矩阵位移法
-
2023年3月3日发(作者：风姑娘)优秀学习资料欢迎下载
第八章矩阵位移法
一、判断题：
1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
5、结构刚度方程矩阵形式为：KP，它是整个结构所应满足的变
形条件。
6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。
7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和
位移边界条件。
8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结
点位移相等。
10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
11、已知图示刚架各杆EI=常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类
型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：
(0,1,2)
(0,0,0)
(0,0,0)
(0,1,3)
(0,0,0)
(1,2,0)
(0,0,0)
(0,0,3)
(1,0,2)
(0,0,0)
(0,0,0)
(1,0,3)
(0,0,0)
(0,1,2)
(0,0,0)
(0,3,4)
A.
B.
C.
D.
2
1
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
M,
()
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二、计算题：
12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素
133322
,,KKK。
1
2
3
ll
4
l
l
5
EI
2
EI
EA
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,2,3)
(0,0,0)
(0,2,4)
(0,0,0)
x
y
M,
EI
13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素
153422
,,KKK。EI，
EA均为常数。
l
(0,0,1)
(0,5,0)
(2,3,4)
l
①
②
1
2
3
x
y
M,
14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素
665544
,,KKK。E为常数。
l
l
l
1
3
4
2A,I
AA
/2
22AI,
2A
x
y
M,
15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵
KK
2224
,。
3
1
2
①
②
③kk
1112
kk
2122
k
i
i
i
i
i
单刚分块形式为：
4
x
y
M,
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16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架
结构原始刚度矩阵K中的元素,,
7877
KKEA＝常数。
,cosC,sinS,CCA
SSDSCB,
，各杆EA相同。
l
l
1
3
4
2
①
②
③
④
⑤
⑥
x
y
x
y
k
EA
l
i
ABAB
DBD
AB
D
i
i
对
称
17、计算图示刚架结构刚度矩阵中的元素
8811
,KK（只考虑弯曲变形）。
设各层高度为h，各跨长度为
lhl5.0,
，各杆EI为常数。
x
y
M,
d1
d2d5
d6
d1
d3d5
d7
d1
d4d5
d8
18、计算图示结构原始刚度矩阵的元素
4544
,KK。
2
1
3
4
A
I
I
l
l
①
②
③
19、用先处理法写出图示梁的整体刚度矩阵K。
1
2
3
ll
l
i
0
123
i
i
x
y
M,
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20、用先处理法写出图示梁的结构刚度矩阵K。
1
2
3
ll
4
l
EIEI
EI
x
y
M,
2
3
21、已知图示结构在整体坐标系中的单元刚度矩阵。用先处理法集成结
构刚度矩阵K。（用子块形式写出）。
3
1
2
4
5
①
③
②
④
kk
1112
kk
2122
k
i
i
i
i
i
单刚分块形式为：
22、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵K。E常数。
ll
(0,0,0)
(0,0,3)
(0,1,2)
I
2
P
M
I
1
3
2
x
y
M,
23、用先处理法写出图示刚架的结构刚度矩阵K，只考虑弯曲变形。
EI
EIEI
EI=
o
o
ll
l
x
y
M,
24、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵K。各杆长度为l，EA、
EI为常数。
A
B
C
D
x
y
M,
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25、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵K。各杆长度为l。
A
B
C
D
EA
EI
EI2
x
y
M,
26、用先处理法写出以子块表示的图示结构的结构刚度矩阵K。
1
23
4
m6
12
m
①
②
③
27、用先处理法写出图示桁架的结构刚度矩阵K。已知各杆EA=常数。
kk
EA
l
①②
1010
0000
1010
0000
，
整体坐标系中的单元刚度矩阵：
k
EA
l
③
2
4
1111
1111
1111
1111
1
2
3
l
l①
②
③
x
y
28、用先处理法写出图示刚架结构刚度矩阵K。已知：
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kkk
①②③
10
3000030000
3000030000
4
1
2
3
4
①
②
③
x
y
M,
29、计算图示结构结点3的等效结点荷载列阵P
3E
。
1
2
4
m
4kN
m
5
2
m2
3
6
4
m
4
3kN/m
4kN
x
y
M,
30、计算图示结构结点2的等效结点荷载列阵P
2E
。
1
2
4
l
/2
l
q
ql
3
l
/2
①
②
③
q
x
y
M,
31、计算图示结构结点2的等效结点荷载列阵P
2E
。
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l
/2
l
ql
q
l
/2l
1
2
3
①②③
x
y
M,
4
32、计算图示结构的综合结点荷载列阵P。
l
/2
l
/2
l
/2
l
/2
l
ql
(0,0,1)
(0,0,2)
(0,0,3)
(0,0,4)
q
q
l
(0,0,0)
ql2ql
x
y
M,
01
23
4
33、计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵P。
l
/2
l
P
q
l
/2
1
M
2
P
3
x
y
M,
34、计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵P。
10kN
1
2
4
m
3
m
3
m
4
m
4
3
6kN/m
20kN
x
y
M,
35、用先处理法计算图示连续梁的结点荷载列阵
P。
2kN
m
4
m
4
12kN/m
m4
4kN
2
EI
EI
EI
5kNm
.
