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2023年3月16日发(作者：财务管理内容)浅谈微积分以及泰勒展开
浅谈微积分以及泰勒展开
前⾔
这年头不会微积分⼲什么都不⾏啊
⼀.微积分
微积分其实就只有两种运算，⼀种是求导(微分)，另⼀种是求积分。并且其为互逆运算
导数
导数的定义
导数（Derivative），也叫导函数值。⼜名，是中的重要基础概念。当函数y=f(x)的x在⼀点x0上产⽣⼀个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与⾃变量增量
Δx的⽐值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。——百度百科
简⽽⾔之，所谓导数所反映的就是⼀个函数的变化趋势，其同样是⼀个函数。设f
′(x)为f(x)的导数，那么f′(x
0
)就是f(x)的图像上过横坐标为x
0
的点的切线的斜率。
讲的更容易理解⼀点，我们先抛开所有关于微积分的什么极限啊什么的。仅仅考虑⼀个问题：什么是变化率？
你可能会说：“变化率就是Δy和Δx的⽐值。”确实，就是这样。它反映的是⼀个变化的趋势，就是随着横坐标x的变化，纵坐标y变化了多少。如果变化率越⼤，那么相应的，y
的变化就会越⼤。
⽽导数的本质就是变化率，只不过将其放在了⼀个⼗分微⼩的范围内。可以近似地看成图像在某个点的变化率。
那么这⾥有⼀个关于导数的悖论：“⼀个函数的导数所反映的是该函数在每个点时的变化率。”但⼀个点谈何变化？它连Δx和Δy都没有。
所以，不要把这当做导数的定义，别把导数看成某⼀点瞬时的变化率，⽽是看成某⼀点附近的变化率的最佳近似。
导数的求法
基本初等函数
这个很简单，按照定义来就⾏了。
我们假设⼀个函数在x
0
处产⽣了⼀个⾮常⼩的增量dx，同时导致了纵坐标的增量df，那么根据定义，其导数即为
df
dx。
以f(x)=x
2为例：
df
dx
=
f(x
0
+dx)−f(x
0
)
dx
=
x
2
0
+2dx⋅x+dx2−x
2
0
dx
=2x+dx
f′(x)=
lim
dx→0
df
dx
=
lim
dx→02x+dx=2x
当dx⽆限趋近于0时，我们可以将其省略，那么
df
dx
=2x。所以函数f(x)=x2的导数为f′(x)=2x。
但是，有没有更直观的⽅法呢？我可不想每次求导数的时候都去这样推⼀遍。⾃然是有的。⽤⼏何法也可以证明。
让我们假设现在有⼀个边长为x的正⽅形，那么它的⾯积就为x
2，该函数的函数值。此时如果该正⽅形的边长增加⼀个很⼩的量dx，那么它的⾯积ds就会增加
dx⋅x+dx⋅x+dx2，因为dx本⾝就是⼀个极⼩的值，那么其平⽅会变得更⼩，我们可以直接忽略不计。那么
ds
dx的值就为2x，与我们⽤代数法算出来的答案是⼀样的。
感谢@眼界⼩开的建议，为了⽅便理解⼏何法，我觉得这⾥应该放⼀张图：
3B1B：微积分的本质
假如我们学过微积分，这时我们就会发现，导数⾥⾯的系数2居然和原函数的指数2相同！这是巧合吗？显然不是。我们试着写出函数f(x)=x
3的导数f′(x)=3x2
，发现居然和⼆
次函数⼀样。那是不是……
好吧我坦⽩，这就是幂函数的共性……除此之外，这⾥还有⼀些其他基本函数的导数：
C′=0（C为任意常数）
(x
a
)′=ax
a−1
(e
x
)′=e
x
(log
a
x)′=
1
xlna
(sinx)′=cosx
(cosx)′=−sinx
(tanx)′=
1
cos2x
我们发现这个⾥⾯有⼀个⾮常神奇的函数e
x
，它的导数居然是它⾃⼰。怎么说呢，其实⾃然常数e就是这样定义的。我们对任意指数函数求导，以2
x
为例：
(2
x
)′=
2
x+dx
−2
x
dx
=
2
x
⋅2
dx
−2
x
dx
=2
x
⋅
2
dx
−1
dx
当dx趋近于0的时候，
2dx−1
dx会趋近于某个常数。也就是说，2
x
的导数是它⾃⼰乘上⼀个固定的常数。说到这⾥你可能就明⽩了，⾃然常数e的值即为
lim
dx→0
edx−1
dx
=1⇒e=lim
dx→0
(dx+1)
1
dx
再多说⼀点，其实2
x
的导数的那个常数就是ln(2)。为什么？看完复合函数的求导就知道了。
导数的运算法则
基本初等函数适⽤的范围毕竟还是太⼩了，⽣活中⼤多数函数都为基本初等函数通过某⼏种运算得到，这时求导就需要⽤到导数的运算法则。
导数的运算法则有以下三种：
和规则：
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)
(af(x))′=af′(x)
积规则：(f(x)⋅g(x))
′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)（左乘右导，右乘左导）
