应力集中的概念

应力集中的概念

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2023年3月4日发(作者：张金金)

应力与应力状态分析

拉伸模量

拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：

拉伸模量（㎏/c㎡)=△f/△h(㎏/c㎡)

其中，△f表示单位面积两点之间的力变化，△h表示以上两点之间的应变化。

更具体地说，△h＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L表示拉伸长后的

长度。

§4-1几组基本术语与概念

一、变形固体的基本假设

1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，

并且各点处的力学性质完全相同。

根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性

质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各

点坐标的连续函数。

2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。

3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。

根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构

件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。

二、应力的概念

1、正应力的概念

分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。

由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。

沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。

应力的常用单位有牛/米2（

2/mN

，1

2/mN

称为1帕，代号a

P

）、千米/米2（

2/mKN

，

1

2/mKN

称为1千帕，代号Ka

P

），此外还有更大的单位兆帕（Ma

P

）、吉帕（Ga

P

）。

几种单位的换算关系为：

1Ka

P

=

310a

P

1Ma

P

=

310

Ka

P

1Ga

P

=

310

Ma

P

=

610

Ka

P

=

910a

P

2、切应力与全应力的概念

与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。

K点处某截面上的全应力K

p

等于该点处同一截面上的正应力K



与切应力K



的矢量

和。

三、位移、变形及应变的概念

变形：构件的形状和尺寸的改变。

位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。

变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件

的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。

单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。

应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。

线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。ε=Δu/u

角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。γ=90°-θ

应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。

四、受力构件内一点处的应力状态的概念

构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。

研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都

是必需的。

为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。

主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。

主应力：主平面上的正应力称为主应力。

可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在

主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。

一点处的三个主应力分别用σ1,σ2和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，

即σ1≥σ2≥σ3。

原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对

于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。

主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。

应力状态的分类：

空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零

平面（二向）应力状态：一个主应力为零

单向应力状态：两个主应力为零

一种特殊的二向应力状态——纯剪应力状态：单元体的四个面上有切应力，各面上均无

正应力。

简单应力状态与复杂应力状态：单向应力状态和纯剪应力状态合称为简单应力状态，除

了二向纯剪应力状态之外的其他二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。

五、切应力互等定理

切应力互等定理：单元体的两个相互垂直的平面上，垂直于公共棱边的切应力同时存在，

