指数函数对数函数

指数函数对数函数

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重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程〔含不等式〕的解法;数学

思想方法的运用．

难点:幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质．

一、指数与对数的运算法那么

1、指数的运算法那么

①mnmnaaa②m

mn

n

a

a

a

③nm

mnmnaaa④1

n

naa

2、对数式与指数式的互换

logb

a

aNbN〔0a且1a〕、〔上式中bR，0N〕

3、对数的运算法那么

〔1〕对数运算法那么

①logloglog

aaa

MNMN②logloglog

aaa

M

MN

N



③loglogn

aa

MnM④

1

loglogn

aa

MM

n



〔2〕几个常用的恒等式

①log

a

NaN②logN

a

aN③

log

log

log

b

a

b

N

N

a

〔换底公式〕

④

1

log

loga

b

b

a

⑤loglog

m

n

a

a

n

bb

m



例1、求：8

2

log9

log3

的值．

解：8

2

lg9

log9

lg9lg22lg3lg22

lg8

lg3

log3lg833lg233

2

lglg

lg

．

二、指数函数与对数函数

1、指数函数与对数函数的图像和性质

指数函数xya和对数函数log

a

yx互为反函数，所以它们的图像关于yx对称．

指数函数对数函数

一般形

式

xya

〔0a且1a〕

log

a

yx

〔0a且1a〕

定义域

,0,

值域

0,,

图像

性质

〔1〕0y〔1〕0x

〔2〕图像经过0,1点〔2〕图像经过1,0点

指数函数对数函数

性质

1a01a1a01a

当0x时，

1y

当0x时，

01y

当1x时，

0y

当01x时，

0y

单调递增单调递减单调递增单调递减

2、指数函数与对数函数的图像的应用

例2、在以下一次函数baxy〔10a〕与指数函数bxay的图像中，正确的选

项是

〔〕

O

x

y

1

1a

01aO

x

y

1

1a

01a

yy

yy

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解：由()A，01b，那么指数函数x

bxbyaa中底数01ba，不吻合；

由()B，0b，那么指数函数x

bxbyaa中底数1ba，不吻合；

由()C，1b，那么指数函数x

bxbyaa中底数01ba，不吻合；

所以，应该选()D。

例3、当1a时，在同一坐标系中，函数xya与log

a

yx的图像

是〔〕

解：∵1a，∴由log

a

yx的图像可知只有A、B可选，

又∵

1x

xya

a











的底数

1

01

a

，∴根据函数xya的图像应选A．

3、指数函数与对数函数的性质的应用

例4、比拟三个数0.76，60.7，

0.7

log6的大小关系．

解：0.70661，600.70.71，

0.70.7

log6log10，

所以0.76

0.7

60.7log6．

例5、12x，求函数13239xxfx的最大值和最小值．

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

y

x

y

x

y

x

y

x

解：设3xt，∵12x，∴

1

9

3

t，那么2

236312yttt，

所以，当3t即1x时，fx取得最大值

12

；

当9t即2x时，fx取得最小值

24

．

例6、求函数

22

21

x

x

y







的值域．

解：由

22

21

x

x

y







，得2122xxy，即122xyy，

因为1y，所以

2

2

1

x

y

y







．又xR，故20x，因此

2

0

1

y

y







，解得21y．

因此，函数的值域为2,1．

例7、设函数log

a

fxx在区间2,上总有1fx成立．求实数a的取值范围．

解：分1a和01a两种情况讨论，于是有

1

log21

a

a









或

01

log21

a

a









，

解得12a或

1

1

2

a．

例8、设函数lgfxx，假设0ab，且fafb．求证：1ab

证明：∵fafb，∴lglgab．

上式等价于22lglgab，即lglglglg0lglg0

a

ababab

b

，

由0ab．得01

a

b

，∴lg0

a

b

，所以lg0ab，即1ab．

例9、函数

2

log

2a

xb

fx

xb







〔0a，1a，0b〕

（１）求函数fx的定义域；

（２）判断函数fx的奇偶性，并说明理由；

解：〔１〕由

2

0

2

0

xb

xb

b



















，解得2xb或2xb，

所以函数的定义域为,22,bb．

〔２〕显然函数的定义域关于原点对称．

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对函数fx的定义域,22,bb

内任意实数x，有



222

logloglog

222aaa

xbxbxb

fxfx

xbxbxb







，且函数fx不恒为零，

所以，函数fx是奇函数．

例10、log2

a

yax在0,1上是x的减函数，求实数a的取值范围．

解：∵0a，∴2uax在0,1上是减函数，

因此函数log

a

yx在0,1上是增函数，即1a，

根据题设有

1

20

a

a











，即12a．

4、指数函数与对数函数的综合应用

例11、函数22lg111fxaxax







．假设fx的定义域为,，求

实数a的取值范围；

解：由题意知，不等式221110axax对一切xR恒成立，其充要条件是



2

2

2

10

141

a

aa















或1a，解得1a或

3

5

a．

例12、函数233xxya，当1,3x时有最小值8，求a的值．

解：令

2

2

33

33

24

uxxu









，

当

3

1,3

2

x时，u取得最小值

3

4

；

当3x时，u取得最小值３．

当1a时，2

3

33

48xxyaa，∴16a；

当01a时，23338xxyaa，∴2a．