多元函数全微分

多元函数全微分

-

2023年2月28日发(作者：hpm)

第九章多元函数微分法及其应用

一、基本要求及重点、难点

1.基本要求

(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件

和充分条件。

(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。

(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。

(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉

格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

2.重点及难点

（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，

多元函数的极值的计算。

（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复

合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。

二、内容概述

多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别

注意它们之间的一些本质差别。

1.多元函数的极限和连续

(1)基本概念

1)点集和区域。

2)多元函数的定义、定义域。

3)二元函数的极限、连续。

(2)基本定理

1)多元初等函数在其定义域内是连续的。

2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值

M和最小值m之间的任何值。

2.多元函数微分法

(1)基本概念

偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。

(2)计算方法

1)偏导数：),(yxfz在),(

00

yx处对x的偏导数

0

xx

x

z







，就是一元函数

),(

0

yxfz在

0

xx处的导数；对y的偏导数

0

xx

x

z







（同理）。

2)`全微分：),(yxfz的全微分dy

y

z

dx

x

z

dz













3)复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同

条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。

A.设),(vufz，)(),(tvtu，则全导数

dt

dv

v

z

dt

du

u

z

dt

dz











。

B.设),(vufz，),(),,(yxvyxu

则：

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

























，

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

























。

4)隐函数求导法则：

A.设函数)(xfy由隐函数0),(yxF确定，则

y

x

F

F

dx

dy

。

B.设函数),(yxfz由隐函数0),,(zyxF确定，则

z

x

F

F

dx

dz

，

z

y

F

F

dy

dz

。

C.设函数)(),(xgzxfy由隐函数方程组











0),,(

0),,(

zyxG

zyxF

确定，从































0)()(

0)()(

xgGxfGG

xgFxfFF

zyx

zyx

，求出导数)(),(xgxf



。

(3)多元函数连续、可导、可微的关系

(4)基本定理

1)可微的必要条件：如果函数),(yxfz在点),(yx处可微分，则函数在点

),(yx处偏导数必定存在，且全微分为y

y

z

x

x

z

dz











。

2)可微的充分条件：如果函数),(yxfz的偏导数

y

z

x

z









,在点),(yx处连续，

则函数在该点必可微，且dy

y

z

dx

x

z

dz











。

3.多元函数微分学的应用

(1)方向导数和梯度

1)方向导数

A.定义：



),(),(

lim

0

yxfyyxxf



，22)()(yx

B.计算方法：coscos

y

f

x

f

l

f

















2)梯度

A.定义：j

y

f

i

x

f

yxgradf













),(

B.函数在一点的梯度grad),(yxf是一个向量，它的方向是函数在这点的方

向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。

3)方向导数和偏导数的区别和联系

A.都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率而偏导数是

沿坐标轴方向（两个方向）的变化率；

B.方向导数是偏导数概念的推广，偏导数并不是某一方向的方向导数。

(2)在几何上的应用

空间曲线),,(

0000

zyxM为曲线上一点

Tt