x
y
M,
36、计算图示结构的综合结点荷载列阵元素
431
,,PPP。
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ql
(0,0,4)
l
l/2
(0,0,0)
l/2
(1,2,3)
l
(0,5,6)
1
2
ql2
3
4
x
y
M,
q
37、用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵P。
ql
l
l/2
1
l/2
q
2
3
x
y
M,
ql2
38、计算图示结构结点荷载列阵中的元素
654
,,PPP。
ql
l/2
l/2
l
(0,0,0)(0,0,0)
(4,5,6)
(0,7,8)
(1,2,3)
q
q
l
1
3
4
2
5
x
y
M,
39、计算图示结构综合结点荷载列阵中的元素
431
,,PPP。
P
l
l/2
(0,0,1)
l/2
q
(2,3,4)
(0,0,0)
P
1
P
2
3
M
x
y
M,
40、计算图示结构综合结点荷载列阵P中的元素
9873
,,,PPPP。
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l
l
q
q
l
l
ql
1
ql2
3
4
5
2
ql2
x
y
M,
41、计算图示刚架对应于自由结点位移的综合结点荷载列阵P。
10kN
m
3
m
3
3kN/m
24kN
m
4
1
23
4
5kN
x
y
M,
42、计算图示刚架对应自由结点位移的综合结点荷载列阵
P。各杆长
度为4m。
10kN
3kN/m
1
23
4
10kN
3kN/m
q
5
x
y
M,
43、计算图示结构结点2的综合结点荷载列阵P
2
。
1
2
4
l
/2
l
P
P
l
/2
l
P
P
3
/2
l
/2
x
y
M,
Pl
44、计算图示刚架考虑弯曲、轴向变形时的综合结点荷载列阵
P。
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8kN
7kNm
5kN
1
2
3
4
2kN
.
10kNm
.
EI=
EI,EA
o
o
EA=
o
o
EI,EA
x
y
M,
45、若考虑弯曲、轴向变形，用先处理法写出图示结构综合结点荷载列
阵
P。
ql
l
4
2
1
/2l
2
l
ql
q
3
/2l
①
②
③
ql2
x
y
M,
46、考虑弯曲、轴向变形，计算图示结构综合结点荷载列阵
P。
m
2
1
4
m
3
2m
2m
3
20kN
12kN/m
10kNm
.40kN
①
②
x
y
M,
47、考虑弯曲、轴向变形时，用先处理法计算图示结构综合结点荷载列
阵
P。
kN
2.5
8
kN
m
/m
4.8
m
3
5
21
2.5
m
6
kN
2kN
5kNm
.
