等和线定理
-
2023年2月27日发(作者：柏金地板)微专题7等和线、三角形四心、奔驰定理
1.平面向量的等和线
平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP→，OP→＝λOA→＋μOB→
(λ，μ∈R)，若点P在
直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直
线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0.
2.三角形“四心”
(1)点O是△P
1
P
2
P
3
的重心，则有：OP
1
→＋OP2
→＋OP3
→＝0，S△P
2
OP
3
＝S△P
1
OP
3
＝S△P
1
OP
2
＝
1
3
S△P
1
P
2
P
3
；
(2)点O是△P
1
P
2
P
3
的垂心，则有：OP
1
→
·OP
2
→
＝OP2
→
·OP
3
→
＝OP3
→
·OP
1
→
，tanP1
·OP
1
→
＋
tanP
2
·OP
2
→
＋tanP3
·OP
3
→
＝0，S△P
2
OP
3
∶S
△P
2
OP
1
∶S
△P
1
OP
2
＝tanP1
∶tanP
2
∶
tanP
3
(△P
1
P
2
P
3
不是直角三角形)；
(3)点O是△P
1
P
2
P
3
的内心，则有：aOP
1
→
＋bOP2
→
＋cOP3
→
＝0，
S△P
2
OP
3
∶S
△P
3
OP
1
∶S
△P
1
OP
2
＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1
P
2
P
3
的三边，分别对应
角P1
，P
2
，P
3
)；
(4)点O是△P
1
P
2
P
3
的外心，则有：|OP
1
→
|＝|OP
2
→
|＝|OP
3
→
|，OP
1
→
sin∠P
2
OP
3
＋OP
2
→
sin∠P
1
OP
3
＋OP
3
→
sin∠P
1
OP
2
＝0，S△P
2
OP
3
∶S
△P
3
OP
1
∶S
△P
1
OP
2
＝sin2P1
∶
sin2P
2
∶sin2P
3
.
3.奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC
·PA
→
＋S△PAC
·PB
→
＋S△PAB
·PC
→
＝0.
由于这个定理对应的图形和奔驰车的标志很相似，因此我们把它称为“奔驰定理”.
这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和
“四心”相关的问题，有着决定性的作用.
类型一利用等和线求基底系数和的值
利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
例1设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝
1
2
AB，BE＝
2
3
BC.若DE
→
＝
λ
1
AB
→
＋λ
2
AC
→
(λ
1
，λ
2
为实数)，则λ
1
＋λ
2
的值为________.
答案
1
2
解析法一(通法)由题意作图如图.
∵在△ABC中，DE
→
＝DB
→
＋BE
→
＝
1
2
AB
→
＋
2
3
BC
→
＝
1
2
AB
→
＋
2
3
(AC
→
－AB
→
)＝－
1
6
AB
→
＋
2
3
AC
→
＝λ1
AB
→
＋λ2
AC
→
，
∴λ
1
＝－
1
6
，λ2
＝
2
3
.
故λ1
＋λ
2
＝
1
2
.
法二(利用等和线)如图，过点A作AF
→
＝DE
→
，连接DF.
设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，
∴AF＝
1
2
AH，
因此λ1
＋λ
2
＝
1
2
.
训练1(2022·太原模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E
为线段AO的中点.若BE
→
＝λBA
→
＋μBD
→
(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()
A.1B.
3
4
C.
2
3
D.
1
2
答案B
解析法一(通法)
∵E为线段AO的中点，
∴BE
→＝
1
2
(BA
→＋BO→
)＝
1
2
BA
→＋
1
2
BD
→
＝
1
2
BA
→＋
1
4
BD
→＝λBA→＋μBD→，
∴λ＝
1
2
，μ＝
1
4
，则λ＋μ＝
3
4
.
法二(等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ
＝k，
则k＝
BE
BF
.
由图易知，
BE
BF
＝
3
4
，故选B.
类型二利用等和线求基底系数和的最值(范围)
求解步骤：
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的允许存在的区域，分析何处取得最大值和
最小值；
(3)从长度比或点的位置两个方面，计算最大值和最小值.
