线性空间
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2023年2月26日发(作者：雪梨的功效与作用)郑业龙编第五章线性空间-知识点及注释1/5
第五章线性空间-知识点及注释
知识点：n维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相
关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标
变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。
#n维数组向量#简称为n维向量，是指由数域
F
中n个数
n
aaa,,,
21
组成的n元有序数组
),,,(
21n
aaa或
12
(,,,)T
n
aaa；又称为n元（数组）向量。由数域
F
上所有n维数组向量
所构成的线性空间称为n维（元）（数组）向量空间，记为nF。
#线性组合#表达式
1122ss
kkk称为向量组
s
,,,
21
的系数分别为
12
,,,()
s
kkkF的线性组合。
#线性表示#向量可由向量组
s
,,,
21
线性表示是指存在数域
F
中的数
s
kkk,,,
21
,使
1122ss
kkk。
向量组
s
,,,
21
可由向量组
12
,,,
t
线性表示是指每个
i
都可由向量组
12
,,,
t
线性表示。
在nF中，向量可由向量组
s
,,,
21
线性表示线性方程组
1122ss
xxx有解。
#向量组等价#向量组
s
,,,
21
与向量组
12
,,,
t
等价是指向量组
s
,,,
21
与向量
组
12
,,,
t
可以相互线性表示。
若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ与Ｂ的行向量组等价。
#线性相关#向量组
s
,,,
21
线性相关是指存在数域
F
中不全为零的数
s
kkk,,,
21
,使
0
2211
ss
kkk；否则称为线性无关。
对一个向量，线性相关即为零向量，线性无关即为非零向量；
12
,,,(2)
s
s线性相关当且仅
当其中一个可以有其余s－1个线性表示。若向量组
s
,,,
21
线性无关，而
12
,,,,
s
线
性相关，则可由向量组
s
,,,
21
唯一地线性表示。
若向量组
s
,,,
21
线性相关，则
12
,,,,
s
线性相关；若向量组
12
,,,,
s
线性
郑业龙编第五章线性空间-知识点及注释2/5
无关，则
s
,,,
21
线性无关。
在nF中，向量组
s
,,,
21
线性相关齐次线性方程组
1122
0
ss
xxx有非零
解；向量组
s
,,,
21
线性无关齐次线性方程组
1122
0
ss
xxx只有零解。
设
12
(,,...,)Tn
iiiin
aaaF，
12
(,,...,)
iiiinin
aaaa
，1,2,...,is；那么，若
s
,,,
21
线性无关，则
12
,,,
s
线性无关；若
12
,,,
s
线性相关，则
s
,,,
21
线性相关。
若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ的列向量组
s
,,,
21
与Ｂ的列向量组
12
,,,
s
具有完全相同的线性关系，即
112211
00
ssss
kkkkkk，其中
12
,,,()
s
kkkF；
从而
s
,,,
21
线性相（无）关
12
,,,
s
线性相（无）关；
12
,,,
r
iii
是
s
,,,
21
的极大无关组
12
,,,
r
iii
是
12
,,,
s
的极大无关组。
若向量组
s
,,,
21
可由向量组
12
,,,
t
线性表示,且s>t，则
s
,,,
21
线性相关；
若向量组
s
,,,
21
可由向量组
12
,,,
t
线性表示,且
s
,,,
21
线性无关，则
st
；
向量组
s
,,,
21
与向量组
12
,,,
t
等价,且都线性无关，则s=t。
#极大线性无关向量组#简称极大无关组，是指向量组(A)的一个部分向量组
12
,,...,
r
,其本身
线性无关,但从(A)中任意添加一个向量(如果还有的话)
1r
,则
121
,,...,,
rr
都线性相关。
一个向量组与其任一极大无关组等价；一个向量组的任意两个极大无关组等价，从而所含向量的个数
相等。
#秩#向量组(A)的秩是指其任一极大无关组所含向量的个数;记为rank(A)。矩阵的行（向量组的）秩，
等于其列（向量组的）秩，也等于其秩（最高阶非零子式的阶）。
#线性空间#又称向量空间,是指数域
F
