耐克函数

耐克函数

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2023年2月26日发(作者：高端超市)

函数的对称性

知识梳理

一、对称性的概念及常见函数的对称性

1、对称性的概念

①函数轴对称：假如一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像可以完全重合，那么称该函数具备对称性

中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：假如一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，那么称该函数具

备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性〔所有函数自变量可取有意义的所有值〕

①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;

⑨正弦型函数sin()yAx既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;

⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)yfx和|()|yfx两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是

把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln|yx就没有对称性，

而|sin|yx却仍然是轴对称。

⒂形如(0,)

axb

ycadbc

cxd







的图像是双曲线，其两渐近线分别直线

d

x

c



(由分母为零确定)和直线

a

y

c

(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(,)

da

cc

。

二、抽象函数的对称性

【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个

函数之间的对称性，我们称其为互对称。】

1、函数)(xfy图象本身的对称性〔自对称问题〕

〔1〕轴对称

①)(xfy的图象关于直线ax对称)()(xafxaf)2()(xafxf

)2()(xafxf

②)()(xbfxaf)(xfy的图象关于直线

22

)()(baxbxa

x







对称.

特别地，函数)(xfy的图像关于y轴对称的充要条件是()()fxfx.

〔2〕中心对称

①)(xfy的图象关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxafxf2)2()(

bxafxf2)2()(

。

②cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),

2

(c

ba

对称.

特别地，函数)(xfy的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0fxfx.

〔3〕对称性与周期性之间的联络

①假设函数()fx既关于直线xa对称，又关于直线

xb

对称()ab，那么函数()fx关于无数条直线对称，相邻

对称轴的间隔为ba；且函数()fx为周期函数，周期2Tba；

特别地：假设)(xfy是偶函数，其图像又关于直线xa对称，那么()fx是周期为2a的周期函数；

②假设函数()fx既关于点(,0)a对称，又关于点(,0)b对称()ab，那么函数()fx关于无数个点对称，相邻对称中

心的间隔为ba；且函数()fx为周期函数，周期2Tba；

③假设函数()fx既关于直线xa对称，又关于点(,0)b对称()ab，那么函数()fx关于无数个点和直线对称，相

邻对称轴和中心的间隔为ba，相邻对称轴或中心的间隔为2ba；且函数()fx为周期函数，周期4Tba。

特别地：假设)(xfy是奇函数，其图像又关于直线xa对称，那么()fx是周期为a4的周期函数。

典例精讲

关于直线对称

例1.〔★★〕二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，那么)(xf

＝．

例2.〔★★〕函数)(xf对一实在数x满足条件)3()1(xfxf，

2x

时，xxxf2)(，

求

2x

时)(xf的解析式.

稳固练习〔自对称〕

1.〔★★〕函数()fx定义域为R，且对于任意实数x满足(2)(6)fxfx，当

02x

时，

2()235fxxxx，那么(1)(3)ff.

2.〔★★〕设()fx是定义在R上以

6

为周期的函数，()fx在(0,3)内单调递减，

且()yfx的图像关于直线

3x

对称，那么下面正确的结论是〔〕

.A(1.5)(3.5)(6.5)fff

.B

(3.5)(1.5)(6.5)fff

.C

(6.5)(3.5)(1.5)fff

.D

(3.5)(6.5)(1.5)fff

3.〔★★〕设函数)(xf是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线

2x

对称，2,2x时，1)(

2

xxf，

求2,6x时，)(xf的解析式.

例3.〔★★〕函数

xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，那么

A．22()xfxexRB．)0(ln2ln)2(xxxf

C．22()xfxexRD．2lnln2(0)fxxx

例4.〔★★〕函数

2()3fxxx，函数()gx与()fx的图像关于轴

0

3x对称，求函数()gx在区间34，上

的最值.

稳固练习

1.〔★★〕假设函数)(xgy图像与函数)1()1(2xxy的图像关于直线xy对称，那么(4)g＿；

2.在同一直角坐标系中，函数ygx的图像与xye的图像关于直线yx对称，而函数yfx的图像与

ygx的图像关于y轴对称，假设1fa，那么a的值是〔〕

A．e；B．

1

e



；

C

．

1

e

；

D

．e．

3.假设函数)(xf的图像与对数函数xy

4

log的图像关于直线0yx对称，那么)(xf的解析式为

4.〔★★〕函数101xyaa的反函数的图象大致是

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

关于点对称

例5.〔★★〕函数()yfx满足：(2)()4fxfx，那么函数()yfx的图象〔〕

A．关于点(1,1)M对称B．关于点(0,1)M对称

C．关于点(1,0)M对称D．关于点(1,2)M对称

例6.〔★★〕设

1a

，函数)(xf的图像与函数

2|2|24xxaay的图像关于点)2,1(A对称．求函数)(xf

的解析式．

练习

1.〔★★★〕

()fx

是定义在R上的以3为周期的奇函数，且

(2)0f

，那么方程

()0fx

在区间〔0，6〕内解的

个数的最小值是〔〕

A．7B．3C．4D．5

2.〔★★〕函数f(x)＝

ax

ax



1

的反函数的图象的对称中心是

(1，

2

1

)，那么函数g(x)＝)2(log2xx

a

的单调递增区间是；

函数对称性与周期性的联络

例7.〔★★〕假设函数)(xf在R上是奇函数，且在01，上是增函数，且)()2(xfxf.

①求)(xf的周期；

②证明)(xf的图象关于点(2,0)k中心对称;关于直线

21xk

轴对称,()kZ;

③讨论)(xf在(1,2)上的单调性；

练习

1.〔★★〕设)(xf是定义在R上的奇函数,)(xfy的图象关于直线

2

1

x

，那么

)5()4()3()2()1(fffff.

2.〔★★〕定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx，那么(6)f的值为〔〕

(A)－1(B)0(C)1(D)2

3.〔★★〕设)(xf是定义在R上的偶函数，且)1()1(xfxf，当

01x

时，

xxf

2

1

)(

，那么

)6.8(f___________

练习

1.函数(1)yfx与函数1yfx的图象关于关于__________对称。

2.设函数()yfx的定义域为R，且满足(1)1fxfx，那么()yfx的图象关于__________对称。

3.设()yfx的定义域为R，且对任意

xR

，有(12)(2)fxfx，那么(2)yfx图象关于__________

对称，()yfx关于__________对称。

4.函数()yfx对一实在数x满足(4)2fxfx，且方程()0fx有5个实根，那么这5个实根之和

为〔〕A、5B、10C、15D、18

5.函数()yfx定义域为R，且恒满足(2)2fxfx和(6)6fxfx，当

26x时，

1

()2

2

fxx，求()fx解析式。

总结

如今，总结一下本节课的收获吧？

函数图像的对称性

1、(1)一个图关于点对称：

(Ⅰ)奇函数关于原点对称

(Ⅱ)cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点(,)

2

ab

c



对称

(2)一个图关于直线对称：

(Ⅰ)偶函数关于y轴对称

(Ⅱ)22()()(0)faxfbxab关于直线

2

ab

x





对称

(3)两个图关于点对称

(Ⅰ)()yfx关于原点对称的函数：

,xxyy

，

即()yfx

(Ⅱ)()yfx关于(,)ab对称的函数：2,2xaxyby

即2(2)byfax

〔4〕两个图关于直线对称：

函数()yfax与()yfbx图象关于直线0axbx对称即直线

2

ba

x





对称。