tzz

tyy

txx



















,

)(

)(

)(

1、切线方程：

)(')(')(

0

0

0

0

0

0

tz

zz

ty

yy

tx

xx











2、法平面方程：0))(('))(('))((

000000





zztzyytyxxtx











0),,(

0),,(

zyxG

zyxF

1、切线方程：

)(')('1

0

0

0

00

Mz

zz

My

yyxx

xx











2、法平面方程：0))(('))((')(

00000

zzMzyyMyxx

xX

空间曲面),,(

0000

zyxM为曲面上一点

),(yxfz

1、切平方面方程))(,())(,(

0000000

yyyxfxxyxfzz

yx



2、法线方程

1),(),(

0

00

0

00

0











zz

yxf

yy

yxf

xx

yx

0),,(zyxF

1、切平面方程0))(())(())((

000000

zzMFyyMFxxMF

zyx

2、法线方程

)()()(

0

0

0

0

0

0

MF

zz

MF

yy

MF

xx

zyx











(3)极值问题

1)无条件极值

A.极值的必要条件：若函数),(yxf在点),(

000

yxP处达到极值，且偏

导数都存在，则0),(

00

yxf

x

，

0),(

00

yxf

y

。

B.极值的充分条件：设函数),(yxf在点),(

000

yxP的某个邻域)(

0

PU

内有连续的二阶偏导数，且0),(

00

yxf

x

，

0),(

00

yxf

y

，记

),(

00

yxfA

xx

，),(

00

yxfB

xy

，),(

00

yxfC

yy

，则

02BAC02BAC02BAC

),(),0,(0

00

yxfCorA为极小值

),(),0,(0

00

yxfCorA为极大值

),(

00

yxf不是极值无法判断

2)条件极值及其求法：

A.定义：函数),(yxf在条件0),(yx下的极值，称为条件极值。

B.计算方法：拉格朗日乘数法：

将该问题化为求函数),(),(),,(yxyxfyxL的无条件极值，因此从

















0),(

0),(),(

0),(),(

yx

yxyxf

yxyxf

yy

xx







中求出的

),(

00

yx，就是函数),(yxf在约束条件

0),(yx下的可能的极值点。

(4)最值问题

1)设函数),(yxf在开区间D内连续，),(

00

yx是D内唯一的极值点，如果该点

是极大（小）点，则该点是最大（小）点，

),(

00

yxf为最大（小）值。

2)设函数),(yxf在有界闭区域D上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上

的最值和D内的可能极值点进行比较，则最大的为最大值，最小的为最小值。

在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值

点，则该点就是所求的最值点

三、典型例题分析

1.多元函数的定义域、极限和连续

1、求定义域

和一元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。

例1：求函数

)1ln(

arcsin

22

2

yx

x

y

yx

z





定义域

解：由平方根内的函数不小于零，分母不为零，对数函数的定义域为正，由反正弦函数的定

义域



























0,11

11

01

0

22

22

2

x

x

y

yx

yx

yx

从而

}0,10,|),{(22xyxxyxyxD

2、复合函数问题

在求复合函数的问题时，可适当引入中间变量。

例2：求下列复合函数问题

(1)设

22

2

),(

yx

xy

yxf



，求),1(

x

y

f

(2)设

xx

y

x

xyxf

ln

1

)1()ln,(，求),(yxf

解：（1）由

22

2

),(

vu

uv

vuf



，令

x

y

vu,1，则),1(

x

y

f

22

2

yx

xy





（2）令xvyxuln,，则vveuyex,，从而：

vvv

v

eeeu

e

vuf

ln

1

)1(),(





veeu

u

vv)(

，所以

yeex

x

yxf

yy)(

),(





3、二重极限和连续性

(1)在一元函数极限中，

0

xx只有三种形式，而在二元函数的重极限中，

),(),(

00

yxyx的方式有无穷多种，这是两者的本质区别，不要轻易用求累次极限去

代替求重极限。

(2)求),(lim

),(),(

00

yxf

yxyx

时，可用连续函数的极限值等于函数值，等价无穷小的代换，重要

极限，恒等变换约去零因子，夹逼定理等。

(3)通常用取不同路径的极限不相等来说明),(lim

),(),(

00

yxf

yxyx

不存在。

例3：求下列极限

(1)

22

)0,1(),(

)ln(

lim

yx

xey

yx





(2)