上一非空集合
V
,连同其中定义的两个满足以下八条
法则的运算(分别称为加法和数乘,记为+和，统称为线性运算)，记为()VF，其中的元
素称为向量：；()()；
V
中存在零元素
，即对
V
中
任一元素，有
；
V
中每个元素都有负元,即()；
1
；
()()klkl；()klkl；()kkk，其中
郑业龙编第五章线性空间-知识点及注释3/5
,,,,VklF。
#子空间#是指线性空间
V
的一非空子集
W
，其对
V
的加法和数乘封闭，即满足对
,,WkF，有,kW；其本身也是线性空间。
#生成子空间#由向量组
s
,,,
21
生成的子空间是指由向量组
s
,,,
21
的所有线性组
合所构成的子空间；
s
,,,
21
称为其生成元。生成的子空间必是子空间；反之，子空间
必是其任一极大无关组（基）生成的生成子空间。
#基#是指线性空间
V
中的任一组极大无关组，如
12
,,...,
n
；即其本身线性无关,但从
V
中
任意加一个向量
1n
,则
121
,,...,,
nn
都线性相关。
线性代数只讨论基为有限个向量的线性空间，即有限维线性空间。
#维数#是指线性空间
V
的任一组基所含向量的个数；记为dimV。
12
,,,
n
eee是nF的一组基，从而ndimFn。
#坐标#在线性空间
V
中，用一组基
12
,,,
n
（线性）表示一个向量：
1122nn
aaa的（有序）系数组
12
(,,,)
n
aaa或
12
(,,,)T
n
aaa称为在基
12
,,,
n
下的坐标；其中
i
a称为的第i个坐标或分量。
#基变换#是指用线性空间
V
的一组基（旧基）
12
,,,
n
（线性）表示其另一组基（新基）
'''
12
,,,
n
的变换（公式）
'
11112121
'
21212222
'
1122
nn
nn
nnnnnn
aaa
aaa
aaa
即
11121
21222
'''
1212
12
(,,,)(,,,)
n
n
nn
nnnn
aaa
aaa
aaa
或简记为
'''
1212
(,,,)(,,,)
nn
T
。其中
11121
21222
12
n
n
nnnn
aaa
aaa
T
aaa
称为从（旧）基
12
,,,
n
到（新）基'''
12
,,,
n
的过渡矩阵；它可逆，于是又有
郑业龙编第五章线性空间-知识点及注释4/5
'''1
1212
(,,,)(,,,)
nn
T
，它是从（新）基'''
12
,,,
n
到（旧）基
12
,,,
n
的变换（公式）。
#坐标变换#是指在线性空间
V
中，用一个向量在
V
的一组基（旧基）
12
,,,
n
下的坐
标（旧坐标）X表示其在另一组基（新基）'''
12
,,,
n
下的坐标（新坐标）Y的变换（公
式）
1YTX,其中
T
为从（旧）基
12
,,,
n
到（新）基'''
12
,,,
n
的过渡矩阵,即
'''
1212
(,,,)(,,,)
nn
T。此时又有
XTY,它是从的（新）坐标Y到其
（旧）坐标X的变换（公式）。
#交子空间#是指线性空间
V
的两个线性子空间
12
,VV的交集合
121
{|VVV且
2
}V所构成的线性子空间。
#和子空间#是指线性空间
V
的两个线性子空间
12
,VV的和集合
12121122
|,VVVV所构成的线性子空间。
维数公式：
121212
()()dimVdimVdimVVdimVV。
#子空间的直和#是指线性空间
V
的两个交子空间为零子空间的子空间
12
,VV的和子空间，记
为
12
VV。
#同构#是指两个线性空间之间的保持线性运算的双射。两个有限维线性空间同构它们维
数相等。
#解空间#齐次线性方程组AX=O的解空间是指其所有解构成的子空间。n元齐次线性方程组AX=O
的解空间为nF的n-r维子空间，其中r=rank(A)。
#基础解系#齐次线性方程组AX=O的基础解系是指其解空间的任一组基。
若rank(A)=r，且PAQ=diag{I
r
,O},其中P,Q为可逆方阵，则Q的后n-r列
nr
,,
1
即为
AX=O的一组基础解系。
#特解#非齐次线性方程组AX=b的任一特定的解称为其特解。
#通解#（非）齐次线性方程组AX=O（AX=b）的通解是指其所有解的统一表达式。若
nr
,,
1
为AX=O的一组基础解系，
为AX=b的一特解，则AX=O和AX=b的通解分别为
1
1
nr
rn
Xkk
和
1
1
(,1,,)
nri
rn
XFinrkkk
，其中r=rank(A)。非齐
郑业龙编第五章线性空间-知识点及注释5/5
次线性方程组AX=b的特解
及其导出方程组AX=O的基础解系
nr
,,
1
都可以通过对其增
广矩阵（Ab）作初等变换而直接得到。