齿轮的传动比

齿轮的传动比

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2023年3月1日发(作者：望岳教案)

第7章齿轮系的传动比计算

本章主要介绍了轮系的概念及分类；各类轮系传动比的计

算方法；轮系的功用；简要介绍了设计行星轮系时，其各轮齿

数和行星轮数目的选择问题；以及几种其他的行星传动机构。

基本要求

1、能正确划分轮系，能正确计算定轴轮系、周转轮系、复

合轮系的传动比；

2、对轮系的主要功用有清楚的了解；

3、了解设计行星轮系时，其各轮齿数和行星轮数目的选择

应满足的四个条件；

4、对其他行星齿轮传动有一般了解。

重点和难点提示

本章重点：

周转轮系及复合轮系传动比的计算。

本章难点：

根据相对运动原理，将周转轮系转化为假想的“定轴轮

系”的方法；如何将复合轮系正确划分为若干个基本轮系。

1、轮系及其分类

由一系列齿轮组成的传动装置称为轮系。

根据轮系运动时其中各个齿轮轴线的位置是否固定，可以

将轮系分为定轴轮系、周转轮系及复合轮系三类。

（1）定轴轮系

所有齿轮几何轴线的位置在运转过程中均固定不变的轮

系，称为定轴轮系。

（2）周转轮系

在运转过程中至少有一个齿轮的几何轴线位置不固定，而

是绕着其它齿轮的固定轴线回转的轮系，称为周转轮系。

在周转轮系中，通常以中心轮或系杆作为运动的输入或输

出构件，故又称其为周转轮系的基本构件。基本构件都是绕

着同一固定轴线回转的。

根据周转轮系所具有的自由度数目的不同，周转轮系可进

一步分为行星轮系和差动轮系两类。行星轮系的自由度为1，

差动轮系的自由度为2。

此外，周转轮系还可根据其基本构件的不同加以分类。设

轮系中的中心轮用K表示，系

杆用H表示。若在一个轮系中，基本构件为两个中心轮和系杆

H，通常称其为2K-H型周转轮系。若一个轮系中，基本构件

是三个中心轮，而行星架H只起支持行星轮的作用，不是基本

构件，称其为3K型周转轮系，在轮系的型号中不含“H”。在

实际机械中使用最多的是2K-H型周转轮系。

（3）复合轮系

在实际机械中所用的轮系，往往既包含定轴轮系部分，又

包含周转轮系部分，或者是由几部分周转轮系组成，这种轮系

称为复合轮系。

2、轮系传动比的计算

轮系的传动比，指的是轮系中输入轴与输出轴的角速度

(或转速)之比。轮系传动比的确定包括计算传动比的大小和确

定输入轴与输出轴的转向关系。

（1）定轴轮系的传动比

定轴轮系传动比的大小

的连乘积轮系中所有主动轮齿数

的连乘积轮系中所有从动轮齿数



轮系的传动比计算，不仅需要知道传动比的大小，还需要

确定输入轴和输出轴之间的转向关系。对于平面定轴轮系（即

各轮的轴线互相平行的轮系），其各轮的转向不是相同就是相

反，因此规定：当两者转向相同时，其传动比为正，用“+”