①
②
x
y
M,
48、用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵
P。
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/2l
P
3
2
1
4
q
/2l
ll
①
②
③
x
y
M,
49、用先处理法计算图示桁架的综合结点荷载列阵
P。
m
10kN
3
m
4
x
y
M,
50、计算图示结构的自由结点荷载列阵
P。
1
2
20kN
8m
6m
30kN
10kN
40kN
3
4
x
y
M,
51、计算图示结构中杆12的杆端力列阵中的第6个元素。已知杆12的
杆端位移列阵为
12
000.32570.03050.16160.1667T。
1m
0.5m
1m
1
3
4
2
1kN/m
EA
=1kN
EI=1kNm
.2
x
y
M,
52、计算杆14的轴力。已知图示桁架EA1kN,结点位移列阵为：
2.56770.04151.04151.36731.60921.640801.2084T..。
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1m
1kN
1m
1m
1
3
5
2
4
6
x
y
M,
1kN
53、计算杆23的杆端力列阵的第2个元素。已知图示结构结点位移列阵
为：
000-0.1569-0.23380.4232000T。
1
2
3
m
1
1kN/m
1kN
m
0.5
EA=
1kN
EI=
1kNm
.
m
0.5
1kNm
.
x
y
M,
54、计算图示结构中杆34的杆端力列阵中的第3个元素和第6个元素。
不计杆件的轴向变形。已知图示结构结点位移列阵为：
0000.200.13330.20.20.333300.366700.75560.20.6667T。
1m
3
5
4
1m
1
2
(0,0,0)
A=I=
A=I=
1kN
A=I=
A=I=
1m
1m
=1kN/m2
A
I
(m)2
(m)4
1.5
1
1
2
E
x
y
M,
55、已知图示桁架的结点位移列阵（分别为结点2、4沿x、y方向位移）
为：
(/())1EA×342322.1139.555137.6801167.111T，设各杆EA为常
数。计算单元①的内力。
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1
2
40kN
4m
3m
60kN
20kN
40kN
3
x
y
M,
4
①
④
③
⑤
②
56、已知图示桁架杆件①的单元刚度矩阵为式(a)，又已知各结点位移为
式(b)，则杆件①的轴力（注明拉力或压力）应为N①。
l
l
2
4
1
3
①
②
③
④
⑤
x
y
M,
k
EA
l
u
v
u
v
u
v
u
v
Pl
EA
①
1
(a)b)
010
0000
1010
0000
5
1
0
0
2
3
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
(
57、已求得图示结构结点2、3的结点位移为式(a)、(b)并已知单元②的
整体坐标的单元刚度矩阵为式(c)。计算单元②2端的弯矩。（长度单位m，
力单位kN，角度单位弧度）
u
v
u
v
2
2
2
3
3
3
03
1598
10
=
0.2
-160
-40
10(a),10(b)-5-5
.
.
k②
1501515015
05000500
15021501
1501515015
05000500
15011502
105
....
..
....
..
(c)
1
2
3
4
①
②
③
x
y
M,
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58、计算单元①的轴力。已知图示结构结点1、3的结点位移为：
uvuvPlEA
1133
5123T
T/。
1
2
3
4
l
l
①
②
⑤
④
③
x
y
M,
59、已知各杆的EA/m,m22,
T
21
..。
计算图示桁架单元①的杆端力列阵。
②
①
4m
4m
1
2
3
(0,0)
(1,2)
(0,0)
3kN
2kN
x
y
M,
③
60、计算图示结构单元③的杆端力列阵③F
，已知各杆
,cm300,kN/cm101.2424IE,cm202Acml100，结点2位移列
阵T
2
T
222
2
rad5313.0cm4596.0cm4730.0101vu。
21
3
4
l
ll
20kN
20kN
①②
③
40kNm
.
x
y
M,
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61、考虑杆件的轴向变形，计算图示结构中单元①的杆端力F①。已知：
I(/),124m4E3107kN/m2，m2A05.。结点1的位移列阵
1
6111485...mmradT。
2
1
5m
2.5m
2.5m
8kN
6kN
2kN4.8kN/m
①
②
50kNm
.