xy

eyx

yxcos1

)1ln(

lim

2

)1,0(),(





解：（1）

22

)0,1(),(

)ln(

lim

yx

xey

yx





2ln

01

)11ln(

)01(





处连续，在

（2）

xy

eyx

yxcos1

)1ln(

lim

2

)1,0(),(





2

2

)1,0(),()(

2

1

lim

xy

yx

yx

等价无穷小2

2

lim

)1,0(),(



yyx

例4:证明：函数



















)0,0(),(,0

)0,0(),(,

),(42

2

yx

yx

yx

xy

yxf分别对x和y是连续的，但在原点

函数),(yxf不连续。

证：当

)0,0(),(

00

yx时，有),(lim),(lim

00

4

00

2

00

4

0

2

2

0

0

00

yxf

yx

yx

yx

xy

yxf

xxxx













，

当

)0,0(),(

00

yx时，有)0,0(0

0

0

lim),(lim

2

0

0

0

f

x

x

yxf

xxx











，所以),(yxf对变

量

x

连续，同理对变量y也连续。

但当点),(yx沿2,yxyx趋于原点时极限为：

0

1

limlim

2

0

42

2

0















y

y

yx

xy

y

yx

y

yx

，

2

1

limlim

44

4

0

42

2

0

22















yy

y

yx

xy

y

yx

y

yx

故在原点函数),(yxf不连续

2.多元函数微分法

例5：设z

y

x

u)(，求

zyx

uuu,,。

解：

z

z

z

xy

zx

yy

x

zu

1

1

1

)(



，

12

1)()(





z

z

z

yy

zx

y

x

y

x

zu，)ln()(

x

y

y

x

uz

x



例6：设xyztanln，求

yyxyxx

zzz,,

解：

)2csc(2

)tan(

)(sec

))(tan(

)tan(

12

xyyy

xy

xy

xy

xy

z

xx





，

)2cot()2(csc(42xyxyyz

xx

；

xy

z)2cot()2csc(4)2csc(2xyxyxyxy；

)2cot()2(csc(42xyxyxz

yy

（由yx,位置的对称性）。

例7：求yxyz)1(的全微分

121)1()1()1(



y

x

y

x

xyyxyxyyz

由)1ln(lnxyyz，两边对y求导]

1

)1[ln()1(

xy

xy

xyxyzy

y



所以：dy

xy

xy

xyxydxxyydzyy]

1

)1[ln()1(])1([12





例8：设222),,(zyxezyxfu,yxzsin2,求

x

u





，

y

u





解:

x

z

z

u

x

f

x

u





















)sin2(22222222yxezexzyxzyx)sin21(2222yzxezyx

y

z

z

u

y

f

y

u





















)cos(222222222yxezeyzyxzyx)cos(22222yzxyezyx

例9：),2(

2

2

x

y

xfxz，f具有二阶连续偏导数，求

yx

zz,

解：

2

2

1

222fyfxxfz

x







，

22

22

2

fxy

x

y

fxz

y









3．隐函数、参数方程的偏导数

隐函数求导有公式法和直接法。直接法就是将方程或方程组两边对某一变量求导，此时

其它变量是该变量的函数，注意使用多元复合函数的求导法则。

例10：设zxezxy，求

x

z





，

y

z





解：令zxezxyzyxF),,(则

1









zxy

zxyy

F

F

x

z

z

x，

1







zxy

x

F

F

x

z

z

y

例11：设0),(

z

y

z

x

F，其中F具有连续的一阶偏导数，证明z

y

z

y

x

z

x











。

证明：

z

FF

x

1

1





，

z

FF

y

1

2





，)(

1

)()(

21

22

2

2

1

FyFx

zz

y

F

z

x

FF

z

















从而

FyFx

F

z

F

F

x

z

z

x















1

1，

FyFx

F

z

F

F

y

z

z

y















1

2，所以z

y

z

y

x

z

x











。

4．多元函数微分学的应用

1、方向导数和梯度

例12：求函数xzyzxyu在点)3,2,1(P处沿P点的向径方向的方向导数。

解：在点)3,2,1(P处

















3)(

4)(

5)(

Pu

Pu

Pu

z

y

x

，14321||222OP，故向径OP的方向余弦

为





















14/3cos

14/2cos

14/1cos







，向径

OP

的方向导数为

l

u





14

22

14

3

3

14

2

4

14

1

5

例13：求数量场

xzyxzyxf22),,(在点),1,0,1(M的梯度、沿}1,2,2{l的方向导

数和M处最大的方向导数。

解:由

















1)(

0)(

3)(

Mf

Mf

Mf

z

y

x

,得:kiMgradf3)(；

由l方向的方向余弦

















31cos

32cos

32cos







，得方向导数：

3

7

3

1

10

3

2

3





Ml

f

；

M处最大的方向导数即为M点处梯度的模：10)(max





Mgradf

l

f

M

例14：函数

r

u

1

，其中222zyxr，设沿方向}cos,cos,{cosl的方向导

数0





l

u

，则l与r的关系如何？

解：

222

22

211

zyx

x

r

r

r

x

u

x







3r

x

，由对称性

3r

y

y

u







，

3r

z

z

u







coscoscos

333r

z

r

y

r

x

l

u







)coscoscos(

1

3

zyx

r

)(

1

3

lr

r







由已知0





l

u

得0lr





，从而r



垂直l



。

2、多元函数微分学在几何上的应用

例15：在曲线

















2/

3/

4/

2

3

4

tz

ty

tx

上求一点

),,(

000

zyx，使该点的切线垂直于平面1zyx，

并求切线和法平面方程。

解：点

),,(

000

zyx处的切线的方向向量为),,(

ttt

zyxT

),,(23ttt，

平面1zyx的法向量为}111{，，n



，

由已知nT



||，故

111

23ttt

，从而1t，)2/1,3/1,4/1(),,(

000

zyx，

所以切线方程为

1

2

1

1

3

1

1

4

1









z

y

x

法平面方程为0)

2

1

(1)

3

1

(1)

4

1

(1zyx，即

12

13

zyx。

例16：求曲面

1222zyx上平行于平面02zyx的切平面方程。

解：令1222zyxF，故切平面的法向量为}2,2,2{},,{

1

zyxFFFn

zyx





，

平面02zyx的法向量为}211{

2

，，n



，

由已知

21

||nn



，故t

zyx







2

2

1

2

1

2

，所以所求点为),

2

,

2

(),,(t

tt

zyx，

又该点在曲面上，则1

44

2

22

t

tt

，解得

3

2

t，因此切平面方程为

0)

3

2

(2)

3

2

2

1

()1()

3

2

2

1

(1zyx，即

3

2

32zyx。

3、求极值和最值

例17：求279),(33xyyxyxf的极值。

解：由















093

093

2

2

xyf

yxf

y

x

，求得驻点为)3,3(),0,0(

xfA

xx

6，9

xy

fB，yfC

yy

6

在点)0,0(，02BAC不是极值点；

在点)3,3(，02BAC，且0A，)3,3(是极小值点，

极小值为02733933)3,3(33f。

例18：在xOy面上求一点，使它到0162,0,0yxyx三条直线的距离平方和为

最小。

解：设所求点为),(yx，则该点到三条直线的距离平方和为222)162(

5

1

yxxyz，

由



























0)162(

5

4

2

0)162(

5

2

2

yxy

y

z

yxx

x

z

，即











03292

083

yx

yx

，解得唯一驻点为)

5

16

,

5

8

(，由

唯一性，则该点即为所求。

例19：求过点)3/1,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小。

解：设所求平面与三个坐标面在第一象限内的截距为cba,,（其中0,0,0cba）

从而围成的立体体积为abcV

6

1

，平面方程为1

c

z

b

y

a

x

，故此问题化为求abc在约

束条件1

3

112



cba

下的条件极值问题，

则拉格朗日函数为)