表示；反之为负，用“-”表示，当然，其首末轮的转向也可

以用图中画箭头的方法来表示。对于空间定轴轮系（即各轮的

轴线不是都相互平行的轮系），若其输入轴与输出轴平行，其

传动比大小及首末轮转向的确定方法与平面定轴轮系相同；若

其输入轴与输出轴不平行则二者在两个不同的平面内转动，转

向无所谓相同或相反，因此不能采用在传动比前加“+”、“-

”号的方法来表示，而只能用画箭头的方法来表明。

（2）周转轮系的传动比

周转轮系与定轴轮系的根本差别就在于周转轮系中有转动

的行星架，其上的行星轮既有自转又有公转。周转轮系的传动

比不能直接采用定轴轮系传动比的方法来计算。但是可以通过

采用反转法或转化机构法将周转轮系中的行星架相对固定，即

将周转轮系转化成为假想的定轴轮系，这样就可以借助此转化

轮系，按定轴轮系的传动比公式进行周转轮系传动比的计算

了。

H

H

H

AA

AB

H

BH

B

i













连乘积之间所有主动轮齿数的到齿轮转化轮系中从齿轮

连乘积之间所有从动轮齿数的到齿轮转化轮系中从齿轮

BA

BA



在应用上式时必须注意以下几点：

（a）上式只适用于齿轮A、B和行星架H的轴线平行的场

合。

（b）式中齿数比前“+”号表示转化轮系首、末两轮转向

相同，“-”号表示转化轮系首、末两轮转向相反。此处的

“+”、“-”号不仅表明转化轮系首、末两轮的转向，还直接

影响着方程求解后各构件角速度之间的数值关系，因此不能忽

略。

（c）

A

、

B

、

H

均为代数值，在计算中必须同时代入

正、负号，如已知两构件转向相反，则一个取正值，另一个取

负值。求得的结果也为代数值，即同时求得了构件角速度的大

小和转向。

（3）复合轮系的传动比

复合轮系中或者既包含定轴轮系部分，又包含周转轮系部

分，或者包含几部分周转轮系。在计算复合轮系的传动比时，

既不能将其视为定轴轮系处理，也不能将其视为周转轮系处

理，正确的方法是：

（a）正确划分轮系各组成部分，关键是要把其中的周转轮

系部分找出来。根据周转轮系具有行星轮和行星架的特点，首

先要找出行星轮，再找出行星架（行星架往往是由轮系中具有

其他功用的构件所兼任），以及与行星轮相啮合的所有中心

轮。在一个复合轮系中可能包含有几个基本周转轮系。一一找

出后，剩下的便是定轴轮系部分。

（b）分别列出计算定轴轮系和周转轮系传动比的方程式。

（c）找出各基本轮系之间的联系，将各传动比关系式进行

联立求解，就可求得复合轮系的传动比。

3、轮系的功用

轮系的主要功用有以下几个方面：

（1）实现大传动比传动

当两轴之间需要较大的传动比时，若仅用一对齿轮传动，

则两轮齿数相差很多，尺寸相差悬殊。而采用轮系，特别是采

用周转轮系，可以用少许几个齿轮，并且在结构紧凑的条件

下，得到很大的传动比。

（2）实现分路传动

利用定轴轮系可实现几个从动轴分路输出传动。

（3）实现变速、换向传动

在主动轴转速和转向不变的情况下，利用轮系可使从动轴

获得不同转速和转向。

（4）在尺寸及重量较小的条件下实现大功率传动

利于周转轮系进行动力传动，可通过采用若干个行星轮均

匀分布在中心轮四周的结构形式，用几个行星轮来共同分担载

荷，这样可大大提高承载能力，又因行星轮均匀分布，可使行

星轮因公转所产生的离心惯性力和各齿廓啮合处的径向分力得

以平衡，因此可以减小主轴承内的作用力，增加运动的平稳

性。此外，采用内啮合又有效地利用了空间，加之其输入轴与

输出轴共轴线，使得径向尺寸非常紧凑。因此可在结构紧凑的

条件下，实现大功率传动。

（5）实现运动的合成

由于差动轮系的自由度为2，所以必须给定三个基本构件

中任意两个的运动后，第三个基本构件的运动才能确定。利用

这一特点，差动轮系可用来把两个运动合成为一个运动。

（6）实现运动的分解

差动轮系不仅能将两个独立的运动合成为一个运动，而且

还可以将一个基本构件的主动转动按所需比例分解成另两个基

本构件的不同转动。

4、轮系的设计

设计行星轮系时，其各轮齿数和行星轮数目的选择

一般应满足以下四个条件：

(1)尽可能近似地实现给定的传动比要求。

(2)满足同心条件，即保证系杆的转轴和太阳轮的轴线

重合。

(3)满足均布安装条件，即保证在采用多个行星轮时，

各行星轮能够均匀地分布在太阳轮周围。

(4)满足邻接条件，即保证多个均布的行星轮相互间不

发生干涉。

不同类型的周转轮系满足上述四个条件的关系式也不尽相

同。

典型例题解答

1、本章考点主要有以下两个方面：

（1）有关齿轮系的基本知识，包括轮系、轮系的分类、

定轴轮系、周转轮系、复合轮系、基本构架、行星轮系、差动

轮系、轮系的功用等。

（2）正确计算轮系的传动比。

2、典型例题及解题技巧

例

z

1

=15，

z

2

=25，

z'2

=20，

z

3

=60，

n

1

=200转/分，

n

3

=50转/分，转向如图

所示。求：

n

H

的大小和方向。

图例图

解：此为一自由度为2的差动轮系。

5

'21

32

3

1

13









zz

zz

nn

nn

i

H

H

H

n

1

,n

3

转向相反，代入上式有：

5

50

200

3

1











H

H

H

H

n

n

nn

nn

解得：n

H

=minr

其转向与n

1

相反。

例已知

z

1

=17，

z

2

=34，

z'