x
y
M,
3
62、计算图示刚架单元①在局部坐标下的杆端力F①。已知各杆E、A、
I、l均为常数，
ql
EI
ll
2
1000
T，不考虑杆件的
轴向变形。
2
1
3
4
l
l
q①
②
③
x
y
M,
63、已知图示梁结点转角列阵为056516822-//Tqliqli，EI常数。
计算B支座的反力。
1m1m
1
3
2
A
B
C
x
y
M,
q
第八章矩阵位移法（参考答案）
1、(O)2、(X)3、(O)4、(X)5、(X)6、(O)7、
(O)
8、(X)9、(O)10、(O)11、(A)
12、iKlEIiiKlEAkkliK4,/,12,/,/36
1333
2
22
13、KEAlEIlKEIlK
22
3
34
2
15
1260//,/,
优秀学习资料欢迎下载
14、KEAlKEIlEAlKEIl
4455
3
66
336412/,//,/
15、KKKKKK
222222222421
①②③③,
16、K
EA
l77
2
4
1
,K
EA
l78
2
4
17、KEIlKEIl
11
3
88
28820/,/
18、
l
EA
l
EI
K
3
44
12
0
45
K
2
1
3
4
(1,2,3)
(10,11,
(7,8,9)
(4,5,6)
(4,5,0)
①
②
③
(7,8,0)
19、
K
iii
iiii
ii
420
22
24
122
2233
33
(+)
4(+)
0
20、K
ii
ii
ii
i
8400
122
166
12
0
对
称
，iEIl/
21、
K
KKK
KKKK
222221
12112222
①③③
③③②④
22、
K
ililil
ii
i
i
EI
l
3666
2
2///
12
4
对
称
，式中：
23、
3
36
l
EI
K
24、25、
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(0,0,0)
统一编码如图:
①
②
③
(1,0,4)6
3
(0,0,0)1
(1,0,2)
4(1,0,3)
5
(0,0,0
2
(0,0,0)
(0,0,0)
(1,2,3)
(0,0,0)
(1,2,0)
单元结点位移编码如图：
③
①
②
1
3
5
2
4
4
0
4
00
4
6-
00
122
23
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
K
12
636
00
2
23
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
l
EI
K
26、、
kkk
kkk
221112
212222
①②②
②②③
27、
1
2
3
①
②
③
(0,0)
(0,0)
(0,1)
(0,1)
(2,3)
(2,3)
K
EA
l
2
4
22111
12211
111
28、
K
10
612030
03240
300300
4
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29、P
3E
kN
kN
kNm
2
12
2
30、P
ql
ql
ql
2E
24
/
/
2
2
2
31、P
ql
ql2E
224/
32、P
ql
ql
ql
ql
2
2
2
2
24
2524
24
8
/
/
/
/
33、PMPlPlqlql(/)(//)/88121222
T
34、
P7340T
35、
(0,0)
(1,2)(0,3)
(0,0)
①
②
③
P
kN
5kNm
16kNm
2
36、PqlPqlPql
13
2
4
224,/,
37、
P
ql
ql
ql
/
/
/
2
2
25242
38、PqlPqlPql
456
22212/,/,/
39、PplPPqlPMPlql
113341
282812,,
40、2685、PqlPqlPqlP
3
2
789
1112220/,/,/,
41、
P6221451218T
42、
P4104064T
43、P
P
P
Pl
2
/
/
/
2
32
34
44、
优秀学习资料欢迎下载
(0,0,0)
(1,4,3
(0,0,0
(1,2,3)
1
2
3
4
P
3
8
17
0
kN
kN
kNm
45、
(1,0,2)
(3,4,5)
(0,6,0
(0,0,0)
P
ql
ql
ql
ql
ql
0
1112
2
3
8
2
2
2
/
/
/
/
46、PT40-32-14
47、P
kN
10kN
10kNm
10
48、TPlqlqlP
P
812
,
2
,
2
,0,0
2
49、P
8kN
6kN
50、kNPT40,30,20,10
51、4319.0
66
FS
52、N
14
00587.kN
53、F
2
02336.kN
54、FF
36
03330333.,.kNmkNm
55、F①85.581kNT
56、3P(压力)
优秀学习资料欢迎下载
57、M
2
8925②.kN
58、NP①3(压力)
59、
0
kN5
0
kN5
①F
60、
F
③
kN
kN
kN.m
kN
kN
kN.m
193
19726
651561
193
19726
1321
.
.
.
.
.
61、
mkN3873.13
kN8698.13
kN1006.11
mkN0385.4
kN1302.10
kN1006.11
①F
62、
F
ql
ql
ql
ql
①
分
0
079
0234
0
0208
00575
7
2
2
.
.
.
.
()
63、Rql
B
067857.()