例2给定两个长度为1的平面向量OA
→
和OB
→
，它们的夹角为
2π
3
，如图所示，点C
在以O为圆心的弧AB
︵
上运动，若OC
→
＝xOA
→
＋yOB
→
(x，y∈R)，则x＋y的最大值是
________.
答案2
解析法一(通法)
以O为坐标原点，OA→所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1，0)，B
－
1
2
，
3
2
，
设∠AOC＝α
α∈
0，
2π
3
，
则C(cosα，sinα)，
由OC→＝xOA→＋yOB→，
得
cosα＝x－
1
2
y，
sinα＝
3
2
y，
所以x＝cosα＋
3
3
sinα，y＝
23
3
sinα，
所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sin
α＋
π
6
，
又α∈
0，
2π
3
，
所以当α＝
π
3
时，x＋y取得最大值2.
法二(等和线法)如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为k＝1的等和线，所有与
直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，
易知OE⊥AB，
∵OA＝1，∠AOB＝
2π
3
，
∴OE＝
1
2
，
则k＝
DO
OE
＝
1
1
2
＝2，
即x＋y的最大值为2.
训练2如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且
OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设OP
→
＝λOC
→
＋μOD
→
，则λ＋μ的取
值范围为________.
答案
1，
3
2
解析法一(通法)
分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则OC→＝(0，1)，
OD
→＝(2，0)，
设P(x，y)，OP→＝(x，y)，
∴(x，y)＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，
∴
x＝2μ，
y＝λ，
∴λ＋μ＝
1
2
x＋y，
设z＝
1
2
x＋y，则y＝－
1
2
x＋z，
所以z是直线y＝－
1
2
x＋z在y轴上的截距，
由图可知，当该直线过点B(1，1)时，它在y轴上的截距最大，为
3
2
；和直线CD
重合时，在y轴上的截距最小，为1，故z∈
1，
3
2
，即λ＋μ∈
1，
3
2
.
法二(等和线法)如图，设λ＋μ＝k，则直线CD为k＝1的等和线，所有与直线
CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k＝
OE
OD
，
易知AD＝DE＝1，故此时k＝
3
2
，
显然k的最小值为1，
即λ＋μ∈
1，
3
2
.
类型三利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题
已知P为△ABC内一点，且xPA→＋yPB→＋zPC→＝0(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)，
则有
(1)S△PBC
∶S
△PAC
∶S
△PAB
＝|x|∶|y|∶|z|；
(2)
S△PBC
S△ABC
＝
x
x＋y＋z
，
S△PAC
S△ABC
＝
y
x＋y＋z
，
S△PAB
S△ABC
＝
z
x＋y＋z
.
例3(1)已知O是△ABC内部一点，满足OA
→
＋2OB
→
＋mOC
→
＝0，且
S△AOB
S△ABC
＝
4
7
，则实
数m等于()
A.2B.3
C.4D.5
(2)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ
→
＝
1
3
PA
→
，QR
→
＝
1
3
QB
→
，RP
→
＝
1
3
RC
→
，则
S△ABC
∶S
△PBC
等于()
A.14∶3B.19∶4
C.24∶5D.29∶6
答案(1)C(2)B
解析(1)法一(通法)延长CO到点M，使得OM
→＝－
m
3
OC
→，
因为OA→＋2OB→＋mOC→＝0，
所以－
m
3
OC
→＝
1
3
OA
→＋
2
3
OB
→，
即OM→＝
1
3
OA
→＋
2
3
OB
→，
所以A，B，M三点共线，
又因为OC→与OM→反向共线，
所以
|OM
→
|
|CM
→
|
＝
m
m＋3
，
所以
S△AOB
S△ABC
＝
|OM
→
|
|CM
→
|
＝
m
m＋3
＝
4
7
，
解得m＝4.
法二(奔驰定理法)由奔驰定理得S
△BOC
·OA
→＋S△AOC
·OB
→＋S△AOB
·OC
→＝0，
又OA→＋2OB→＋mOC→＝0，
∴S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝1∶2∶m.
∴
S△AOB
S△ABC
＝
m
1＋2＋m
＝
4
7
⇒m＝4.