都指向或都背离公共棱边，并且大小相等。

六、应力与应变之间的关系

试验表明，当只要杆件处于线弹性阶段（应力不超过一定限度），杆件内某点的主应力

与主应变之间以及切应力与剪应变之间存在一定的关系，这种关系统称为胡克定律。

虎克定理的表现形式有以下几种：单向应力状态下的胡克定律；轴向拉压杆胡克定律的

另一种表达形式；剪切胡克定律；广义胡克定律。

注意：所有胡克定律的适用条件均为：材料处于线弹性阶段。

单向应力状态下的胡克定律和剪切虎克定律均可看作是广义虎克定律的一种特例。

1、单向应力状态下的胡克定律

单向应力状态下，在材料的线弹性范围内，单元体沿正应力σ方向的线应变ε与正应力

σ之间存在如下的正比关系：

σx=Eεx

式中比例常数E称为材料的弹性模量，其常用单位为GPa。

弹性模量E只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。

单向应力状态下横向应变与纵向应变之间的关系：





泊松比μ也属于材料的弹性常数，它也只与材料的种类有关。

2、轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式

EA

lF

lN

这是轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式。它表明：对于轴向拉压杆，当等直杆段内

轴力为常数时，只要杆件处于弹性状态（正应力不超过一定限度），则其伸缩变形量与轴力

成正比，与杆段原长成正比，与杆件横截面积成反比，比例系数即材料的弹性模量。

3、剪切胡克定律

在材料的线弹性范围内，单元体的切应力τ引起的角应变γ与切应力τ之间存在如下的

正比关系：

τ=Gγ

式中比例常数G称为材料的剪切弹性模量（又称为切变模量），其常用单位为GPa。

剪切弹性模量G只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。

4、广义虎克定律

三向应力状态下主单元体沿三个主应力1



、2



、3



方向的线应变分别用1



、2



、3



表示，这种沿主应力方向的线应变称为主应变(principalstrain)。

对于各向同性材料，在应力不超过其比例极限时，可以用叠加法来求其主应变。























2133

1322

3211

1

1

1







E

E

E

上式表示在三向应力状态下，主应变和主应力或应变分量与应力分量之间的关系，称为广义

虎克定律，它表明各向同性材料在弹性范围内应力和应变之间的线性本构关系。广义虎克定

律只有在应力不超过材料的比例极限时才能使用。

使用上式时，其中的1



、2



、3



应以代数值代入，求的1



、2



、3



中，正值表示伸

长，负值表示缩短，三个主应变仍按代数值大小顺序排列，即321



。单向和二向应

力状态可以认为是三向应力状态的特例，上式仍然适用。

当单元体的各面上既有正应力，又有切应力时，即成为三向应力状态的一般情况。可以

证明，在小变形条件下，切应力引起的线应变比起正应力引起的线应变是高阶微量，可以忽

略，即可认为线应变只与正应力有关，而与切应力无关。此时，若将上式中应力和应变的脚

标1、2、3相应的改为x、y、z，等式仍然成立，即：





















yxzz

xzyy

zyxx

E

E

E







1

1

1

应注意按上式求出的应变x



、y



、z



不一定是主应变。

在三向应力状态下，切应力和切应变之间也有一定关系，即

τxy=Gγxy

τ

yz

=Gγ

yz

τ

zx

=Gγ

zx

广义胡克定律应用非常广泛，例如弹性力学分析物体的应力和应变时，需用它作为物理

方程；在实验应力分析中，根据某点处测出的应变，可以计算主应力或正应力、切应力。

5、弹性常数E、G、μ之间的关系

对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、μ存在如下关系

上式表明3个常数只有2个是独立的

§4-2轴向拉压杆与受扭杆横截面上的应力

一、轴向拉压杆横截面上的应力

由于轴向拉（压）杆横截面上只有均匀分布的拉（压）力，故横截面上各点只有正应力，

且正应力相等。设轴向拉（压）杆横截面上轴力为N

F

，面积为A，则横截面上任一点的正

应力为

A

F

N

轴力N

F

为拉力时，正应力



取正号；N

F

为压力时，



取负号。

由于

2266/1/10101mmNmNPMP

aa



，因此，在计算应力值时，只要力的单

位换算为N，长度单位换算为mm，得到的应力单位就是a

MP

。

二、应力集中的概念

等直杆不论受轴向拉力作用还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的正应

力，但是，若等直杆件横截面有局部削弱的情况（如开槽、钻孔等），即使外力仍是轴向拉

压，被削弱横截面上的正应力也不再均匀分布。实测表明，在被削弱横截面上，靠近削弱部

位的正应力急剧增大的现象，称为应力集中。

三、圆截面扭转杆横截面上的应力分布规律及其计算

圆杆受扭时，横截面上的内力是扭矩，该扭矩是横截面上切线方向分布内力的合力偶矩。

也就是说，只发生扭转变形的圆轴横截面上有且只有切应力。

圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为

P

x

I





M

)(

P

I

称为截面的极惯性矩。

对于受扭圆轴，其横截面上切应力在圆轴边缘处达到最大，即：

P

x

P

x

I

r

I

MM

max

max







若令

r

I

WP

P



)1(2



E

G

P

W

称为抗扭截面系数，则又有

P

x

W

M

max



p

I

、p

W

的计算

对于直径为

d

的圆截面杆：

32

4d

I

P





16

3d

W

P





对于空心圆截面杆，其内径为

d

，外径为

D

，内外径比值

D

d



，有

)1(

323232

4

444







DdD

I

P

)1(