3

112

(),,,(

cba

abccbaL，求cba,,的偏导数，并使之为零，

则































01

3

112

0

3

0

0

2

2

2

2

cba

c

ab

b

ac

a

bc







，解得唯一驻点1,3,6cba，

所以所求平面方程为1

136



zyx

。

四、自测题A及解答

一、选择题

1.极限



x

xy

y

x

sin

lim

0

0

（）

（A）不存在（B）0（C）1（D）

2.设函数

x

y

yxfarcsin),(

，则



)1,2(

x

f（）

（A）

4

1

（B）

4

1

（C）

2

1

（D）

2

1



3.设0),(bzyazx，则











y

z

b

x

z

a（）

（A）

a

（B）b（C）1（D）1

4.曲面042xyzxz上点（1，0，2）处切平面方程为（）。

（A）0622zyx（B）0222zyx

（C）0222zyx（D）0622zyx

5.函数22zxyu点)1,1,2(处方向导数的最大值为（）

（A）62（B）4（C）2（D）6

二、填空题

1.函数),(yxfz在点),(yx处偏导数),(),,(yxfyxf

yx

存在，是函数),(yxf在点

),(yx处可微的条件。

2.设22),(yx

x

y

yxf，则

____________

),(yxf。

3.设函数yxz2，则

_________________







x

z

，

_________________







y

z

。

4.设)(

x

y

xyfz，且)(uf可导，则











y

z

y

x

z

x

5.设)2sin(yxezx，则

x

z





在点)

4

,0(



的值等于。

6.设),,(),,,(wvufxyzxyxfu有一阶连续偏导数，则

_________________







x

z

。

7.设),ln(xyxz，则

________________

2







yx

z

。

8.函数)ln(222zyxu在点)2,2,1(M处的梯度

M

ugrad。

三、计算题

1.已知xyz，求在1.0,1.0,1,1yxyx处的全增量和全微分。

2.设22),(yxxyyxf，求),(yxfz的全微分。

3.设)()(

y

x

yg

x

y

xfz，其中f，g是可微函数，求

y

z

x

z









,。

4.设2sinxxyyz求

yx

z



2

5.)(bzyfazx，求dz。

四、应用题

1.求曲线





















2

sin4

cos1

sin

t

z

ty

ttx

，在点)22,1,1

2

(



处的切线与法平面方程。

2.求函数xyzu在点)2,1,5(沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。

3.求函数)0)((),(ayxaxyyxf的极值。

五、证明题

设)sin(sinsinxyFxu，证明yxx

y

u

y

x

u

coscoscoscos











自测题A参考答案

一、选择题

(B)、(A)、(C)、(D)、(A)

二、填空题

1.必要

2.解：令















v

x

y

uyx

























v

uv

y

v

u

x

1

1

得2

1

1

),(u

v

v

vuf





，所以2

1

1

),(x

y

y

yxf





。

3.解：122





yyx

x

z

，xx

y

z

yln22





4.解：

1

2

f

x

y

yf

x

z









，

1

fyxf

y

z









，所以z

y

z

y

x

z

x2











。

5.解：

)2cos()2sin(yxeyxezxx

x

，

1

)

4

,0(



x

z

x

z



















321

1

7.解：

y

x

z

y

，

y

z

xy

1

。

8.}

2

,

2

,

2

{

222222222zyx

z

zyx

y

zyx

x

gradu



，)

9

4

,

9

4

,

9

2

(

M

ugrad

三、计算题

1.解：xyyyxxz))((，01.011)1.01)(1.01(z

xdyydxdz，0)1.0(1)1.0(1dz。

2.解：











vxy

uyx

，vuxyyxvuf22)(),(22，所以yxyxf2),(2

所以：

dyxdxdyzdxzdz

yx

22。

3.解：

11

gf

x

y

f

x

z













，

11

g

y

x

gf

y

z













x

z

2)cos(2





，

xyxyxyy

yx

z

sin)cos(22

2







5.解：令xazbzyfzyxF)(),,(，

1

1

1

,

1

fba

f

F

F

y

z

fbaF

F

x

z

z

y

z

x























所以：

dy

fba

f

dx

fba

dz

1

1

1

1















四、应用题

1.解：，由题意可知

2



t，由

















)2/cos(2

sin

cos1

tz

ty

tx

t

t

t

，则

















2

1

1

t

t

t

z

y

x

所以

}2,1,1{s



切线：

2

22

1

1

1

2/1







zyx

法平面：

0)22(2)1(1)2/1(1zyx，即：

02/42zyx

。

2.解：

}12,3,4{}214,14,59{l



，131234222，

13

12

cos,

13

3

cos,

13

4

cos，因为coscoscos

z

u

y

u

x

u

l

u























所以：

13

12

5

13

3

10

13

4

2

)2,1,5(







l

u

13

98



3.















