ex的泰勒展开式
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2023年2月28日发(作者：月夜思乡)泰勒公式、等价⽆穷⼩代换式总结
泰勒公式是极限计算的重要⼯具，常⽤重要函数的泰勒展开式有：
1.
是奇函数，展开式也绝不会有偶函数的形式，其中o(·)为佩亚诺余项;
⼀般⽤到余项为3次⽅即可
2.
是偶函数，展开式也绝不会有奇函数的形式.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
由泰勒展开式作差，可得到⼀组“差函数”的等价⽆穷⼩代换式，
当时：
1.
其中可任意替换，，写成狗也可以，
2.
3.
4.
常⽤等价⽆穷⼩还包括：
其中也可任意替换，灵活使⽤
例题：
1.型
sinx=x−+−+o(x)3!
x
3
5!
x
5
7!
x
7
7
sinx
sinx=x−+3!
x3
o(x)3
cosx=1−+−+o(x)2!
x
2
4!
x
4
6!
x
6
6
cosx
arcsinx=x++o(x)3!
x
3
3
tanx=x++o(x)3
x
3
3
arctanx=x−+o(x)3
x
3
3
ln(1+x)=x−++o(x)2
x
2
3
x
3
3
e=1+x+++o(x)x
2!
x
2
3!
x
3
3
(1+x)=1+αx+x+o(x)α
2!
α(α−1)
22
x→0
x−sinx∼=3!
x
3
6
x
3
xx−sin(g(x))∼6
(g(x))3
狗−sin(狗)∼
6
(狗)3
arcsinx−x∼6
x
3
tanx−x∼3
x
3
x−arctanx∼3
x
3
sinx∼x,tanx∼x,arcsinx∼x,arctanx∼x,ln(1+x)∼x,e−x1∼x,a−x1∼xlna,1−cosx∼,(1+2
x2
x)−α1∼
αx
x
B
A
计算，这种类型要尽可能避免使⽤洛必达法则，考点往往是利⽤泰勒公式解决.
将分⼦代换为与上下同阶的形式：.
2.型
时，与为等价⽆穷⼩，计算a,b，利⽤泰勒公式，将分别展开到他们的系数不相等的的最低幂次.
故a=,b=4.
但须注意，有些情况下不能随便⽤等价⽆穷⼩代换：
1.加减情况下不能随便使⽤等价⽆穷⼩
2.⽆穷⼩量为零的情况下不能使⽤等价⽆穷⼩代换
x→0
lim
x3
x−sinx
=x→0
lim
x3
6
x
3
6
1
A−B
x→0cosx−e−x
x
2
axbA和Bx
cosx−e=−x
x
2
[1−+2!
x2
+4!
x4
o(x)]−4[1−+2
x2
+2!
4
x
4
o(x)]∼4−12
x4
12
−1
注意：此题中提到的等价替换表达式其实为，其中x是⾃变量，在趋于0的过程中，当会=0，⽆穷⼩量为
0，不能使⽤等价⽆穷⼩；但若表达式写作
（此题中并未⽤到），
狗趋近于0，但不会取到0，三者都为狗，所以不会存在⽆穷⼩量为0的情况，因此在此前提下将放⼼地⼴义化，对⽐上⼀个表
达式，可将此种类型的题理解为狗不等价狗的案例。
总结：
实际计算数列极限的问题更为繁琐，还包括⽤定义法证明数列极限，并⽤性质（唯⼀性、有界性、保号性）求极限，以及运⽤极限的四则运
算规则、夹逼准则、单调有界限准则（单调有界必有极限）、放缩后裂项相消等⽅法求极限，学会运⽤泰勒公式以及正确前提下使⽤等价⽆
穷⼩替换也极为重要。
=x→0
lim
x
sinf(x)
1xx=n,f(x)nπ
1
=狗→0
lim
狗
sin狗
1
sin狗∼狗
sin