2

=21，

z

3

=18，

z'3

=42，

z

4

=48，

1

n=160转/分，

n

H

=10转/分，转向如图所示。求：

n

4

的大小和方向。

图例图

解：该轮系由1、2定轴轮系部分和2´、3、3´、H、4

周转轮系部分组成。

在定轴轮系1、2中，

14

34

1

2

2

1

12



z

z

n

n

i

解得：n

2

=80r/min=n'2

在周转轮系2´、3、3´、H、4中，

zz

zz

nn

nn

i

H

H

H

''

'

'

32

43

4

2

42









若规定轮2的转向为正，则系杆的转向为负，将已知数据

代入上式有，

4221

4818

10

1080

4











n

解得：

n

4

=-102转/分

其方向与

n

H

相同。

例已知

z

1

=15，

z

2

=25，

z'2

=20，

z

3

=30，

z'3

=35，

z4

=70，

z'4

=55，

n

1

=100转/分，转向如图所示。求：

n

5

的大小和方向。

图例图

解：该轮系由1、2、4´定轴轮系部分和2´、3、3´、

4、5周转轮系部分组成。

在定轴轮系1、2、4´中，

15

25

1

2

2

1

12



z

z

n

n

i

解得：n

2

=-60r/min=n'2

15

55

1

4

4

1

14

'

'

'

z

z

n

n

i

解得：n'4

=min=n

4

在周转轮系2´、3、3´、4、5中，

zz

zz

nn

nn

i

''

'

'

32

43

54

52

5

42









将已知数据代入有：

3520

7030

7.23

60

5

5











n

n

解得：n

5

=min

其转向与

n

1

相同。

例在图所示轮系中，已知：z1=30,z2=26,z2’=z3=z3′=

z4=21,z4′=30,z5=2(右旋),n1=130r/min,n5=450r/min，

方向如图。求：系杆H的转速nH的大小和方向。

图例图

解：该轮系由定轴轮系1、2；差动轮系2′、3、3′、

4、H和定轴轮系4′、5组成。

在定轴轮系1、2中，

30

26

1

2

2

1

12



z

z

n

n

i

解得：min/150

'2

2

rnn（方向

向上）

在定轴轮系4′、5中，

15

2

30

5

4

4

5

54

'

'

'

z

z

n

n

i

解得：min/30

'4

4

rnn（方向向

上）

在差动轮系2′、3、3′、4、H中，

1

'

'

'

