四面体体积公式
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2023年2月27日发(作者：评课模板)利用向量混合积求四面体体积
郑惠
【摘要】在解析几何中,向量混合积((→a),(→b),(→c))的一个重要应用就是利用其
几何意义求平行六面体和四面体的体积.利用向量混合积给出了求四面体体积的一
个更一般的方法.
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2019(039)003
【总页数】2页(P1-2)
【关键词】解析几何;混合积;四面体;体积
【作者】郑惠
【作者单位】阿坝师范学院数学与计算机科学学院,四川汶川623000
【正文语种】中文
【中图分类】O182.2
在解析几何中2个向量，先作外积，再与另一向量作内积，称为三向量的混合积，
记为，即．的几何意义为：当，，不共面时，为以，，为棱所作的平行六面体的体
积；当，，共面时，．混合积应用研究的热点除了用于证明向量共面，就是求平行
六面体和四面体的体积．教材[1-3]对四面体体积问题进行研究时，都只是利用四
面体其共点三边（向量）混合积计算四面体的体积，文献[4-10]分别对四面体体积
进行了研究．本文给出求四面体体积的一个更一般的方法．
定理四面体的体积等于以其任意不共面的三边（向量）为棱所作的平行六面体体
积的六分之一．
证明为一四面体（见图１），设，，，则，，．由初等几何知识可知，四面体的
体积等于以其共点的三边（向量）为棱所作的平行六面体体积的六分之一．因为平
行六面体的体积等于其三边的混合积的绝对值，所以
四面体不共点、不共面的任意三边的组合共有12种，其混合积分别
为，，，，，，，，，，，．由混合积的运算规律可知，这12个混合积的绝对值
都相等，且都等于．故四面体的体积等于以其任意不共面的三边（向量）为棱所作
的平行六面体体积的六分之一.证毕．
推论设四面体在笛卡尔直角坐标系下的坐标为，则其体积为
证明由文献[1-3]及行列式的性质直接可得．证毕．
本文利用向量混合积对四面体体积问题进行了研究，对教材内容进行了深化与拓
展．提出了求四面体体积一种简单快捷的方法，即四面体的体积等于以其任意不共
面三边（向量）混合积的绝对值的六分之一.此方法简洁、高效，对求四面体体积
具有实效性和普遍性，值得借鉴和推广.
【相关文献】
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[3]廖华奎，王宝富．解析几何教程[M]．北京：科学出版社，2004：22
[4]黄耿跃．再谈四面体的六棱求积公式[J]．数学通讯，2005（15）：28-29
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