18.116}18.116),115,34.119max{min(}),,max{min(

321



BBBB

QQQQ

显然，在B节点公司将选择赎回债券，从而强迫投资者立即转股，得到实际价格为

116.18。

在节点C，折现率应当是节点E和F折现率的加权平均值，即

0.5467×12.27＋0.4533×15＝13.51%

由节点E、F递推得到债券的价格记为

1C

Q，则：

98)32.964533.056.1055467.0(25.0%51.13

1

eQ

C

债券平价（转换价格）记为

2C

Q，则：

115

2



C

Q

节点C的债券价格记为

C

Q，则：

98}06.86),115,98max{min(}),,max{min(

321



CCCC

QQQQ

显然，在C点债券既不会转股，也不会被赎回。

为了求A节点的折现率，我们假设节点B的折现率为10%（因为在节点B发生转股）。

节点A的折现率就是

0.5467×10＋0.4533×13.51=11.59%

在节点A债券的价格为

85.104)984533.0105467.0(25.0%59.11eQ

A

我们比较一下，如果这个债券没有转股权和赎回期权，其价值为

36.8910075.0%15e（对于实际计算时，这部分就是可转债的债底）

因此，这个可转债债券中期权的价值为：

104.85-89.36=15.49