逻辑函数化简
-
2023年3月3日发(作者：能量转化效率)卡诺图
3.3.1卡诺图化简的基本原理（略）
3.3.2逻辑函数的标准式—最小项
1.最小项的定义
先看一个有三变量的真值表:
三变量的真值表
ABC三变量与因式最小项编号
000ABCm0
001ABCm1
010ABCm2
011ABCm3
100ABCm4
101ABCm5
110ABCm6
111ABCm7
对于n个变量，有2n个可能的取值，全部变量的“与”项，称为最小项。
观察表中，在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。
举例：
下列三变量乘积项中，哪些是最小项，哪些是一般项？
ABCAA（B+C）ABABCABC
一个变量有21=2个最小项,A,A
二个变量有22=4个最小项,AB，AB，AB，AB。
n个有2n个最小项。
2.最小项的性质（看表）
（1）对于任意一个最小项，只有一组取值使得它的值为1，而在其他各组值时，这个
最小项的值都是0（纵向看）
（2）不同的最小项，使它为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。（横向看）
(2)真值表法
ABCABCBCACF
0001001
0010000
0100000
0110101
1000011
1010000
1100011
写逻辑表达式
F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
（根据最小项性质：逻辑函数，对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使其为1，
而其他组取值为0。）。
1110101
3.3.3卡诺图的结构
卡诺图是用方格中填有最小项的图形来表示逻辑函数。
（1）一变量的卡诺图
（2）二变量的卡诺图
（3）三变量的卡诺图
关于卡诺图的说明：
1。卡诺图是真值表的一种特殊形式。它的构成有两个特点：
（1）将真值表的变量分为两组，构成两维图表。第一组变量的所有组合安排在最上行
（列变量），第二组变量的所有组合安排在最左列（行变量）。行列交叉处的小方格
即是该行、列变量组合对应的最小项。
（2）行、列排列的顺序应按循环码排列，这样，可以保证各相邻项行（列）之间只有
一个变量取值不同。
（4）四变量的卡诺图
（5）五变量的卡诺图
由卡诺图可看出：凡是几何位置相邻，其对应的最小项均是逻辑相邻项。
3.3.4逻辑函数的卡诺图表示法
例21将F=BC+CD+BCD+ACD+ABCD
用卡诺图表示。
逐项用卡诺图表示
第一项BC在B=1，C=0所对应的方格填入1，而不管A、D取何值。得m1,
m3,m5,m7
第二项CD，在C=1，D=0所对应的主格内填入1，而不管AB取值。依此类推。
3.3.5相邻最小项合并规律
1.两相邻项可合并为一项，消去一个取值不同的变量，保留相同变量。
2.相邻项是封闭的。
图3—8相邻最小项合并规律
（a）图(b)(c)(d)
相邻项：
ABCD与ABCD可消去一个互为相反的变量；
ABCD与ABCD可消去一个互为相反的变量。
由B图写出相邻项
由C图写出相邻项表达式
由D图写出相邻项表达式
3.3.6与或逻辑化简
运用最小项标准式，在卡诺图上进行逻辑函数化简，得到的基本形式是与或逻辑。化
简步骤如下：
1.将原始函数用卡诺图表示;
2.根据最小项合并规律画卡诺图圈,圈住全部“1”方格;
3.将上述全部卡诺图圈的结果,“或”起来即得化简后的新函数;
4.由逻辑门电路组成逻辑电路图。
1.卡诺圈越大，经化简消去的变量越多，结果越简单。
2.每个卡诺圈应至少有一个“1”方格未被别的卡诺圈圈过。
画出逻辑图
例：用圈0的办法化简逻辑函数先求反函数，化简后再求原函数。
3.3.7其它逻辑形式的化简(省略)
3.3.8无关项及无关项的应用
无关项的概念
又称任意项，不决定函数的值的最小项。
对应变量的每一组取值都有定义，函数F有确定的值。这类问题称为完全描述问题。
在实际的逻辑问题中，变量的某些取值组合不允许出现，或者变量之间具有一定的制约关
系，而与另一些最小项无关。这类问题称为非完全描述。
与任意项对应的逻辑函数值既可以看成1，也可以看成0。因此在卡诺图或真值表中，任意
项常用φ或d或×来表示；在函数表达式中常用φ或d来表示任意项。如：
F(A,B,C)=∑m(0,1,5,7)+∑d(4,6)
化简具有任意项的逻辑函数的步骤是：
①画出函数对应的卡诺图，任意项对应的小方格填上φ或d或×。
②按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，如果任意项方格为1时可以圈得更大，则将任
意项当作1来处理，否则当0处理。未被圈过的任意项一律当作0处理。
③写出化简的表达式。
例29化简F=∑（5，6，7，8，9）+
∑d(10,11,12,13,14,15).
解：化简过程如图所示，化简函数为：
F=A+BD+BC
例30F=∑（1，5，8，12）+
∑d(3，7，10,11,14,15).
例31化简F=ABC+BC
AB=0‥‥约束条件
解：AB=0，表示A与B不能同时为1，那么，AB=11所对应的最小项应视为无关项。
3.3.9输入只有原变量没有反变量的逻辑函
数化简(省略)
3.3.10多输出函数的化简关键：
充分利用各函数间可供共享的部分.
说明:这两个函数虽然各自最简,但作为一体,还不是最简,对于多输出函数要考虑系统最
简,要尽量保留一些公共的最小项.