02

02

2

2

xyxaxf

yxyayf

y

x),0()0,(),3/,3/(),0,0(aaaa，为驻点，

xfCyxafByfA

yyxyxx

2,22,2

驻点ABC2BAC极值

（0，0）

0

a

0

02a否

)3/,3/(aa

a

3

2

a

3

1

a

3

2

0

3

1

2a

是

)0,(a0

a

a2

02a否

),0(aa2

a

0

02a否

在点)3/,3/(aa，当0a时0A，

27

3a

f

极大

；当0a时0A，

27

3a

f

极小

。

五、证明题

证明：)cos(cos

1

xFxu

x





，yFu

y

cos

1



，故yxx

y

u

y

x

u

coscoscoscos











。

五、自测题B及解答

一、选择题

1.





112

3

lim

0

0xy

xy

y

x

（）

（A）不存在（B）3（C）6（D）



2.函数

yx

z

sinsin

1

的所有间断点是（）

（A）nyx2

（B）),3,2,1(,nnyx

（C）),2,1,0(,mmyx

（D）),2,1,0,,2,1,0(,,mnmynx

3.函数),(yxfz在点),(

00

yx处的偏导数),(),,(

0000

yxfyxf

yx

存在，是函数),(yxf

在点),(

00

yx处连续的（）条件

（A）充分非必要（B）必要非充分

（C）充分必要（D）非充分且非必要

4.已知函数),(),,(),,,(tstsxyxtfu均有一阶连续偏导数，则





t

u

（）

（A）

tytxt

fff

（B）

tytx

ff

（C）

tt

ff（D）

ttt

fff

5.设函数),(yxfz在),(

00

yx处取得极小值，则函数),()(

0

yxfy在

0

y处（）

（A）取得最小值（B）取得极大值

（C）取得极小值（D）取得最大值

二、填空题

1.函数)lnln(yxz的定义域为。

2.设),(yxz由方程0)ln(22xyzxyzxz所确定的函数，则

_________________







x

z

。

3.设yxzsin，则dz。

4.设

y

x

yxyxfarcsin)1(),(，则

_______________

)1,(



xf

x

。

5.设2sinyyezx，则

yx

z



2

在点),0(的值为。

面上的曲线16322yx绕着y轴旋转一周的曲面在点（1，1，2）处的法线方程

为。

7.已知曲面224yxz上的点M处的切平面平行于已知平面0532zyx，

则M点的坐标是。

8.函数yxz2在点（1，2）沿点（2，1）到（1，2）方向上的方向导数为。

三、计算题

1.设yxyxz2)2(，求

y

z

x

z









,。

2.)()(

1

yxyxyf

x

z，,f具有二阶连续偏导数，求

yx

z



2

。

3.设33),,(yzxzyxfu，其中),(yxzz由方程03333xyzzyx确定，求

)1,0,1(



x

f。

4.)(),,(),,(),,,(xttxhyyxgzzyxu，求

dx

du

。

5.已知xeyty，而t由1222xty确定的x，y的函数，求

dx

dy

。

四、应用题

1.求椭球面163222zyx上点)3,2,1(处的切平面与xoy面的夹角的余弦。

2.设函数222),,(czxbyzaxyzyxf，若),,(zyxf在点)1,1,1(处沿z轴正方向有

最大增长率18，求cba,,的值。

3.求函数221),(yxxyyxf在区域0,0,1),(22yxyxyxD上的最大

值。

五、证明题

设),(yxFu可微，而sin,cosryrx，求证2222)()()

1

()(

y

u

x

uu

rr

u

























。

自测题B参考答案

一、选择题

(B)、(D)、(D)、(A)、(C)

