函数周期怎么求
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2023年2月27日发(作者：劈理)广东教育
·
教研２００７年第１期
案例解读
中学教材对函数的周期性及其应用的介绍很简单
，
有很多学生对学习这部分内容感到困难
，
也有很多疑
问．为了帮助学生解决疑点和丰富学生对周期性的学
习
，
本文谈一下周期函数及其周期．
一
、
周期函数周期的求法
１．利用公式确定周期
我们利用周期定义和三角函数的诱导公式可得一
般的三角周期函数
，
正如
（１）ｓｉｎ（ｘ＋２
!）＝ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ＋２
!）
＝ｃｏｓｘ，
所以２
!为ｙ＝ｓｉｎｘ、ｙ＝ｃｏｓｘ的周期
；（２）ｔａｎ（ｘ＋
!）
＝ｔａｎｘ，ｃｏｔ（ｘ＋
!）＝ｃｏｔｘ，
所以!为ｙ＝ｔａｎｘ、ｙ＝ｃｏｔｘ的周期．
２．利用函数的运算和特性
，
求出函数的周期
定理１两个周期
（
这周期不一定是最小正周期
）
相同的周期函数的和
、
差
、
积
、
商
（
作为分母的周期函数
不能为零
）
也是周期函数
，
并且周期不变．例如
，
若ｆ（ｘ）
和ｇ（ｘ）
都是Ｔ为周期的周期函数
，
则ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）·
ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）（
其中ｇ（ｘ）≠０）
也都是周期函数
，
并且Ｔ
也是它们的周期．
证明
：
设这两个周期函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）
的和
、
差
、
积
、
商函数分别为Ｆ
１
（ｘ）、Ｆ
２
（ｘ）、Ｆ
３
（ｘ）、Ｆ
４
（ｘ），
即Ｆ
１
（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋
ｇ（ｘ），Ｆ
２
（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），Ｆ
３
（ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ），Ｆ
４
（ｘ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）
（
其中ｇ（ｘ）≠０）．
∵ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）
有相同的周期Ｔ，
∴当ｘ取ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）
的定义域内的任一个值时，
有ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）
和ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｇ（ｘ）（
其中ｘ＋Ｔ是在定义域
内
），
∴有
（１）Ｆ
１
（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）＋ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝
Ｆ
１
（ｘ）；
（２）Ｆ
２
（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）－ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝Ｆ
２
（ｘ）；
（３）Ｆ
３
（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）·ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝Ｆ
３
（ｘ）；
（４）Ｆ
４
（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）／ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）＝Ｆ
４
（ｘ）（
其
中ｇ（ｘ）≠０）．
因此Ｆ
１
（ｘ）、Ｆ
２
（ｘ）、Ｆ
３
（ｘ）、Ｆ
４
（ｘ）
都是周期函数
，
并
且Ｔ是它们的一个周期．
定理２周期函数的绝对值函数也是周期函数
，
即
若ｆ（ｘ）
是周期函数
，Ｔ是它的周期
，
则ｆ（ｘ）
也是周期函
数
，
并且Ｔ也是它的周期．
证明
：∵ｆ（ｘ）
是周期函数
，Ｔ是它的周期
，
∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都是在定义
域内
），
∴由绝对值的性质得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝
ｆ（ｘ），
∴ｆ（ｘ）
也是周期函数
，Ｔ是它
的周期．
定理３周期函数的有限次整数
幂的函数
（
以后把它称为函数幂
）
也
是周期函数
，
并且原来函数的周期也是函数幂的周期．
例如
，
若ｆ（ｘ）
是周期函数
，Ｔ是它的周期
，
则
［ｆ（ｘ）］ｎ
（ｎ∈Ｚ，ｆ（ｘ）≠０）
也是周期函数
，
并且Ｔ也是它的周期．
证明
：
设Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）．
∵ｆ（ｘ）
是周期函数
，Ｔ是它的周期
，
∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都在定义域内
）．
∴Ｆ（ｘ＋Ｔ）＝［ｆ（ｘ＋Ｔ）］ｎ＝［ｆ（ｘ）］ｎ＝Ｆ（ｘ）．
∴Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）
也是周期函数
，Ｔ是它的周
期．
例１：
证明函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ是周期函数
，
并求出它的一个周期．
分析∵ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函数
，２
!是它们的周
期
，
所以由上面定理２得ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函
数
，
并且２
!是它们的周期
，
由上面定理１得ｓｉｎｘ＋
ｃｏｓｘ也是周期函数
，
又因为
ｓｉｎｘ（ｘ＋
!
２
）＋
ｃｏｓ（ｘ＋
!