16

4

3







D

W

P

四、矩形截面自由扭转杆的扭转切应力

非圆截面杆扭转时，若截面翘曲不受约束，这时杆的横截面上只有切应力而没有正应力，

这种扭转称为自由扭转。若杆端存在约束或杆的各截面上扭矩不同，这时，横截面的翘曲受

到限制，因而各截面上翘曲程度不同，这时杆的横截面上除有切应力外，还伴随着产生正应

力，这种扭转称为约束扭转。由约束扭转产生的正应力，在实体截面杆中很小，可不予考虑；

但在薄壁截面杆中，却不能忽略。

1、矩形截面杆的扭转

矩形截面杆扭转时，横截面周边上各点处的切应力平行于周边，凸角处和截面形心处无

切应力存在，长边中点处的切应力是整个横截面上的最大切应力。

2、开口薄壁截面杆的扭转

工程中广泛采用薄壁杆件。薄壁杆件横截面的壁厚平分线称为中线。若中线是一条不闭

合的线，这种杆称为开口薄壁截面杆；若中线是一条闭合线，这种杆称为闭口薄壁截面杆。

可以证明，形状和尺寸相同的闭口薄壁截面与开口薄壁截面相比，在相同的外力偶矩作

用下，前者所产生的最大切应力和最大扭转角比后者小得多，即闭口薄壁截面形式的受力和

变形性能比开口薄壁截面好。

§4-3截面的几何性质

一、研究截面几何性质的意义

不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小及杆件的尺寸，且与杆件截

面的几何性质有关。研究杆件的应力与变形，研究杆件的强度、刚度、稳定问题，都要涉及

到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量，这些量统称为截面的几何性质。例如形心、静矩、

惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。

二、形心、静矩及其相互关系

定义下列积分：



A

y

zSdA

A

z

ySdA

分别为图形对于

y

轴和z轴的静矩，其单位为3m

。

图形几何形状的中心称为形心，可以将面积看作垂直于图形平面的均匀分布力，则形心

即为合力的作用点。设cc

zy、

为形心坐标，根据合力矩定理有：

AyS

cz



；

AzS

cy



。

由上述定义可以得出结论：

1静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对有些坐标轴为

正，对有些为负；对于通过形心的坐标轴为零。

2如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，就可以计

算图形的静矩。

实际计算中，对于简单的规则的图形，其形心位置可以直接判断，例如矩形、正方

形、圆形、正三角形等图形形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干简

单图形（可以直接确定形心位置的图形）；然后由式

AyS

cz



及

AzS

cy



分别计算它们

对于给定坐标的静矩，并求代数和；再利用式

AyS

cz



及

AzS

cy



既可得组合图形的形

心坐标。

三、惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径

定义下列积分：



A

y

dAzI2

、



A

z

dAyI2

分别为图形对

y

轴和

z

轴的截面惯性矩。

定义积分



A

P

dAI2

为图形对于点O的极惯性矩。

定义积分



A

yz

yzIdA

为图形对于

zy、

两个坐标轴的惯性积。

定义

A

I

iy

y



，

A

I

iz

z



分别为图形对于坐标轴

zy、

的惯性半径。

由上述定义可知：

1、惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能

为负。三者的单位均为4m

或4mm

。

2、因为

222yz

，所以由上述定义有：



A

zy

A

P

IIdAzydAI)(222

3、根据极惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于其形心的极惯性矩为：

32

πd4



P

I

或

2

πR4



P

I

式中，

d

为圆的直径；

R

为圆的半径。

类似地，还可以得到圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为：

)1(

32

πD

4

4



P

I

D

d



式中，

d

为圆环内径，

D

为圆环外径，如图4-3-3所示。

4．根据惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于通过其形心的任意轴惯性矩为：

64

4d

II

yZ





对于内径为

d

，外径为

D

的圆环截面

)1(

64

4

4







D

II

yZD

d



对于坐标轴过形心点且分别平行于两边的矩形截面，其惯性矩为：

1212

33hb

I

bh

I

yZ

，

可以看出，应用定义进行积分，可以计算各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。

另外，对于由简单几何图形组合而成的图形，为避免复杂的数学运算，一般不采用积分的方

式计算惯性矩；而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关

系，由求和的方式求出。

四、惯性矩平行移轴公式

1、图形对于任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面

积与两平行轴间距离平方的乘积。

2、因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总

是增加的。

六、主惯性轴与形心主惯性轴、主惯性矩与形心主惯性矩

定义：过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一坐标轴便称为过这

一点的主轴。图形对于主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。对于通过形心的主轴