二、填空题

1.解：}10,0|),{(}1,0|),{(yxyxyxyxD。

2.解：令)ln(22),,(xyzxyzxzzyxF，则

z

yxx

x

yzz

F

F

x

z

y

x

1

22

1

22











。

3.解：dyxyxdxxydyzdxzdzyy

yx

lncossinsin1sin

4.解：1

1

/2

1

/1

1

)1(1

)1,(

)1,(



























x

x

xy

yxyx

yf

5.解：yezx

x

sin，yezx

xy

cos，0|

),0(



xy

z

6.解：旋转曲面为16)(3222yzx，令16)(3),,(222yzxzyxF，

zFyFxF

zyx

6,2,6，在点（1，1，2）处}6,1,3{2}26,12,16{n



，故法

线方程为

6

2

1

1

3

1







zyx

。

7.解：224yxz}1,2,2{

1

yxn



；0532zyx

}1,3,2{

2

n



由

21

||nn



)

4

3

,

2

3

,1(),,(

4

1

1

3

2

2

2

22





























zyx

yxz

yx

8.解：}1,1{}12,21{l



，

2

1

cos,

2

1

cos



，则

2

3

1

2

1

4

2

1

cos2coscoscos2

















xxy

y

z

x

z

l

f

。

三、计算题

1.解：)2ln()2(lnyxyxz，

1)2ln(

1







yx

x

z

z

，))2ln(1()2(2yxyx

x

z

yx





；

)1)2(ln(2

1







yx

x

z

z

，))2ln(1()2(22yxyx

x

z

yx





。

2.解：

11

2

11













yyf

x

f

x

x

z

，

1

11

11

2

2



























yxf

x

y

f

x

xf

x

yx

z











yfy。

3.解：令xyzzyxzyxF3),,(333，

xyz

yzx

F

F

z

z

x

x33

33

2

2





，

033

)1,0,1(

2332

)1,0,1(







xx

zyzxyzxu

4.解：

dx

dz

z

u

dx

dy

y

u

x

u

dx

du



















（*），将



































































)(

2121

21





hhgg

dx

dy

y

z

x

z

dx

dz

hh

dx

dt

t

y

x

y

dx

dy

代入（*）得)]([)(

212132121











































hhggfhhff

dx

du

。

5.解：（1）将隐函数xeyty两边对x的求导得

1)(

xx

ty

x

tyytey（*）；

（2）求隐函数1222xty关于x的导数，令

01),(222xtytxF，则

t

xyy

F

F

tx

t

x

x2

22



t

yyx

x



；

（3）将

t

yyx

tx

x



代入（*）得

tyty

ty

xeteyt

txye

y

22



。

四、应用题

1.解：令163),,(222zyxzyxF，

}2,2,6{},,{zyxFFFn

zyx





，

在点)3,2,1(处法向量为}6,4,6{

)3,2,1(

1





nn



，xoy的法向量为}1,0,0{

2

n



，

设

21

,nn



的夹角为，则

22

3

1646

6

||||

cos

222

21

21









nn

nn





。

2.解：由题意函数),,(zyxf在点)1,1,1(处的梯度为}18,0,0{

)1,1,1(





fgrad，

另一方面

}2,2,2{},,{

)1,1,1(

)1,1,1(

cbbacaffffgrad

zyx







从而

}18,0,0{}2,2,2{cbbaca

284cba，，

3.解：



























0

1

1),(

0

1

1),(

22

2

22

22

2

22

yx

xy

yxxyxf

yx

yx

yxyyxf

y

x

，在区域D内部











12

12

22

22

yx

yx

得唯一驻点：)

3

1

,

3

1

(，

9

3

)

3

1

,

3

1

(f；

在边界122yx上，0),(yxf，在边界022yx上，0),(yxf.

比较之得：),(yxf在点)

3

1

,

3

1

(取到最大值

9

3

。

五、证明题

证明：，sincos

y

u

x

u

r

u

















，



cos)sin(r

y

u

r

x

uu

















，所以：

22)

1

()(









u

rr

u

22)]cossin(

1

[)sincos(r

y

u

r

x

u

ry

u

x

u

























)sin(cos)()sin(cos)(222222













x

u

x

u

22)()(

x

u

x

u











