二阶行列式计算
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2023年3月3日发(作者：回声消除)9.3二阶行列式
一、新课引入：
问题1：解二元一次方程组：（*）111
222
axbyc
axbyc
同加减消元法：①×
2
b-②×
1
b得
12211221
ababxcbcb
②×
1
a-①×
2
a得
12211221
ababyacac
当
1221
0abab，方程组有唯一解
1221
1221
1221
1221
cbcb
x
abab
acac
y
abab
二、新课讲授
1、二阶行列式
（1）定义：我们用记号11
22
ab
ab
表示算式
1221
,abab即11
22
ab
ab
=
1221
,abab
其中记号11
22
ab
ab
叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪
教育网
（2）展开式：
1221
,abab叫做行列式11
22
ab
ab
的展开式，其计算结果叫做行列式的值。
（3）元素：
1221
,,,,abab叫做行列式11
22
ab
ab
的元素。
2、二阶行列式的计算
三角形法则：
11
22
ab
ab实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二
阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)
上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元
素的乘积，取负号．[来源:21世纪教育网]
3、二元一次方程组方程组的解与行列式
定义11
22
ab
D
ab
，11
22
x
cb
D
cb
，11
22
y
ac
D
ac
，那么当
0D
时，二元一次方程
组（*）的解可以用二阶行列式表示为
x
y
D
x
D
D
y
D
系数行列式：行列式D是由方程组（*）的未知数x,y的系数组成，通常被叫做方程组（*）
的系数行列式
注意：行列式
x
D和
y
D分别是用方程组（*）的常数项替换行列式中x的系数或y的系数后
得到的
4、例题举隅
例1、展开并化简下列行列式：
（1）
51
82
（2）
15
82
（3）
cossin
sincos
（4）
2
11
11
a
aa
例2、用行列式解下列二元一次方程组：
（1）
5118
4156
xy
xy
（2）
350
210
xy
xy
5、方程组的判别式
问题2：对于二元一次方程组（*），当
0D
时，方程组有唯一解，那么当D=0时，方程
组解的情况又是怎样的？
例如：方程组
（1）
231
232
xy
xy
（2）
231
442
xy
xy
显然，方程组（1）无解，方程组（2）有无穷多解
（1）方程组与行列式的关系：
方程组（*）可转化为
12211221
12211221
x
y
DxD
ababxcbcb
DyD
ababyacac
其中11
22
ab
D
ab
，11
22
x
cb
D
cb
，11
22
y
ac
D
ac
（2）方程组（*）解的情况：
（i）当
0D
时，方程组（*）有唯一解
x
y
D
x
D
D
y
D
（ii）当
0D
时，方程组（*）有两种情况：
①如果
x
D和
y
D中至少有一个为0，那么方程组（*）无解
②如果0
xy
DD，方程组（*）有无穷多组解
注意：
0D
是方程组（*）有唯一组解得充要条件
（3）方程组解得判别式：11
22
ab
D
ab
6、例题举隅
例3、判别下列二元一次方程组解得情况：
（1）
435
8622
xy
xy
（2）
463
695
xy
xy
（2）
326
2
2
3
xy
xy
例4、解关于x,y的二元一次方程组，并对解得情况进行讨论：
42mxym
xmym
6、巩固练习
课后练习9.3（1）（2）（3）
三、课堂小结
1、二阶行列式
2、二元一次方程组解得情况与二阶行列式的关系
3、二元一次方程组解的判别式
四、作业布置
同步练习9.3AB