求函数的解析式

求函数的解析式

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2023年3月4日发(作者：浓硫酸性质)

高一数学函数解析式的七种求

法(总4页)

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2

函数解析式的七种求法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1设

)(xf

是一次函数，且

34)]([xxff

，求

)(xf

解：设

baxxf)()0(a

，则

二、配凑法：已知复合函数

[()]fgx

的表达式，求

()fx

的解析式，

[()]fgx

的表达式容易配

成

()gx

的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数

()fx

的定义域不是原复合函数的定义

域，而是

()gx

的值域。

例2已知

2

2

1

)

1

(

x

x

x

xf)0(x

，求

()fx

的解析式

解：

2)

1

()

1

(2

x

x

x

xf

，

2

1



x

x

三、换元法：已知复合函数

[()]fgx

的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法

一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知xxxf2)1(，求

)1(xf

解：令1xt，则

1t

，2)1(tx

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式

解：设

),(yxM

为

)(xgy

上任一点，且

),(yxM



为

),(yxM

关于点

)3,2(

的对称点

则























3

2

2

2

yy

xx

，解得：















yy

xx

6

4

，

点),(yxM



在)(xgy上

把















yy

xx

6

4

代入得：

整理得672xxy

3

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程

组，通过解方程组求得函数解析式。

例5设

,)

1

(2)()(x

x

fxfxf满足

求

)(xf

解x

x

fxf)

1

(2)(

①

显然

,0x

将x换成

x

1

，得：

x

xf

x

f

1

)(2)

1

(

②

解①②联立的方程组，得：

例6设)(xf为偶函数，

)(xg

为奇函数，又

,

1

1

)()(





x

xgxf

试求)()(xgxf和的解析式

解)(xf为偶函数，

)(xg

为奇函数，

又

1

1

)()(





x

xgxf

①，

用x替换x得：

1

1

)()(





x

xgxf

即

1

1

)()(





x

xgxf

②

解①②联立的方程组，得

1

1

)(

2



x

xf

，

xx

xg





2

1

)(

利用判别式求值域时应注意的问题

用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域

掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函

数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据

例1、求函数

12

2







xx

xx

y

的值域

4

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由

12

2







xx

xx

y得：

（y-1）x2+(1-y)x+y=0①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，

因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：

一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验

例：求函数

322

1

2

2







xx

xx

y的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（＊）

∵

Rx

，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得

2

1

10

3

y。

故所求函数的值域是

]

2

1

,

10

3

[

错因：把

2

1

y代入方程（＊）显然无解，因此

2

1

y不在函数的值域内。事实上，

2

1

y

时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（＊）

（1）当

2

1

y时，方程（＊）无解；

（2）当

2

1

y时，∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得

2

1

10

3

y。

综合（1）、（2）知此函数的值域为

)

2

1

,

10

3

[

二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化

例2：求函数

6

34

2

2







xx

xx

y

的值域。

错解：将函数式化为0)36()4()1(2yxyxy

5

（1）当

1y

时，代入上式得

093x

，∴

3x

，故

1y

属于值域；

（2）当

1y

时，0)25(2y，

综合（1）、（2）可得函数的值域为

Ry

。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3x与2x虽不在定义域内，但是方程的

根），因此最后应该去掉

3x

与

2x

时方程中相应的y值。所以正确答案为

1|{yy

，且

}

5

2

y

。

三、注意变形后函数值域的变化

例3：求函数21xxy的值域。

错解：由已知得21xxy①，两边平方得221)(xxy②

整理得012222yyxx，由0)1(8)2(22yy，解得22y。

故函数得值域为]2,2[。

错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了y的取值范围。由函数得定义域为

]1,1[

易知

1xy

，因此函数得最小值不可能为

2

。∵1x时，

1y

，∴1

min

y，故函数

的值域应为]2,1[。

四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性

例4：求函数

5

4

2

2







x

x

y

的值域。

错解：令42xt，则

12



t

t

y，∴02ytyt，由0412y及0y得值

域为

]

2

1

,0(y

。

错因：解法中忽视了新变元t满足条件2t。∴设ytyttf2)(，0y，

),2[t，

6

























2

2

1

0)2(0)2(

0,0

y

ff

y

或

5

2

0y

。故函数得值域为

]

5

2

0，（

。

综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变

了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得

定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。