最高阶非零子式
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2023年2月27日发(作者：灭火基本方法有哪四种)求矩阵的秩的步骤
矩阵的秩计算方法：利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵
B，数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。例题如下：
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的
极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一
点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量
或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
矩阵的秩的性质：
1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
2、初等变换不改变矩阵的秩。
3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
4、P，Q为可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-
1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负
号，所以伴随阵为0矩阵。
6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-
1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵
必为非零）。
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此
它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。
m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。
有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或
称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的
秩。
定义1.在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的
元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个
k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点
上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2.A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n)易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。 由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称 为满秩矩阵,det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。 由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的 秩是一样的。 矩阵的秩 引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列 秩，秩都等于n。 定理矩阵的行秩，列秩，秩都相等。 定理初等变换不改变矩阵的秩。 定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}; 当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1 阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负 号，所以伴随阵为0矩阵。 当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1 阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必 为非零）