函数性质
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2023年2月27日发(作者：菱形定义)第页共5页
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函数的基本性质
一．课标要求
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意
义；
2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；
二．命题走向
函数的性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，通过研究
函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
三．要点精讲
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如
果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，
则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：
○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任
意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○2确定f(－x)与f(x)的关系；
○3作出相应结论：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
②设()fx，()gx的定义域分别是
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,DD，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇
奇=偶，偶+偶=偶，偶
偶=偶，奇
偶=奇
2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内
的任意两个自变量x
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，x
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，当x
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2 时，都有f(x 1 ) 2 )（f(x 1 )>f(x 2 )），那么就说f(x)在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x 1 ，x 2 ；当x 1 2 时，总有f(x 1 ) 2 ) （2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 （3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x 第页共5页 2 →u=g(x)的象集： ①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)] 在A上是增函数； ②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)] 在A上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ○1任取x 1 ，x 2 ∈D，且x 1 2 ； ○2作差f(x 1 )－f(x 2 )； ○3变形（通常是因式分解和配方）； ○4定号（即判断差f(x 1 )－f(x 2 )的正负）； ○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数； 增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。 3．最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x ∈I，都有f(x)≤M；②存在x 0 ∈I，使得f(x 0 )=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x ∈I，都有f(x)≥M；②存在x 0 ∈I，使得f(x 0 )=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 注意： ○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0 ∈I，使得f(x 0 )=M； ○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x) ≤M（f(x)≥M）。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2利用图象求函数的最大（小）值； ○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 4．周期性 （1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数； 第页共5页 3 （2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作), 2 () 2 ( T xf T xf若f(x)的周期中，存在一个最小 的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周 期函数，且周期为 || T 。 四．典例解析精练 题型一：判断函数的奇偶性题1．讨论下述函数的奇偶性： 221612 (1)();(2)()(0) 2|| xx x ax fxfxa xaa 常数 题2．设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③ y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号） 题型二：奇偶性的应用 题3．已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时， f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。 题型三：判断、证明函数的单调性 题4．设0a，() x x ea fx ae 是R上的偶函数。 （1）求 a 的值；（2）证明()fx在(0,)上为增函数。 第页共5页 4 题5．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+ )( 1 xf ， 讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。 题型四：函数的单调区间 题6．设函数f（x）＝ bx ax （a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区 间上的单调性。 题型五：函数的单调性的应用 题7．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使 f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, 2 ］都成立？若存在，求出符合条件的所 有实数m的范围，若不存在，说明理由。 题型六：函数的最值 题8．设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。 （1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。 第页共5页 5 题型七：周期问题 题9．若y=f(2x)的图像关于直线 2 a x和)( 2 ab b x对称，则f(x)的一个周期为（） A． 2 ba B．)(2abC． 2 ab D．)(4ab 题10．已知函数()yfx是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()(11)yfxx 是奇函数又知()yfx在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取 得最小值5。①证明：(1)(4)0ff；②求(),[1,4]yfxx的解析式； ③求()yfx在[4,9]上的解析式。 五．思维总结 1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)= f(x)f(x)f(x)=0； 2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任 意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。 稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立 函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映； 3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件； 4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的 奇偶性。 5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说 的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。