称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主

轴与形心主矩。

当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。

§4-4梁横截面上的应力

弯曲是杆件的基本变形形式之一。梁平面弯曲时横截面上一般既有正应力又有切应力。

一、梁横截面上的正应力

横截面上只有弯矩而无剪力的梁段叫做纯弯曲梁段，既有弯矩又有剪力的梁段称为横力

弯曲梁段。

（一）纯弯曲梁横截面上的正应力

设想梁是由无数根纵向纤维组成的，梁在正弯矩作用下，靠近顶面的纵向纤维缩短，靠

近底面的纵向纤维伸长，由连续性假设知，从梁顶部到底部的纵向纤维由缩短到伸长是连续

变化的。所以，其间必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，该层称为中性层。中性层与横

截面的交线称为中性轴。中性轴将梁的横截面分成了两个区域，中性轴以上的为受压区，

中性轴以下为受拉区。

梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：

y

I

M

z



由上式知，梁横截面面上任一点处的正应力



，与截面上的弯矩

M

和该点到中性轴的

距离

y

成正比，而与截面对中性轴的惯性矩z

I

成反比。

（二）正应力公式的适用条件

1）由正应力计算公式（9-4）式的推导过程可知，它的适用条件是：①纯弯曲梁；②梁

的最大正应力



不超过梁所用材料的比例极限P



；

2）由矩形截面推导出的公式（9-4），也适用于圆形、工字形、T形、圆环形等其它截

面形式的梁。

3）横力弯曲是弯曲问题中最常见的情况，在这种情况下，梁横截面上不仅有正应力存

在，而且还有切应力的存在。截面上存在的从上到下各点不均匀的切应力将引起不均匀的错

动，因此，横截面不可能再保持为平面。而且由于横向力的存在，将引起梁纵向纤维间的相

互挤压，因此，对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设均不成立。即切应力的存在对

正应力的分布规律有影响。弹性理论的精确分析告诉我们，这种影响与梁的跨高比l/h有关，

跨高比l/h越大，影响越小。即梁越是细长，影响越小。l/h>5时，横力弯曲时可近似地用

纯弯曲时的正应力计算公式计算弯曲正应力。

对于T形截面梁，最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上，其原因是中性轴不

是对称轴。中性轴为对称轴时，tmax与Cmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上；

中性轴为非对称轴时，Ltmax与Cmax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所

在的截面上。

二、梁横截面上的切应力

（一）矩形截面梁横截面上的切应力分布规律

两个假设：

(1)截面上任何点处的切应力



方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；

(2)切应力沿横截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离处的各点的切应力相等。

根据弹性力学进一步的研究可知，以上两条假设，对于高度为

h

大于宽度

b

的矩形截面

是足够准确的。有了上述两条假设，利用切应力双生互等定律，仅通过静力平衡条件，便可

导出切应力的计算公式。

*

Q

bI

SF

z

z

这就是弯曲切应力的一般表达式。

式中



z

s

为横截面上所求切应力作用点的水平横线以下（或以上）部分截面积对中性轴的面

积矩；Q

F

为所要求切应力横截面上的剪力；

b

为所求切应力点处的截面厚度；z

I

为横截面

对中性轴的惯性矩。

对矩形截面梁

)y-

4

h

(

6

2

2

3

Q

bh

F



。可见，矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度

按抛物线规律分布，上下边缘点处切应力为零，中性轴处切应力最大。

二、工程中常用截面的最大弯曲切应力

1．矩形截面梁的最大弯曲切应力

5.1

2

3

2

3

Q

max



A

F

bh

F

Q

2．工字形截面梁的最大弯曲切应力

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。横截面上的剪力绝大数由腹板承担，极少数由翼缘承

担。对于腹板上的切应力仍可由公式

*

Q

bI

SF

z

z

计算，腹板上的最大切应力可由下式计算

)(

max

max





ZZ

Q

SIb

F



式中，

b

为工字钢板厚度。

3.圆形截面梁的最大弯曲切应力

半径为

R

的圆截面梁，其最大切应力为：







3

4

3

4

3

4

2

Q

max



A

F

R

F

Q

§4-5平面应力状态分析

平面应力状态的应力分析，也就是根据处于平面应力状态的点处某些截面上的已知应力

确定通过该点其他截面上的应力，进而确定主应力和主平面。

一、任意方向面上的应力











2

yx



2

yx



2cos

x



2sin





＝

2

yx



2sin

x



2cos

单元体上任意两个互相垂直方向面上的正应力之和为常数。

二、主应力和主平面

主平面的方位角0



按下式计算：

tg2



0

yx

x







2

主应力计算公式：









j

i





2

yx





2

2)

2

(

x

yx







将由上式求得的两个主应力i



、j



与单元体零应力面上的零值主应力比较，便可确定

三个主应力1



、2



和3



。

三、应力圆

应力圆绘制在以σ为横坐标，τ为纵坐标的直角坐标系中，圆心坐标为（

2

yx



，0），

半径为

2

2)