(2)法一(通法)∵QR
→＝
1
3
QB
→，
∴以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1∶3，
∴S
△PQB
＝3S
△PQR
，即S
△PRB
＝2S
△PQR
，
∵以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3，
∴S
△BCR
＝3S
△PBR
＝6S
△PQR
，
∴S△PBC
＝2S
△PBR
＝4S
△PQR
，
同理可得S△ACP
＝S
△ABQ
＝6S
△PQR
，
所以
S△ABC
S△PBC
＝
S△BCR
＋S
△ACP
＋S
△ABQ
＋S
△PQR
S△PBC
＝
19S△PQR
4S△PQR
＝
19
4
.
法二(奔驰定理法)由QR
→＝
1
3
QB
→，
得PR→－PQ→＝
1
3
(PB
→－PQ→
)，
整理得PR→＝
1
3
PB
→＋
2
3
PQ
→＝
1
3
PB
→＋
2
9
PA
→，
由RP→＝
1
3
RC
→，
得RP→＝
1
3
(PC
→－PR→
)，
整理得PR→＝－
1
2
PC
→，
∴－
1
2
PC
→＝
1
3
PB
→＋
2
9
PA
→，
整理得4PA→＋6PB→＋9PC→＝0，
∴S
△ABC
∶S
△PBC
＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
训练3设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA
→
＋OB
→
＋2OC
→
＝0，则△ABC
的面积与△AOC的面积的比值为________.
答案4
解析法一(通法)
∵D为AB的中点，则OD
→＝
1
2
(OA
→＋OB→
)，
又OA→＋OB→＋2OC→＝0，
∴OD
→＝－OC→，
∴O为CD的中点.
又∵D为AB的中点，
∴S
△AOC
＝
1
2
S△ADC
＝
1
4
S△ABC
，
则
S△ABC
S△AOC
＝4.
法二(奔驰定理法)
因为OA→＋OB→＋2OC→＝0，
根据奔驰定理，
所以
S△ABC
S△AOC
＝
1＋1＋2
1
＝4.
类型四与三角形四心有关的问题
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三
角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.解题时，要结合题目已知条件，
充分利用各“心”的性质，巧妙转化.
例4过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC
→
＝
3
4
AC
→
，QC
→
＝
nBC
→
，则n的值为________.
答案
3
5
解析如图，因为O是重心，
所以OA→＋OB→＋OC→＝0，
即OA→＝－OB→－OC→，
PC
→＝
3
4
AC
→
⇒OC
→－OP→＝
3
4
(OC
→－OA→
)⇒OP
→＝
3
4
OA
→＋
1
4
OC
→＝－
3
4
OB
→－
1
2
OC
→
.
QC
→＝nBC→
⇒OC
→－OQ→＝n(OC→－OB→
)⇒OQ
→
＝nOB→＋(1－n)OC→，
因为P，O，Q三点共线，
所以OP→
∥OQ
→，所以－
3
4
(1－n)＝－
1
2
n，
解得n＝
3
5
.
训练4在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若aGA
→
＋
bGB
→
＋
3
3
cGC
→
＝0，则A＝________.
答案
π
6
解析由G是△ABC的重心，
则GC→＝－GA→－GB→，
因此aGA→＋bGB→＋
3
3
c(－GA
→－GB→
)＝
a－
3
3
c
GA
→＋
b－
3
3
c
GB
→＝0，
又GA→，GB→不共线，
所以a－
3
3
c＝b－
3
3
c＝0，
即a＝b＝
3
3
c，
由余弦定理得cosA＝
b2＋c2－a2
2bc
＝
3
2
，
又0
π
6
.
一、基本技能练
1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若CD
→
＝
1
3
CA
→
＋λCB
→
，则λ＝()
A.
2
3
B.
1
3
C.－
1
3
D.－
2
3
答案A
解析由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以
1
3
＋λ＝1，λ＝
2
3
.
2.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN
→
＝λAB
→
＋μAC
→
，则λ
＋μ的值为()
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.1
答案A
解析法一(通法)设BM
→＝tBC→，
则AN→＝
1
2
AM
→＝
1
2
(AB
→＋BM→
)＝
1
2
AB
→＋
t
2
BC
→＝
1
2
AB
→＋
t
2
(AC
→－AB→
)
＝
1
2
－
t
2
AB
→＋
t
2
AC
→，
∴λ＝
1
2
－
t
2
，μ＝
t
2
，
∴λ＋μ＝
1
2
.