2

4

4

2

42









z

z

nn

nn

i

H

H

H

解得：min/90rn

H

（方向向上）

例在图所示轮系中，已知z1=20,z2=30,z3=z4=z5=25,

z6=75,z7=25,nA=100r/min,方向如图所示。试求nB的大小和

方向。

图例图

解：该轮系由行星轮系2、1、7、6、A和行星轮系3、

4、5、B组成。

在行星轮系2、1、7、6、A中，

3

2530

7520

1)(11

72

61

26

2

2









zz

zz

i

n

n

iA

A

A

解得：min/300

2

rn（方向同

A

n）

在行星轮系3、4、5、B中，

2

25

25

1)(11

3

5

35

3

3



z

z

i

n

n

iB

B

B

又

32

nn，

解得：min/150rn

B

（方向同

A

n）

例在图所示马铃薯挖掘机的行星轮系中，已知齿轮1、

2、3的齿数z1＝z2＝z3，行星架的转速为ωH。求ω2，

ω3。

图例图

解：该轮系为一行星轮系。

1

2

1

1

2

21









z

z

i

H

H

H





而0

1

，所以有：

H

2

2



1)1(

32

21

2

1

3

31









zz

zz

i

H

H

H





又0

1

，所以有：0

3



上式表明轮3的绝对角速度为0，这说明轮3不转动，使

得与其固连在一起的铁锹只做平动，从而可减少对马铃薯的损

伤。

例在如图所示的钟表机构中，S、M及H分别为秒针、分

针及时针。已知

1

Z=8，

2

Z=60，

3

Z=8，

5

Z=15，

7

Z=12，齿轮6与

齿轮7的模数相同，试求齿轮4、齿轮6、齿轮8的齿数。

图例图

解：此轮系为一定轴轮系。秒针S转一圈分针M走一

分钟，即1/60圈，所以有：

60

88

60

4

31

42

4

1

14









z

zz

zz

n

n

i

解得：64

4

z

分针M转一圈时针H转1/12圈，有：

12

75

86

8

5

58



zz

zz

n

n

i

（1）

啮合齿轮5、6的中心距等于啮合齿轮7、8的中心距，且

齿轮6与齿轮7模数相同，所以有：

8765

zzzz

（2）

联立公式（1）、（2）可得：

6

45z

8

48z

例如图所示为一手摇提升装置，其中各轮齿数均已知，

试求传动比

15

i，并指出当提升重物时手柄的转向。

图例图

解：此轮系为一定轴轮系。

78.577

1811520

52403050

'''432

1

5432

15









zzzz

zzzz

i

当提升重物时手柄的转向：从左向右看为逆时针方向。

例如图所示为一装配用电动螺丝刀的传动简图，已知

各轮齿数为

14

7ZZ，

36

39ZZ。若

1

n=3000r/min，试求螺丝刀

的转速。

图例图

解：此轮系为一复合周转轮系，由行星轮系1-2-3-H1和

行星轮系4-5-6-H2组成。

在行星轮系1-2-3-H1中，

7

39

1)(11

1

3

13

1

1

1

1

1



Z

Z

i

n

n

iH

H

H

在行星轮系4-5-6-H2中，

7

39

111

4

6

46

2

4

4

2

2



Z

Z

i

n

n

iH

H

H

又

4

1

nn

H

，所以有：

18.43

7

39

1

2

411

212

















iiiHHH

解得：min5.69

22

11

r

innHH



其转向与n1相同。

例在如图所示的复合轮系中，设已知

1

n=3549r/min，

1

Z=36，

2

Z=60，

3

Z=23，

4

Z=49，

5

Z=31，

6

Z=131，

7

Z=94，

8

Z=36，

9

Z=167，求

H

n等于多少

图例

解：该轮系由定轴轮系1-2-3-4；周转轮系'4-5-6-7和周

转轮系7-8-9-H组成。

在定轴轮系1-2-3-4中，

138

490

2336

4960

31

42

4

1

14









zz

zz

n

n

i

在周转轮系'4-5-6-7中，

49

180

49

131

1)(11

'

'

'

'

4

6

7

64

7

4

74



z

z

i

n

n

i

在周转轮系7-8-9-H中，

94

261

94

167

11

79

7

7



i

n

n

iH

H

H

又'4

4

nn

，所以有：

2.367

7

4

4

1

774141

'

'

H

HHn

n

n

n

n

n

iiii

解得：

n

H

=98r/min

例．图(a)、(b)所示为两个不同结构的锥齿轮周转轮系，

已知

1

Z=20，

2

Z=24，

'2

Z

=30，

3

Z=40，

1

n=200r/min，

3

n=-

100r/min。求两轮系的

H

n各等于多少

（a）

(b)

