正切二倍角公式
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2023年3月2日发(作者：黄志先)二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
【学习目标】
1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的在联系•
2•能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式•但不要求记忆)，
能灵活地将公式变形并运用.
3•通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体
会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1•二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin22sincos(S2)
22
cos2cossin(C2)
2cos21
12sin2
2tan
tan2—(T2)
1tan
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式S2,C2
中，角可以为任意角，但公式T
2
中，只有当
k
k及(kZ)时才成立；
242
(2)倍角公式不仅限于2是的二倍形式，其它如4是2的二倍、一是一的二倍、
24
3
3是—的二倍等等都是适用的•要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好
2
二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：sin2sin—cos—；
22
sin歹2sin盯cos盯(
nZ)
2•和角公式、倍角公式之间的在联系
在两角和的三角函数公式S,C,T中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，
它们的在联系如下:
s2a
B二d
<-----------
SQ+f
以-0代0
&
Cmp----------------------4
co(-p
要点二：二倍角公式的逆用及变形
1•公式的逆用
2tanAc
2—tan2
1tan
2.公式的变形
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1•对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添
项、
2•掌握
也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）;
3•将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用
例1.化简下列各式：
2/c、
cos；（3）
8
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.
2sincossin2；sin
cos
-sin2
2
2.2cossinc2
2cos
2sin2cos2
1sin2(sin
cos)2
；
降幕公式:cos2
1cos2
,sin2
1cos2
升幕公式:1cos222
2cos,1cos22sin
换元等；
“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
),2(
）等等，把握式子的变形方向，准确运用公式,
tan37.5
1tan237.5
(1)4sincos；(2)sin2—
228
【答案】(1)2sin(2)
22
(3)乙三
22
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角
公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思
路.
举一反三：
2tan75°
(2)原式=cos(2)cos—
84
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
【思路点拨】解这类题型有两种方法：
o:nQ
方法一：适用sin------------------，不断地使用二倍角的正弦公式.
2cos
2tan275o
【解析】
(1)4sin—cos—
22
22sin—cos—2sin
(2)sin—2cos—2cos—-2sin-
8888
cos
—
4
(3)
tan37.5
2
1tan37.5
12sin37.5
—2
21tan37.5
1
tan75
2
2.3
2
【变式1】求值：(1)cos一
12
sin—
12
cos—
12
2
2cos1;(3)
8
-.3
【解析】(1)
原式=cos2
一sin
12
2_
12
cos—
6
(3)原式=tan150otan(180°
o、
30)
tan30o
方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用cos
sin2
2sin
进行化
简.
1
16
【答案】
【解析】方法一：sin10sin50sin70
sin20sin50sin70
2cos10
sin20cos20sin50sin40sin50sin40cos40sin80
1
2cos104cos104cos108cos108
•••sin10sin30sin50sin70—
16
、12sin20cos20cos40cos80
方法二：原式-cos20cos40cos80
24sin20
sin40cos40cos80sin80cos80
1
sin1601
4sin202sin2016sin2016
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题.方法-和方法二通过观察角度间的
关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程
中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数.利用上述思想，我们还可
以把问题推广到一般的情形：一般地，若
sin0，贝ycoscos2cos4Lcos2n
举一反三：
【变式1】求值:sin10°cos40°sin70°.
【解析】原式cos20cos40cos80
2sin40cos40cos802sin80
4sin208sin20
sin160sin20]
8sin208sin208
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例3•化简下列各式：
“、sinsin2/ox-------:—j
（1）（2）.1sin4
1coscos2
【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简.（2）
观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简.
【答案】（1）tan（2）sin2cos2
n1
sin2
n1.
2sin
2sin20cos20cos40cos80
2sin20
cos80
【解析】
sinsin2
1coscos2
sin2sincos
c2
cos2cos
sin(12cos)
cos(12cos)
tan
(2).1sin4
sin222sin2cos2cos22
.(sin2cos2)2|sin2cos21sin2cos2.
【总结升华】①余弦的倍角公式的变形形式
【解析】原式-
2sin-
42cos—
4cos-
4
cos2
cos2‘
1.
cos2
【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手.通过切化弦、弦
化切、异化同、高次降幕等手段，使函数式的结构化为最简形式.
举一反三:
【变式11(1)1sin6的化简结果是______________
(2)已知sin3，且(,n)，则sin?—的值为
52cos
3
【答案】(1)sin3cos3(2)
2
【解析】
(1)原式=,1sin3cos3
=|sin3cos3|
=sin3cos3
34
(2)因为sin，且a€(,n)，所以COS,原式
525
2
1cos22cos,1cos2
2
2sin2
.经常起到消除式子中
1的作用•②由于
sin22sincos，从而1sin22
(sincos)，可进行无理式的化简和运算.