２
）＝ｃｏｓｘ＋－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，
所以
!
２
是ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的一个周期．
３．利用递推关系
，
找出函数的周期
定理４具有递推性质
：ａ
ｎ＋ｋ
＝ａ
ｎ
－ａ
ｎ－ｋ
（
其中ｋ为正
整数
，ｎ为可变的正整数
，
且ｎ＞ｋ）
的数列
｛ａ
ｎ
｝
必定
是周期数列
，６ｋ就是它的周期．
证明
：∵ａ
ｎ＋ｋ
＝ａ
ｎ
－ａ
ｎ－ｋ
（ｋ为某正整数
）①
∴ａ
ｎ
＝ａ
ｎ－ｋ
－ａ
ｎ－２ｋ
（
其中ｎ＞２ｋ）②
将①②两式左右两边相加并合并同类项得
：
ａ
ｎ＋ｋ
＝－ａ
ｎ－２ｋ
∴ａ
ｎ＋３ｋ
＝－ａ
ｎ
∴ａ
ｎ＋６ｋ
＝－ａ
ｎ＋３ｋ
＝－（－ａ
ｎ
）＝ａ
ｎ
③
又由ｎ的任意性可知数列
｛ａ
ｎ
｝
是一个周期数列
，
而６ｋ就是它的周期．
我们从上面定理４的推导过程可得到
：
推论具有递推性质
：ａ
ｎ＋ｋ
＝ａ
ｎ
－ａ
ｎ－ｋ
（
其中ｋ为正整
数
，ｎ为可变的正整数
，
且ｎ＞ｋ）
的周期数列
｛ａ
ｎ
｝
的
任一周期段的各项之和必为零．
证明
：①由上面定理４得
｛ａ
ｎ
｝
是一个周期数列
，
６ｋ是它的周期
；
周期函数及其周期
文／茂名学院高州师范分院蒋雪英
５７
广东教育
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教研２００７年第１期
案例解读
②设它的任一周期段的各项分别为ａ
ｎ＋１
，ａ
ｎ＋２
，…，
ａ
ｎ＋６ｋ
，
由上面定理４的证明过程
（
由③式的证明过程
）
中可得
：
ａ
ｎ＋１
＝－ａ
ｎ＋１＋３ｋ
，ａ
ｎ＋２
＝－ａ
ｎ＋２＋３ｋ
，…，ａ
ｎ＋３ｋ
＝－ａ
ｎ＋６ｋ
；
∴ａ
ｎ＋１
＋ａ
ｎ＋２
＋…＋ａ
ｎ＋３ｋ
＋ａ
ｎ＋３ｋ＋１
＋ａ
ｎ＋３ｋ＋２
＋…＋ａ
ｎ＋６ｋ
＝ａ
ｎ＋１
＋ａ
ｎ＋２
＋…＋ａ
ｎ＋３ｋ
＋（－ａ
ｎ＋１
－ａ
ｎ＋２
－…－ａ
ｎ＋３ｋ
）
＝（ａ
ｎ＋１
－ａ
ｎ＋１
）＋（ａ
ｎ＋２
－ａ
ｎ＋２
）＋…＋（ａ
ｎ＋３ｋ
－ａ
ｎ＋３ｋ
）
＝０
二
、
周期的应用
１．求周期函数的函数值
例２：
已知函数ｆ（ｘ）
的定义域是Ｒ，ｆ（ｘ＋１）［１－ｆ（ｘ）］
＝１＋ｆ（ｘ），ｆ（１）＝
２
!
．求ｆ（２００６）
的值．
分析
：
由已知式子得ｆ（ｘ＋１）＝
１＋ｆ（ｘ）
１－ｆ（ｘ）
，ｆ（ｘ）≠１，
ｆ（ｘ）≠０，
所以ｆ（ｘ＋２）＝ｆ［（ｘ＋１）＋１］＝
１＋ｆ（ｘ＋１）
１－ｆ（ｘ＋１）
＝
１＋
１＋ｆ（ｘ）
１－ｆ（ｘ）
１－
１＋ｆ（ｘ）
１－ｆ（ｘ）
＝－
１
ｆ（ｘ）
，
所以ｆ（ｘ＋４）＝ｆ［（ｘ＋２）＋２］＝－
１
ｆ（ｘ＋２）
＝ｆ（ｘ），
即
ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），
所以ｆ（ｘ）
是以４为周期的周期函数．
又因为２００６＝４×５０１＋２，
所以ｆ（２００６）＝ｆ（２＋４×５０１）＝
ｆ（２），
而ｆ（２）＝
１＋ｆ（１）
１－ｆ（１）
＝
１＋
２
!