2

(

x

yx







。

⒉应力圆的作图方法

取



直角坐标系；选择适当的比例尺量取横坐标OB1=x



，纵坐标B1Dx=x



，得点x

D

；

同理，量取横坐标OB2=y



，纵坐标B2Dy=y



，得点y

D

（如图4-5-3b所示）；连x

D

y

D

，

与



轴交于C点，以C点为圆心，x

CD

（或y

CD

）为半径作圆，即得单元体对应的应力圆。

⒊应力圆的应用

⑴确定单元体任意斜截面上的应力

若欲求单元体



面上的应力,可自应力圆上的x

D

点按照单元体上



角的转向沿圆周转

2



角至E点，E点的横、纵坐标值就代表了



面上的正应力



和切应力



。

应力圆与单元体存在着如下对应关系：

①点面对应——应力圆圆周上任一点的横、纵坐标值分别对应着单元体对应截面上的正

应力和切应力。圆上任一直径两端点的坐标对应着单元体上互相垂直的两个平面上的应力。

②夹角两倍，转向相同——应力圆圆周上任意两点所引半径的夹角为单元体上对应两个

截面外法线之间的夹角的两倍，而且二者的转向相同。

利用应力圆解题的关键是：点面对应，先找基准。若应力圆上以x

D

点为基准，则单元

体上应以x面为基准。

（2）确定主应力的大小和主平面的位置

应力圆与



轴的两个交点A1和A2的横坐标值分别为最大和最小，纵坐标值为零，这

两个点分别对应着单元体上的两个主平面，因此这两个点的横坐标分别代表着两个主平面上

的主应力大小。

主平面的位置也可以由应力圆来确定，在应力圆上以x

D

点为基准，由x

D

点沿圆周转至

A1点（或A2点）所对的圆心角为20



（注意2

90

0



），则在单元体上应以x面为基

准，由其外法线x以相同的转向转角度0



（

45

0



），这样就确定了i



（或j



）所在主

平面的外法线。在应力圆上由A1点到A2点所对圆心角为

180

，则在单元体上，两个主应

力i



和j



所在主平面的外法线之间的夹角为

90

，说明两个主平面互相垂直。

由确定主平面位置的解析式解出的两个角度0



和0



/=

90

0



，分别代表着i



和j



的方向。若仅用解析式计算时，哪个角代表i



的方向，哪个角代表j



的方向，还需加以判

断。经分析可知，较大的主应力i



总是偏向于x



和y



之中的较大者；较小的主应力j



总

是偏向于x



和y



之中的较小者。当x



＝y



时，

45

0



，主应力方向可直接由单元体

上的切应力指向判断。为便于记忆，上述规则可用口诀表述为：“大偏大，小偏小，夹角不

比

45

大”。

§4-6受力构件内一点处的最大应力

通过受力构件内任意一点处的最大正应力max



和最大切应力max



，都可以由该点的最

大主应力1



和最小主应力3



所作的应力圆来确定，最大正应力max



也就是最大主应力1



，

最大切应力max



为最大应力圆的半径，即：

max



1



2

31

max









最大切应力max