法二(等和线法)如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ
＝k，
则k＝
|AN
→
|
|AM
→
|
.
由图易知，
|AN
→
|
|AM
→
|
＝
1
2
，故选A.
3.已知△ABC，平面内一动点P满足OP
→
＝OA
→
＋λ
AB
→
|AB
→
|
＋
AC
→
|AC
→
|
，则动点P过△ABC
的()
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
答案A
解析∵
AB
→
|AB
→
|
，
AC
→
|AC
→
|
分别表示AB→，AC→
方向上的单位向量，
∴
AB
→
|AB
→
|
＋
AC
→
|AC
→
|
的方向与∠BAC的角平分线一致.
∵OP
→＝OA→＋λ
AB
→
|AB
→
|
＋
AC
→
|AC
→
|
，
∴AP
→＝λ
AB
→
|AB
→
|
＋
AC
→
|AC
→
|
，
∴AP
→的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴一定通过△ABC的内心.
4.已知△ABC和点M满足MA
→
＋MB
→
＋MC
→
＝0，若存在实数m，使得AB
→
＋AC
→
＝
mAM
→
，则m等于()
A.2B.3
C.4D.5
答案B
解析∵MA
→＋MB→＋MC→＝0，∴M为△ABC的重心，
连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，
∴AM
→＝
2
3
AD
→，
又AD→＝
1
2
(AB
→＋AC→
)，
∴AM
→＝
1
3
(AB
→＋AC→
)，
即AB→＋AC→＝3AM→，
∴m＝3.
5.若H为△ABC所在平面内一点，且|HA
→
|2＋|BC
→
|2＝|HB
→
|2＋|CA
→
|2＝|HC
→
|2＋|AB
→
|2，
则点H是△ABC的()
A.重心B.外心
C.内心D.垂心
答案D
解析∵|HA
→
|2－|HB→
|2＝|CA→
|2－|BC→
|2，
∴(HA
→＋HB→
)·BA
→＝(CA→＋CB→
)·BA
→，
即(HA→＋HB→－CA→－CB→
)·BA
→＝0，
即(HC→＋HC→
)·BA
→＝0，
∴AB
→
⊥HC
→，
同理AC→
⊥HB
→，BC→
⊥HA
→，
故H是△ABC的垂心.
6.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若OA
→
＋AB
→
＋OC
→
＝0，且|OA
→
|＝|AB
→
|，
则CA
→
·CB
→
等于()
A.
3
2
B.3
C.3D.23
答案C
解析∵OA
→＋AB→＋OC→＝0，
∴OB
→＝－OC→，
故点O是BC的中点，且△ABC是直角三角形，又△ABC的外接圆半径为1，
|OA
→
|＝|AB
→
|，
∴BC＝2，AB＝1，CA＝3，∠BCA＝30°，
∴CA
→
·CB
→＝3×2×
3
2
＝3.
7.点O为△ABC内一点，若S△AOB
∶S
BOC
∶S△AOC
＝4∶3∶2，设AO
→
＝λAB
→
＋μAC
→
，
则实数λ和μ的值分别为()
A.
2
9
，
4
9
B.
4
9
，
2
9
C.
1
9
，
2
9
D.
2
9
，
1
9
答案A
解析根据奔驰定理，得3OA
→＋2OB→＋4OC→＝0，
即3OA→＋2(OA→＋AB→
)＋4(OA
→＋AC→
)＝0，
整理得AO→＝
2
9
AB
→＋
4
9
AC
→，故选A.
8.已知O是△ABC内一点，OA
→
＋OB
→
＋OC
→
＝0，AB
→
·AC
→
＝2且∠BAC＝60°，则△OBC
的面积为()
A.
3
3
B.3
C.
3
2
D.
2
3
答案A
解析∵OA
→＋OB→＋OC→＝0，
∴O是△ABC的重心，
∴S
△OBC
＝
1
3
S△ABC
，
∵AB
→
·AC
→＝2，
∴|AB
→
||AC
→
|cos∠BAC＝2，
∵∠BAC＝60°，∴|AB
→
||AC
→
|＝4，
又S△ABC
＝
1
2
|AB
→
||AC
→
|sin∠BAC＝3，
∴△OBC的面积为
3
3
.
