泰勒定理
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2023年3月6日发(作者：换热器工作原理).
；.
泰勒公式
定理（peano余项型，洛必达法则法证明）若()
0
()nfx存在,则
0
()xx，
0
()(,)
n
fxTxx0
()nxx.
()
2
00
000000
()()
(,)()()()()()
2!!
n
n
n
fxfx
Txxfxfxxxxxxx
n
.
0
(,)
n
Txx叫做f在
0
x的n次泰勒多项式，也叫f在
0
x的n次密切（“切线”）.
证法洛必达法则法的分析.按照洛必达法则往证
0
()()
lim0
()
n
n
xa
fxTx
xx
即可.
记()()()
nn
RxfxTx，
0
()()n
n
Qxxx，
注意到(1)()
000
()()()0nn
nnn
RxRxRx，
(1)
00
()()0n
nn
QxQx，()
0
()!n
n
Qxn
()
0
()nfx存在，意味着(1)()nfx在
0
()Ux内还可导.允许
()
0
lim
()0
n
xa
n
Rx
Qx
反复使用洛必达法则1n
次.
证明连续1n次使用洛必达法则，得
(1)
(1)
()()
00
limlim
()0()0
n
nn
n
xaxa
nn
RxRx
QxQx
不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比.
(1)(1)()
000
0
()()()()
lim
(1)2()
nnn
xa
fxfxfxxx
nnxx
(1)(1)
()
0
0
0
()()
1
lim()0
!
nn
n
xa
fxfx
fx
nxx
.
注1即使函数能表成
00
()(,)()n
n
fxPxxxx，
0
(,)
n
Pxx不一定是泰勒多项式.
如1()(),nfxxDxnN
，由
1
00
()()
limlim0
n
nn
xx
fxxDx
xx
，故()(0)nfxxx.
虽然能写成2()0000nnfxxxxx，但是，根据海因定理，1()()nfxxDx
，
nN
仅在0点仅1阶可导(0)0f
（0的邻域内()fx
无定义）.
故2()0000n
n
pxxxx
并不是()fx在0处的泰勒多项式.
注2若f能表成
00
()(,)()n
n
fxPxxxx，则多项式
0
(,)
n
Pxx是唯一的（不论可导性）.
因为若
00
()(,)()n
n
fxPxxxx
2
0102000
()()()()nn
n
aaxxaxxaxxxx（1）
则由（1）
0
0
lim()
xx
fxa
，
反代入（1）式又得
0
0
1
0
()
lim
xx
fxa
a
xx
，
反代入（1）式又得
0
010
2
2
0
()[()]
lim
()xx
fxaaxx
a
xx
.
；.
……
由于极限唯一性，所以，
0
(,)
n
Pxx是唯一的.
该结论叫做唯一性引理.它说明，peano余项型泰勒公式()()
n
fxTx0
()nxx中，f只能
由()
n
Tx来逼近（近似），或者说，在定理的条件下，()
n
Tx来逼近（近似）f是最佳的逼近（近似）.
定理（Taylor中值定理，Lagrange余项型，柯西中值定理法证明）
若函数f满足
ⅰ()()nfx在],[ba上连续;ⅱ()()nfx在),(ba内可导.
则
0
,[,],(,),xxabab使
0
()(,)
n
fxTxx
(1)
1
0
()
()
(1)!
n
n
f
xx
n
.
有的教材把[,]ab改为
0
()Ux，定理为：设函数()fx在
0
()Ux存在1n导数，则
0
()xUx，
(1)
1
00
()
()(,)()
(1)!
n
n
n
f
fxTxxxx
n
.
注从证明可见，对()()nfx运用柯西中值定理时，对()()nfx在
0
,xx处的可导性没有要求.
证法分析（华东师大本）若能整理成两个函数差的比，可以试用柯西中值定理.
显然
0
xx时结论为0=0，讨论无意义.
当
0
xx时，不妨设
0
xx.结论相当于
(1)
0
1
0
()(,)
()
()(1)!
n
n
n
fxTxx
f
xxn
.
把
0
x改为
t
，令()()(,)
n
FtfxTxt，1()()nGtxt
结论相当于
(1)
0
0
()
()
()(1)!
nFx
f
Gxn
，注意到()0Fx，()0Gx，结论即是
(1)
0
0
()()
()
()()(1)!
nFxFx
f
GxGxn
.
由柯西中值定理，代入导数，证毕.
（倘若不把
0
x改成
t
，而是令
0
()()(,)
n
FxfxTxx，1
0
()()nGxxx
，虽恰有
0
()0Fx，
0
()0Gx，把
()
()
Fx
Gx
化成0
0
()()
()()
FxFx
GxGx
，但用柯西中值定理得不出所要结论）
更一般形式的Taylor中值定理
定理（Lagrange余项型）若
ⅰ函数f在
0
()Ux存在1n阶导数;
ⅱ
0
()xUx,()Gt在
0
[,]xx或
0
[,]xx上连续，在
0
(,)xx或
0
(,)xx内可导，且()0Gt
.
则
0
(,)xx或
0
(,)xx，使
(1)
0
0
()()
()
()(,)()
!()
n
n
n
GxGx
f
fxTxxx
nG
.
特别地，取1()()nGtxt，可得Lagrange余项型的泰勒公式.
更特别地，取()()Gtxt，()1Gt
，则
(1)
0
()
()()()
!
n
n
n
f
Rxxxx
n
叫柯西余项.相应的泰勒定理叫做带柯西余项型余项的泰勒公式.
证明当
0
xx时，不妨设
0
xx.结论相当于
(1)
0
0
()(,)
()1
()
()()!()
n
n
n
fxTxx
f
x
GxGxnG
.
把
0
x改为
t
，令()()(,)
n
FtfxTxt，结论相当于
(1)
0
0
()
()1
()
()()!()
n
n
Fx
f
x
GxGxnG
.
.
；.
注意到()0Fx，结论相当于0
0
()()
()()
FxFx
GxGx
(1)()1
()
!()
n
n
f
x
nG
.
由柯西中值定理，代入导数，证毕.
特别地，取1()()nGtxt，可得Lagrange余项型的泰勒公式.更特别地，取()()Gtxt，
()1Gt
，相应的余项
(1)
0
()
()()()
!
n
n
n
f
Rxxxx
n
就是柯西余项.