１－
２
!
＝－３－２
２
!，
所以
ｆ（２００６）＝－３－２
２
!
．
这里我们利用函数ｆ（ｘ）
的周期性把求ｆ（２００６）
的值
转化为求ｆ（２）
的值．这比直接将ｘ＝２００６代入计算简化
了许多．
２．求周期函数的最大值和最小值
例３：
求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的最大值和最小
值．
分析
：
此函数的定义域是Ｒ，
由例１知它是一个
周期函数
，
并且
π
２
是它的周期．
若在整个定义域Ｒ上考察它的函数值
，
然后找出
它的最大值和最小值
，
则计算量大且复杂．
我们若根据函数的周期性
，
只在它的一个周期
［０，
π
２
］
上考察ｆ（ｘ）
的函数值
，
就可得出ｆ（ｘ）
的最大
值和最小值
，
因为当ｘ∈［０，
π
２
］
时
，
有
π
４
≤ｘ＋
π
４
≤
π
２
＋
π
４
，ｓｉｎｘ≥０，ｃｏｓｘ≥０，
所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝
ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝
２
!
ｓｉｎ（ｘ＋
π
４
），
再由正弦函数的单调性质
得
：
当ｘ＋
π
４
＝
π
２
（
即当ｘ＝
π
４
）
时
，ｆ（ｘ）
有最大值
２
!；
当ｘ＋
π
４
＝
π
４
（
即当ｘ＝０）
或当ｘ＋
π
４
＝
π
２
＋
π
４
（
即当ｘ＝
π
２
）
时
，ｆ（ｘ）
有最小值１．
显然
，
我们利用函数的周期性把考察ｘ的范围缩
小了
，
从而可去掉函数式中的绝对值符号
，
使问题变
成一个关于三角函数的最值问题．
３．求周期数列的前ｎ项之和
例４：
己知数列
｛ａ
ｎ
｝
有ａ
ｎ
＝ａ
ｎ－１
－ａ
ｎ－２
（ｎ≥３）；
它的
前１８４项之和等于１９７，
前１９７项之和等于１８４，
求它
的前２００６项之和．
解
：（１）
由上面定理４可知数列
｛ａ
ｎ
｝
是一个周
期数列且６是它的周期．由定理４的推论得
：Ｓ
１８０
＝
Ｓ
６
·３０＝０·３０＝０（
其中Ｓ
１８０
是数列
｛ａ
ｎ
｝
的前１８０项之
和
，
其余有关Ｓ及其下标的符号类推
），
所以
Ｓ
１８４
＝Ｓ
１８０
＋ａ
１８１
＋ａ
１８２
＋ａ
１８３
＋ａ
１８４
＝Ｓ
１８０
＋ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋ａ
４
＝ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋ａ
４
＝１９７①
又由定理４的推论得
：Ｓ
１９２
＝Ｓ
６
·３２＝０·３２＝０．所以
Ｓ
１９７
＝Ｓ
１９２
＋ａ
１９３
＋ａ
１９４
＋ａ
１９５
＋ａ
１９６
＋ａ
１９７
＝Ｓ
１９２
＋ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋ａ
４
＋ａ
５
＝０＋ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋ａ
４
＋ａ
５
＝１８４②
比较①②得
：ａ
５
＝Ｓ
１９７
－Ｓ
１８４
＝１８４－１９７＝－１３．
又由定理４的③式的证明过程可得
：ａ
１
＝－ａ
１＋３
＝－ａ
４
，
ａ
２
＝－ａ
２＋３
＝－ａ
５
＝１３，
即ａ
４
＝－ａ
１
，ａ
５
＝－ａ
２
．
（２）
因为Ｓ
２００４
＝Ｓ
６
·３３４＝０，
又根据已知条件得ａ
３
＝
ａ
２
－ａ
１
，
即ａ
１
＝ａ
２
－ａ
３
，
所以Ｓ
２００６
＝Ｓ
２００４
＋ａ
２００５
＋ａ
２００６
＝Ｓ
２００４
＋ａ
１
＋ａ
２
＝ａ
１
＋ａ
２
＝（ａ
２
－ａ
３
）＋ａ
２
＝２ａ
２
－ａ
３
＝２×１３－ａ
３
③
又因为ａ
４
＝－ａ
１
，ａ
５
＝－ａ
２
，
所以②式变为
１８４＝ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋ａ
４
＋ａ
５
＝ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
－ａ
１
－ａ
２
＝ａ
３
④
再用④式代入③得Ｓ
２００６
＝２×１３－１８４＝－１５８．
责任编辑罗峰
５８