链规则：(f(g(x)))
′=g′(x)f′(g(x))
这三种规则都有其直观的⼏何理解，就⽐如积规则，可以想象⼀个分别以两个函数的函数值为边长的长⽅形，看其⾯积随着边长怎样变化。链规则则可想象三根数轴，各个因变量
是如何随着各⾃的⾃变量的变化⽽变化。
类似的⽅法还有很多，就不再赘述了。
讲⼀讲之前的那个指数函数求导的常数证明吧：
(2
x
)′=eln(2x)
′
=e
xln(2)
′
=ln(2)eln(2)
x
=ln(2)⋅2
x
⾼阶导数
我们把⼀个函数导数的导数称作⼆阶导数，其所反映的是该函数的导数的变化量，即变化量的变化量。
三阶导数以及更⾼阶的导数以此类推。
举个栗⼦：速度是路程的导数，⽽加速度是速度的导数，所以加速度是路程的⼆阶导数。
所以对于幂函数来说，其不断求导的过程就是不断地降幂，并且系数会以连乘∏的形式存在。因为每⼀次求导，都会将系数乘以当前的指数，并且指数减⼀。
Forinstance:f(x)=x10
⇒f
(5)(x)=∏
10
i=6
ix5
积分
积分的定义
积分是学与⾥的⼀个核⼼概念。通常分为和两种。直观地说，对于⼀个给定的正实值函数，在⼀个实数上的定积分可以理解为在坐标平⾯上，由曲线、
直线以及轴围成的的⾯积值（⼀种确定的值）。——百度百科
对于积分来说，就理解成⾯积就好了。
积分分为定积分和不定积分两种。定积分为⼀个确定的数值，⽽不定积分则是⼀个函数。
求不定积分和求导数互为逆运算。为什么？我们假设f(x)围成的⾯积的函数为g(x)，横坐标增加dx，那么⾯积的增加量ds可以近似地看做⼀个长⽅形，那么g
′(x)=
ds
dx
，就是当
前长⽅形的⾼，恰好就是f(x)的函数值。
积分的求法
很简单，因为求不定积分和求导数是⼀对互逆运算，那么我们就可以根据已知的导数反推出原函数。
如上⾯的⼏个导数求不定积分：
∫0dx=C
∫x
adx=
1
a+1
xa+1
+C
∫e
xdx=ex
+C
∫x
−1dx=lnx+C
定积分的运算法则
如果仅仅只是靠上⾯那⼏个基本公式的话显然不能满⾜需要，所以就需要⽤到积分的运算法则。
如下：
∫
b
a
kf(x)dx=k∫
b
a
f(x)dx
∫
b
a
[f(x)±g(x)]dx=∫
b
a
f(x)dx±∫
b
a
g(x)dx
∫
b
a
f(x)dx=∫
c
a
f(x)dx+∫
b
c
f(x)dx
⼆.泰勒级数
在数学中，泰勒级数（英语：Taylorseries）⽤⽆限项连加式——来表⽰⼀个函数，这些相加的项由函数在某⼀点的求得。——百度百科
说⽩了，泰勒级数就是⽤⼀个多项式去模拟⼀个函数，⾄少在OI中是这样的，可以⽤于以及的变形。
我们将多项式看做⼀个函数，那么问题就变成了如何⽤⼀个函数去模拟另外⼀个函数。
我们先从x=0下⼿（因为简单）
如果两个函数图像⼀样的话，那么⾄少在x=0时的函数值要相等吧，所以我们让其的常数项相等。
如果两个函数图像⼀样的话，那么⾄少在x=0附近的变化趋势要相等吧，所以我们让其导数相等。
如果两个函数图像⼀样的话，那么⾄少在x=0附近的变化趋势的变化趋势要相等吧，所以我们让其⼆阶导数相等。
……
可以证明，在x=0时，g(x)的n阶导数只与x
n
的系数有关系，因为之前的求导时已经变成0，⽽后边的因为含有x⽽为0
那么在x=0时我们就得到了函数f(x)的近似拟合函数
g(x)=f(0)+
f′(0)
1!
x+
f″(0)
2!
x2+…+
f(n)(0)
n!
xn
这个叫做麦克劳林级数。
等等，那泰勒去哪⼉了？
刚刚所展现的是在x=0附近拟合的过程。只需稍作替换，就可以在任意地⽅x=x
0
处拟合了。这就是泰勒级数：
g(x)=f(x
0
)+
f′(x
0
)
1!
(x−x
0
)+
f″(x
0
)
2!
(x−x
0
)2+…+
f(n)(x
0
)
n!
(x−x
0
)
n
()()()
()
所以麦克劳林级数只是泰勒级数在x=0的特殊情况。
下⾯是我在Geogebra上所拟合的cos(x)以及e
x
：
cos(x)
e
x
数学真的是⼀门美妙的学科。
⼀些有趣的东西
为什么圆的⾯积公式为πr
2？我们可以尝试将圆分成许许多多的圆环，并且将其展平，近似地看做⼀个个长⽅形。然后将他们由⼩到⼤放在坐标轴上。当相差的半径⾜够⼩的时
候，就可以看作是⼀个底为r（半径），⾼为2πr（周长）的三⾓形，故得圆的⾯积公式。
为什么三⾓形邻边⽐上斜边叫做余弦？因为余弦函数是正弦函数的导数，可以在单位圆上⽤⼏何法证明。三⾓函数的导数循环如下：
sin′(x)=cos(x)
cos′(x)=−sin(x)
(−sin(x))′=−cos(x)
(−cos(x))′=sin(x)
——2021年2⽉8⽇