所在平面与2



平行，且与1



和3



所在的主平面各成

45

角。

上述结论同样适用与单向和二向应力状态。

§4-7各种基本变形杆件的应力状态

一、轴向拉压杆件的应力状态分析

轴向拉伸杆件内任一点处于单向应力状态。

轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上，该截面上不存在切应力。

轴向拉压杆件的最大切应力发生在45°斜截面上，该斜截面上同时存在正应力。

轴向拉压杆件纵截面上不存在任何应力。

二、扭转杆件应力状态分析

扭转圆杆内任一点除了轴线上的点处无应力外，其余各点处于纯切应力状态。

扭转圆杆的最大切应力发生在横截面上，该截面上不存在正应力。

三、梁的应力状态分析

在梁的任一横截面m-m上，梁顶和梁底处的单元体均处于单向应力状态。中性层处的

单元体处于纯切应力状态。梁顶、梁底与中性层之间各点处的单元体均为一般二向应力状态。

四、主应力轨迹线的概念

所谓主应力轨迹线，是两组正交的曲线；其中一组曲线是主拉应力轨迹线，在这些曲线

上，每点的切线方向表示该点的主拉应力方向；另一组曲线是主压应力轨迹线，在这些曲线

上，每点的切线方向表示该点的主压应力方向。

梁的主应力轨迹线有如下特点：主拉应力轨迹线和主压应力轨迹线互相正交；所有的主

应力轨迹线在中性层处与梁的轴线夹45°；在弯矩最大而剪力等于零的截面上，主应力轨

迹线的切线是水平的；在梁的上、下边缘处，主应力轨迹线的切线与梁的上、下边界线平行

或正交。绘制主应力轨迹线时，可先将梁划分成若干细小的网格，计算出各节点处的主应力

方向，再根据各点主应力的方向，即可描绘出主应力轨迹线。

§4-8组合变形杆内危险点的应力状态分析

一、弯弯组合变形梁内危险点的应力状态

弯弯组合变形的情况有斜弯曲和双向弯曲两种情况，这两种情况都可以分解为两个方向

的平面弯曲。

根据弯弯组合变形梁两个平面内的弯矩图可确定危险截面。

应用叠加法原理可确定危险截面上的危险点，并可计算出危险点处的应力值。

弯弯组合变形梁内危险点的应力状态通常是单向应力状态。

二、拉（压）弯组合变形杆内危险点的应力状态

拉（压）弯组合变形的情况有一般的拉（压）弯组合、偏心拉伸、偏心压缩等，这几种

情况都可以分解为轴向拉伸（或轴向压缩）和一个或两个平面弯曲。

根据拉（压）弯组合变形杆的轴力图和弯矩图可确定危险截面。

应用叠加法原理可确定危险截面上的危险点，并可计算出危险点处的应力值。

拉（压）弯组合变形杆内危险点的应力状态通常是单向应力状态。

三、受压杆件的截面核心

对于受压杆件，当压力作用在截面形心处时，杆件轴心受压，发生的变形是轴向压缩变

形；当压力作用点偏离截面形心时，杆件偏心受压，发生的变形是压弯组合变形。

对于受压杆件，当压力作用在横截面形心周围的某一区域内时，横截面上就只产生压应

力而不出现拉应力，这一区域称为截面核心。

四、弯扭组合变形杆内危险点的应力状态

弯扭组合变形可以分解为扭转变形和一个或两个方向的平面弯曲。

根据弯扭组合变形杆的扭矩图和弯矩图可确定危险截面。

应用叠加法原理可确定危险截面上的危险点，并可计算出危险点处的应力值。

弯扭组合变形杆内危险点的应力状态通常是一般的二向应力状态。