9.(2022·南宁调研)若M是△ABC内一点，且满足BA
→
＋BC
→
＝4BM
→
，则△ABM与
△ACM的面积之比为()
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.2
答案A
解析法一(通法)设AC的中点为D，则BA
→＋BC→＝2BD→，
于是2BD→＝4BM→，从而BD→＝2BM→，
即M为BD的中点，
于是
S△ABM
S△ACM
＝
S△AMD
2S△AMD
＝
1
2
.
法二(奔驰定理法)由BA
→＋BC→＝4BM→，
得AM→＋2BM→＋CM→＝0，
根据奔驰定理得，
S△ABM
S△ACM
＝
2
1＋2＋1
＝
1
2
.
10.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE
的延长线与CD交于点F，若AC
→
＝a，BD
→
＝b，且AF
→
＝λa＋μb，则λ＋μ等于()
A.1B.
3
4
C.
2
3
D.
1
2
答案A
解析(等和线法)如图，作AG
→＝BD→，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G
三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.
11.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，
设AB
→
＝a，AC
→
＝b，向量AO
→
＝λa＋μb，则λ＋μ的值为________.
答案
2
3
解析如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，
设λ＋μ＝k，则k＝
AO
AM
.
由题设知O为△ABC重心，
AO
AM
＝
2
3
.
12.设O为△ABC内一点，且AO
→
＝
1
3
AB
→
＋
1
4
AC
→
，则S
△OAB
∶S
△OBC
＝________.
答案3∶5
解析由AO
→＝
1
3
AB
→＋
1
4
AC
→可得－12OA→＝4(OB→－OA→
)＋3(OC
→－OA→
)，
整理得5OA→＋4OB→＋3OC→＝0，
∴S
△OAB
∶S
△OBC
＝3∶5.
二、创新拓展练
13.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点(含边
界)，且AP
→
＝λAB
→
＋μAC
→
，则λ＋μ的取值范围为()
A.[0，1]B.[0，2]
C.[0，3]D.[0，4]
答案C
解析(利用等和线)设λ＋μ＝k，则直线BC为k＝1的等和线，所有与BC平行
的直线中，过点A时，k＝0，过点D的距离BC最远，
由于△BCD与△ABC的面积之比为2，
故二者的高之比也是2，
故k的最大值为3，即λ＋μ∈[0，3].
14.已知正三角形ABC的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足|PD
→
|≤1，且AP
→
＝xAB
→
＋yAC
→
，其中x＋y≥1，则2x＋y的最大值为()
A.1B.
3
2
C.2D.
5
2
答案D
解析∵动点P满足|PD
→
|≤1，
∴P的轨迹为以D为圆心，1为半径的圆及内部，设圆D与边AB交于点B
1
，连
接B1
C，
则B1
C⊥AB，且B
1
是AB中点，
则AB1
＝
1
2
AB，
∵AP
→＝xAB→＋yAC→，
∴AP
→＝2xAB1
→＋yAC→，
∵x＋y≥1，由等和线性质知P点在直线B
1
C左下方，如图，作直线B
1
C的平行
线l与圆D相切于P，
由等和线性质知，此时2x＋y有最大值，延长AB交l于点B2
，
∴(2x＋y)
max
＝
AB
2
AB
1
＝
1＋
1
2
＋1
1
＝
5
2
.
15.设G为△ABC的重心，且sinA·GA
→
＋sinB·GB
→
＋sinC·GC
→
＝0，则角B＝
________.
答案60°
解析∵G是△ABC的重心，
∴GA
→＋GB→＋GC→＝0，
又sinA·GA→＋sinB·GB→＋sinC·GC→＝0，
∴sinA＝sinB＝sinC，
即a＝b＝c，则△ABC是等边三角形，
故B＝60°.
16.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP
→
＝αAB
→
＋βAF
→
(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________.
答案[3，4]
解析(等和线法)直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最
近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈
AN
AM
，
AD
AM
.
设正六边形边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，故α＋β∈[3，4].