高阶偏导数

高阶偏导数

-

2023年3月6日发(作者：中国工笔画)

第二节偏导数

教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数

的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。

教学重点：一阶及二阶偏导数的计算

教学过程：

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(xy)如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是x

的一元函数这函数对x的导数就称为二元函数zf(xy)对于x的偏导数

定义设函数zf(xy)在点(x

0

y

0

)的某一邻域内有定义当y固定在y

0

而x在x

0

处有增量x时相应地函数有增量

f(x

0

xy

0

)f(x

0

y

0

)

如果极限

x

yxfyxxf

x





),(),(

lim0000

0

存在则称此极限为函数zf(xy)在点(x

0

y

0

)处对x的偏导数记作

0

0

yy

xx

x

z











0

0

yy

xxx

f









0

0

yy

xx

x

z





或),(

00

yxf

x



例如

x

yxfyxxf

yxf

x

x







),(),(

lim),(0000

0

00



类似地函数zf(xy)在点(x

0

y

0

)处对y的偏导数定义为

y

yxfyyxf

y





),(),(

lim0000

0



记作

0

0

yy

xxy

z









0

0

yy

xxy

f









0

0

yy

xx

y

z





或f

y

(x

0

y

0

)

偏导函数如果函数zf(xy)在区域D内每一点(xy)处对x的偏导数都存在那

么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数zf(xy)对自变量

x

的偏导函数记作

x

z







x

f







x

z或),(yxf

x



偏导函数的定义式

x

yxfyxxf

yxf

x

x







),(),(

lim),(

0



类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为

y

z







y

f





z

y

或),(yxf

y



偏导函数的定义式

y

yxfyyxf

yxf

y

y







),(),(

lim),(

0



求

x

f





时只要把y暂时看作常量而对x求导数求

y

f





时只要把x暂时看作常

量而对y求导数

讨论下列求偏导数的方法是否正确？

0

0

),(),(

00

yy

xx

xx

yxfyxf







0

0

),(),(

00

yy

xx

yy

yxfyxf







0

]),([),(

000

xx

x

yxf

dx

d

yxf







0

]),([),(

000

yy

y

yxf

dy

d

yxf





偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)

处对x的偏导数定义为

x

zyxfzyxxf

zyxf

x

x







),,(),,(

lim),,(

0



其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分

法问题

例1求zx23xyy2在点(12)处的偏导数

解

yx

x

z

32





yx

y

z

23







82312

2

1











y

xx

z



72213

2

1











y

xy

z



例2求zx2sin2y的偏导数

解

yx

x

z

2sin2





yx

y

z

2cos22







例3设)1,0(xxxzy求证z

y

z

xx

z

y

x

2

ln

1















证1





yyx

x

z

xx

y

z

yln







zxxxx

x

yx

y

x

y

z

xx

z

y

x

yyyy2ln

ln

1

ln

1

1













例4求222zyxr的偏导数

解

r

x

zyx

x

x

r











222



r

y

zyx

y

y

r











222



例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)

求证

1

















p

T

T

V

V

p



证因为

V

RT

p



2V

RT

V

p









p

RT

V

p

R

T

V









R

pV

T

R

V

p

T









所以

1

2



















pV

RT

R

V

p

R

V

RT

p

T

T

V

V

p



例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商

二元函数zf(xy)在点(x

0

y

0

)的偏导数的几何意义

f

x

(x

0

y

0

)[f(xy

0

)]

x

是截线zf(xy

0

)在点M

0

处切线T

x

对x轴的斜率

f

y

(x

0

y

0

)[f(x

0

y)]

y

是截线zf(x

0

y)在点M

0

处切线T

y

对y轴的斜率

偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证

函数在该点连续例如



















00

0

),(

22

22

22

yx

yx

yx

xy

yxf

在点(00)有f

x

(00)0f

y

(00)0但函数在点(00)并不连续

提示

0)0,(xf0),0(yf



0)]0,([)0,0(xf

dx

d

f

x

0)],0([)0,0(yf

dy

d

f

y



当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时有

00lim)0,(lim),(lim

00)0,0(),(



xxyx

xfyxf

当点P(xy)沿直线ykx趋于点(00)时有

2222

2

0

22

)0,0(),(1

limlim

k

k

xkx

kx

yx

xy

x

kxy

yx















因此),(lim

)0,0(),(

yxf

yx

不存在故函数f(xy)在(00)处不连续

类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为

y

z







y

f





z

y

或),(yxf

y



偏导函数的定义式

y

yxfyyxf

yxf

y

y







),(),(

lim),(

0



二高阶偏导数

设函数zf(xy)在区域D内具有偏导数

),(yxf

x

z

x







),(yxf

y

z

y









那么在D内f

x

(xy)、f

y

(xy)都是xy的函数如果这两个函数的偏导数也存在则称

它们是函数zf(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(xy)在区域D内的偏导数f

x

(xy)、f

y

(xy)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的

不同有下列四个二阶偏导数

),()(

2

2

yxf

x

z

x

z

xxx



















),()(

2

yxf

yx

z

x

z

yxy



















),()(

2

yxf

xy

z

y

z

xyx

















),()(

2

2

yxf

y

z

y

z

yyy



















其中

),()(

2

yxf

yx

z

x

z

yxy



















),()(

2

yxf

xy

z

y

z

xyx

















称为混合偏导数

2

2

)(

x

z

x

z

x

















yx

z

x

z

y











2

)(



xy

z

y

z

x











2

)(



2

2

)(

y

z

y

z

y

















同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例6设zx3y23xy3xy1求

2

2

x

z





、

3

3

x

z





、

xy

z



2

和

yx

z



2



解

yyyx

x

z







32233

xxyyx

y

z







2392

2

2

2

6xy

x

z







2

3

3

6y

x

z









19622

2







yyx

yx

z



19622

2







yyx

xy

z



由例6观察到的问题

yx

z

xy

z









22

定理如果函数zf(xy)的两个二阶混合偏导数

xy

z



2

及

yx

z



2

在区域D内连续那

么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

例7验证函数22lnyxz满足方程0

2

2

2

2













y

z

x

z



证因为

)ln(

2

1

ln2222yxyxz

所以

22yx

x

x

z











22yx

y

y

z











222

22

222

22

2

2

)()(

2)(

yx

xy

yx

xxyx

x

z



















222

22

222

22

2

2

)()(

2)(

yx

yx

yx

yyyx

y

z



















因此0

)()(222

22

222

22

2

2

2

2

























yx

xy

yx

yx

y

z

x

z



例8．证明函数

r

u

1



满足方程0

2

2

2

2

2

2



















z

u

y

u

x

u



其中222zyxr

证

322

11

r

x

r

x

r

x

r

r

x

u















5

2

3432

23131

r

x

r

x

r

r

x

rx

u















同理

5

2

32

23

1

r

y

ry

u









5

2

32

231

r

z

rz

u









因此)

31

()

3

1

()

31

(

5

2

35

2

35

2

32

2

2

2

2

2

r

z

rr

y

rr

x

rz

u

y

u

x

u



















0

33

)(3

3

5

2

35

222

3







r

r

rr

zyx

r



提示

6

23

6

33

32

2

3)(

)(

r

x

r

rxr

r

r

x

xr

r

x

x

x

u



























