幂函数图像
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2023年3月5日发(作者：发财树怎么养护)幂函数的性质与图像
【教学目标】
1、掌握幂函数的概念。
2、掌握幂函数的性质和图像。
3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。
4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。
【教学重点】幂函数的图像与性质
【教学难点】幂函数的图像
教学过程
一、回顾与本堂课相关的知识点
(1)若
0ab
，则0kkab。(
*kN
)
(2)若
0ab
，则0kkab。（
*kN
且
1k
）
(3)有理数集Q={|,,,0,,
q
xxpqZppq
p
互质}
(4)如图:
二、新课
1、引入熟悉的函数——这些函数都可以写成底数为x，指数是一
个有理数的形式。
(1)2yx3yx
1
2yxx
1
3
3yxx
(2)1
1
yx
x
2
2
1
yx
x
3
3
1
yx
x
1
2
1
yx
x
1
3
3
1
yx
x
2、定义
ak
指数
底数
幂
这节课是学
习一类新的
函数——幂
函数。因此
课前先要复
习相关的知
识点。
由一些熟悉
的函数通过
变形，发现
这类函数都
可以写成
“幂”的形
式。
形如
q
pyx
，（其中
,,0pqZp
且,pq互质）的函数叫幂函数。
注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，指数是有理数
q
p
。
练习
判断：下列各式中表示幂函数的有（）答案：CEF
A、
1
23yxB、xyxC、
2
3yxD、2xy
E、7
4yxF、0.5yxG、2yx
思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？
（回顾第三章的内容——函数的性质
考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像）
3、研究探索
例1、研究函数
1
2yx的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。
解：函数
1
2yx
的定义域为(0,)，值域为(0,)。
（1）奇偶性。
因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶
的函数。
（2）单调性。
对任意
12
,(0,)xx，且
12
xx
可得
12
0xx则
12
11
0
xx
即
12
yy
所以函数
1
2yx
在(0,)上为减函数。
给出幂函数
的定义，由
运用定义来
判断几个函
数是否是幂
函数。
幂函数会具
有什么性
质？通过回
忆函数的性
质，从这几
个方面入
手。顺便可
以复习与函
性质相关的
知识点。数
x
21
0.5
1.4
1
0.7
y
O
由以上几点分析函数的图像的性质：
由
0,0xy
，可知函数的图像只在第一象限；
由函数非奇非偶，可知图像不对称；
由函数是减函数，可知y随x的增大而减小。
描点作图：
例2、指出
2
3yx的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的
图像。
解：
2
3
2
3yxx
定义域为R，值域为[0,)
（1）奇偶性。
对任意xR，满足xR，
使得3
22
3()()()fxxxfx
所以该函数是偶函数。
（2）单调性。
对任意
12
,[0,)xx，且
12
xx
x0.250.51234
1
2yx
2.01.410.70.60.5
1
2yx
x
y
O
1
2
3yx
1
所以22
12
0xx，故有22
33
12
0xx即
12
yy
所以
2
3yx在
[0,)
上为增函数。
同理可得
2
3yx在
(,0]
上为增减数。
描点作图：
x0
1
4
123
2
3yx
03
1
16
13439
在作函数
2
3yx
的图像时，可以先描点作出该函数在第一象限
内的图像，再由其奇偶性作出对称的另外一部分图像。
小结：研究函数图像的基本步骤（方法）
1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。
2、由单调性判断图像的变化趋势。
3、由奇偶性判断函数图像是否对称。
练习：指出函数
7
3yx
的定义域、值域、奇偶性、单调性，
并作出它的大致图像。
作图时不妨
考虑到函数
的奇偶性与
函数图像对
称性之间的
关系，更加简
便。
小结：研究函
数图像的基
本方法不仅
适用于幂函
数，对任意函
数都是可行
的。
O
O
y
0
q
p
1
1
x
y定义域：R
值域：R
奇偶性：奇
单调性：增函数
4、归纳总结
思考：幂函数
q
pyx
有哪些性质？（分析幂函数在第一象限内图像
的特点。）
小结：幂函数图像在第一象限的特点。
（1）图像必过
(1,1)
点。
（2）1
q
p
时，过
(0,0)
点，且随x的增大，函数图像向y轴方向
延伸。在第一象限是增函数。
（3）1
q
p
时，图像是直线y=x。在第一象限内是增函数。（在整
个定义域内都是增函数。）
10
q
p
1
q
p
1
q
p
x
10
n
m
1
1
学生自己根
据函数的性
质来作函数
的图像，体
会研究函数
图像的方
法。
总结：幂函
数图像在第
一象限内的
特点。
（4）10
q
p
时，随x的增大，函数图像向x轴方向延伸。在第
一象限是增函数。
（5）0
q
p
时，随x的增大，函数图像与x轴、y轴无限接近，
但永不相交。在第一象限是减函数。
三、本课总结：
1、了解幂函数的概念。（并回顾了相关的知识点）
2、学习如何通过对函数性质的研究作出函数的图像。
3、掌握幂函数的图像与性质。
四、作业
练习册P411—3题
一课一练P74—75
课堂总结，
归纳本堂课
的主要内
容：即不仅
学习了幂函
数，更懂得
如何运用函
数性质研究
函数图象。
体会数形结
合的思想在
解题和思考
中的应用。