例4•化简:
2cos21
2tan4-2sin
4
cos2
2sin
cos—
4
sin2
2
、.(sin3
cos3)2
2sincosI5I
=2
2()
cos542
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5.求值：
°)已知
sin(12
I，求
cos
(6}
.
(2)已知sin(
m，求sin2
【思路点
拨】求解.
-)
4
观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去
【答案】(1)
7
25
(2)2m2
【解
析】
(1)cos(
cos—
6
cos2一
12
2sin2
12
25
(2)sin2
7_
25
cos(
―
2
2)=
2sin2
12sin2
2m21
求解的要点是利用公式沟通已知条件和
【变式1】已知sincos
【答
案】8
9917
【解
析】由sincos
1
1
，且0
3
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，所求
式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧.
举一反三：
，求sin2,cos2,tan2的值.
I得
(sincos
1
-，二sin22sincos
9
・2
…cos
整理得9sin23sin
解得sin117
或sin1-17
(舍去).
66
cos212sin212
1.172
仃
69
tan2
sin28.17
cos2
17.
【总结升华】解题过程中注意角的围的判定.
由sincos，得cos
3
sin
【变式2】已知tan—
4
1
2
sin2cos
1cos2
【解析】
(1)tan—
4
tantan
4
1tan
1
，解得tan
2
1
1tantan
4
1tan3
,(1)求tan
的值;
(2)求
的值.
1cos212cos21
1115
tan
2326.
【总结升
华】
第(〔1)问中利用了方程的思想求
⑵sin2cos22sincoscos2
般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解.
类型五：二倍角公式的综合应用
例6.已知f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x，求:
(1)f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
(2)f(x)的单调区间.
【思路点拨】用降幕公式把原式降幕，然后用辅助角公式化成
2sincos
2cos
tan的值；对于第(2)问的题型,
Asin(x)k的形式.
即12sincos
12.・2
—sinsin
93
sin
即1sin2
40.
【答案】(1).22x|x
3
k,kz(2)单增区间k,k
88
8,kz
单减区间k,k
5
,kz
88
【解析】
(1)原式=1
sin2xcos2x1
sin2xcos2x2
Jsin(2x)2
4
xk—,k
8
8，k
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余
弦公式及yAsin(x)的性质等知识•要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用:
2
(1)缩角升
2
幕公
式1
sinsin
COS—,
22
1sinsincos—•1
cos2cos2—,1cos
2sin
2
(2)扩角降幕
2222
1cos2.21cos2
公式cos2sin
22
例7•已知向量a(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinx
cosx),求函数
f(x)ab•
(1)求f(x)的最大值及相应的x值;
则当2x—2k
4
2,即小k-，kz
时,
f
max
(2)f(x)的单调递增区间为：2k
2x2k-，则
242
f(x)的单调递减区间为:2k—2x—2k
24
3
2
，则
(x)
8
5
⑵若f()5，求
cos2
7
2
的值.
【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化
为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式.
【答案】(1)■21xk—(kZ)(2)
16
825
【解析】(1)因为a(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),
【变式1】已知函数f(x)sin°cosxcos3—1.222
(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(n)求函数f(x)在［一，一］上的最小值•
xx1cosx
【解析】(I)f(x)sincos-
222
1.11
sinxcosx一
222
所以函数
f(x)
的最小正周期为
由2k—x—2k—,kZ，则
(2)由f(
)1sin2
8
cos2及f()—得Sin2
cos2
3
，两边平方得
55
sin4
9口.16
.因此，cos22cos
16
即sin44sin4
25254225
1
举一反三：
所以f(x)1sin2xsin2xcos2*x
1sin2xcos2xx2sin2x—
4
因此,
当2x
2k
4
，即xk
2
令(kZ)
时，f(x)取得最大值、、
2
「
I答案】(I)2
，
2k?2k5
r
，
k
z(n)
,21
2kx2k
'2
(1)求角A的大小;
cos2x4cosAsinx(x€R)的值域.
3
【答案】(1)—(2)3,
32
、.3sinAcosA1,
所以sinx€[—1,1].
13
因此，当sinx时，f(x)有最大值一，当sinx=—1时，f
(x)有最小值—3,所以
22
3
所求函数f(x)的值域是3
242
函数f(x)单调递减区间是[2k
3-，得-
22
5
,2k
44
7
44.
],kZ.
则当x
54时，
f(x)取得最小值
【变式2】已知向量
m=(sinA,cosA),nG.3,1),m•n=1,
且A为锐角.
2sinA—1,sinA
66
所以f(x)cos2x2sinx212sinx2sinx
2sinx
3
-•因为x€R,
2
(2)求函数f(x)
【解析】(1)由题意，得mn
由A为锐角得A—-,A—.
663
1
(2)由(1)知cosA-,
2