图例图

解：在轮系（a）中，

6.1

'21

32

3

1

13









zz

zz

nn

nn

i

H

H

H

min/600

16.1

200)100(6.1

1

13

1313r

i

nni

n

H

H

H















在轮系（b）中，

6.1

'21

32

3

1

13









zz

zz

nn

nn

i

H

H

H

min/38.15

1)6.1(

200)100()6.1(

1

13

1313r

i

nni

n

H

H

H















例在如图所示的电动三爪卡盘传动轮系中，设已知各轮

齿数为：

1

Z=6，

2

Z=

'2

Z

=25，

3

Z=57，

4

Z=56，试求其传动比

14

i。

图例图

解：该复合轮系可分解成三个基本周转轮系：1-2-H-3、

1-2-2'-H-4、4-2'-2-H-3。其中任意两个是独立的，解题时可

取其中任意两个进行分析。

在1-2-H-3组成的行星轮系中，n3=0，有：

iH

13=(n1-nH)/(n3-nH)=1-i1H=-z3/z1

即i1H=1+z3/z1

在4-2'-2-H-3组成的行星轮系中，n3=0，有：

iH

43=(n4-nH)/(n3-nH)=1-i4H=+z3/z4

即i4H=1-z3/z4

所以可得：i14=i1H/i4H=(1+z3/z1)/(1-

z3/z4)=(1+57/6)/(1-57/56)=-588

例在如图所示的脚踏车里程表机构中，C为车轮轴，各

轮齿数为

1

Z=17，

3

Z=23，

4

Z=19，

'4

Z

=20，

5

Z=24。设轮胎受压

变形后使28英寸的车轮有效直径为，当车行1km时表上的指

针刚好回转一周，试求齿轮2的齿数

2

Z。

图例图

解：该轮系由定轴轮系1、2和行星轮系3、4、H、

4′、5′组成。指针P转一周时车轮转的周数为

1000/×=455(转)。

在定轴轮系1-2中，

2

1

1

2

21z

z

n

n

i

在行星轮系3、4、H、4′、5′中，

114

1

1924

2320

1

535







h

H

ii

又

H

nn

2

，所以有：

114

1

552



H

ii

从而有：

455

1

114

1

2

1

215251



z

z

iii

解得：68

2

z

例如图所示轮系中，设各轮的模数均相同，且为标准传

动，若已知

1

Z=

'2

Z=

'3

Z

=

'6

Z=20，

2

Z=

4

Z=

6

Z=

7

Z=40。试问：

(1)

当把齿轮

1

作为原动件时，该机构是否具有确定的

运动

(2)

齿轮

3

、

5

的齿数该如何确定

(3)当

1

n=980r/min时，

3

n及

5

n各为多少

图例图

解：（1）该机构中齿轮6、6'和7是不影响运动传递的

重复部分，将带入虚约束。齿轮1、5和机架构成复合铰链。

机构自由度F=3n-(2pL+pH)=3×5-(2×5+4)=1

当把齿轮1作为原动件时，该机构具有确定的运动。

⑵根据齿轮1与3同心，得r3=r1+r2+r2'即

z3=z1+z2+z2'=20+40+20=80

根据齿轮3'与5同心，得r5=r3'+2r4即

z5=z3'+2z4=20+2×40=100

⑶在差动轮系1、2-2'、3、5中，

i5

13=(n1-n5)/(n3-n5)=-(z2z3)/(z1z2')

在定轴轮系3'-4-5，

i3'5=n3'/n5=-z5/z3'

又n3=n3'所以联立求解以上两式，可得：

n3=-100r/min

n5=20r/min

例在图示减速器中，已知蜗杆1和5的头数均为1，蜗杆

1为左旋，蜗杆5为右旋，各轮齿数为：

1

Z=102，

2

Z=99，

2

Z′

=

4

Z，

'4

Z

=100，

'5

Z

=101。试求传动比

1H

i。

图例图

解：该轮系由定轴轮系1-2、定轴轮系1’-5’-5-4’和

差动轮系2-2’-3-4-H构成。

在定轴轮系1-2中，

z

z

n

n

i

1

2

2

1

12



即有：

99

1

2

n

n



在定轴轮系1’-5’-5-4’中，

5

1

45

4

1

41

'

''

'

'

''zz

zz

n

n

i

即有：

10100

102'

'

1

4

n

n

又

nn22'，

nn'44

，所以有：



z

z

nnnniHH

H

'

'

'

2

4

42

42



1'42



nnnnHH

即有：

10100/10299/

11

nnnn

HH



解得：99/

11



HH

nni

例图示为纺织机中的差动轮系，设

1

Z=30，

2

Z=25

，

3

Z=

4

Z=24，

5

Z=18，

6

Z=121，

1

n=48～200r/min，

H

n=316r/min。

求

6

n等于多少

图例图

解：该轮系为一周转轮系。

6.5

182430

1212425

1

531

642

2

6

1

16















zzz

zzz

nn

nn

H

H

Hi



nnn

i

nHH

H



1

16

6

1

当min200~48

1

r

n

时，

min29.295~14.268316316200

6.5

1

~31631648

6.5

1

6

r

n



n6与n1及nH转向相同。